青海省西宁市大通回族土族自治县2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份青海省西宁市大通回族土族自治县2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案），共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
青海省西宁市大通回族土族自治县2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、已知复数z满足，则( )
A. B. C.2 D.5
2、如图，将直角绕直角边AC旋转，所得几何体为( )

A.圆锥 B.圆柱 C.圆台 D.球
3、已知，，，则a与b的夹角是( )
A. B. C. D.
4、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则( )
A. B. C. D.
5、已知向量，，若，则在b上的投影向量的坐标为( )
A. B. C. D.
6、四名同学各掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是( )．
A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2
C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，方差为2.8
7、如图，在棱长为a的正方体中，点E为棱的中点，则点A到平面的距离为( )

A. B. C. D.
8、在中，已知，则的形状一定是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰或直角三角形
二、多项选择题
9、抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面向上”，事件“第二枚硬币反面向上”，下列结论中正确的是( )
A.A与B互为对立事件 B.A与B为相互独立事件
C.A与B相等 D.
10、已知直线l与三个不同的平面，，，则的充分条件是( )
A.， B.，
C.， D.，
11、为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数)整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是( )

A.a的值为0.005 B.估计成绩低于60分的有25人
C.估计这组数据的众数为75 D.估计这组数据的第85百分位数为86
12、如图，在中，，，直线AM交BN于点Q，则( )

A. B.
C. D.
三、填空题
13、若复数在复平面上对应的点位于第二象限，则m的取值范围是________.
14、某工厂现对一批零件的性能进行抽检，第一次检测每个零件合格的概率是0.8，不合格的零件重新加工后进行第二次检测，第二次检测合格的概率是0.9，如果第二次检测仍不合格，则作报废处理.则每个零件报废的概率为______.
15、如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且.若山高，汽车从C点到B点历时25s，则这辆汽车的速度为______m/s.

16、已知两平行的平面截球所得截面圆的面积分别为和，且两截面间的距离为1，则该球的体积为______.
四、解答题
17、在平面直角坐标系中，已知，.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求与的数量积.
18、暑假期间，某中学为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了200名学生并获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，将其整理后分为5组画出频率分布直方图如图所示，但是第一、五两组数据丢失，只知道第五组的频率是第一组的2倍.

（1）求第一组、第五组的频率并补全频率分布直方图(用阴影涂黑)；
（2）现从第四、五组中按分层抽样方法抽取6人参加校古诗词比赛，经过比赛后，第四组得分的平均数，方差，第五组得分的平均数，方差，则这6人得分的平均数和方差分别为多少(方差精确到0.01)?
19、如图，在长方体中，，，点P为棱上一点.

（1）试确定点P的位置，使得平面PAC，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，求异面直线与AP所成角的大小.
20、已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的面积为，，.
（1）求的周长；
（2）求角C的度数.
21、为弘扬中华民族传统文化，营造浓厚的节日氛围，某市文联在南山公园广场举办2023年正月十五“闹元宵猜灯谜”灯谜展猜活动，活动分一、二两关，分别竞猜5道、20道灯谜.现有甲、乙两位选手独立参加竞猜，在第一关中，甲、乙都猜对了4道，在第二关中，甲、乙分别猜对12道、15道.假设猜对每道灯谜都是等可能的.
（1）从第一关的5道灯谜中任选2道，求甲都猜对的概率；
（2）从第二关的20道灯谜中任选一道，求甲、乙两人恰有一个人猜对的概率.
22、如图，四棱锥中，底面ABCD，为等边三角形，，，M是PB上一点，且，N是PC的中点.
（1）求证：；
（2）若二面角的大小为，求三棱锥的体积.
参考答案
1、答案：A
解析：由题意，复数z满足，则.故选A.
2、答案：A
解析：由圆锥的定义可得直角绕直角边AC旋转，所得的旋转体为圆锥.故选A.
3、答案：D
解析：设向量a与b的夹角为，则，因为，所以.故选D.
4、答案：D
解析：由余弦定理的推论，得，又，所以.故选D.
5、答案：B
解析：由，，，得，解得.所以，所以在b上的投影向量为.故选B.
6、答案：C
解析：对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误；对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B错误；对于C，若平均数为2，且出现6点，则方差，所以平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故C正确；对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为：＝（1+2+3+3+6）＝3，方差为，可以出现点数6，故D错误．故选：C．
7、答案：C
解析：在正方体中，平面，而平面，则平面平面，在平面内过点A作于F，连接AE，如图，因平面平面，于是得平面，则AF的长即为点A到平面的距离，点E为棱的中点，在中，，，即，解得，所以点A到平面的距离为.故选C.
8、答案：B
解析：由，得.即，又因为A，，所以，，所以，得，所以一定为直角三角形.故选B.
9、答案：BD
解析：由对立事件是在一次试验中，故A错误；A，B为独立事件，B正确；事件不是在一次试验中，事件不会相等，由，可得C错误，D正确.故选BD.
10、答案：BC
解析：对于A，，，两平面垂直于同一个平面可以相交，故A错；对于B，，，垂直于同一条直线的两平面平行，故B对；对于C，，，平行于同一个平面的两平面平行，故C对；对于D，，，平行于同一条直线的两平面可以相交，故D错.故选BC.
11、答案：ACD
解析：对于A，由，得，故A正确；对于B，估计成绩低于60分的有人，故B错误；对于C，由众数的定义知，估计这组数据的众数为75，故C正确；对于D，设这组数据的第85百分位数为m，则0.15，解得，故D正确.故选ACD.
12、答案：BC
解析：对于A，因为，所以，则，故错误；对于B和C，因为A，M，Q三点共线，由共线定理可知，存在实数，使得，设，所以，所以解得即可得，，，故B，C正确；对于D，，故D错误.故选BC.
13、答案：
解析：由题意解得.
14、答案：0.02
解析：零件报废即连续两次检测都不合格，则每个零件报废的概率为.
15、答案：
解析：由题意可知，，，由余弦定理可得，这辆汽车的速度为，
故答案为：.
16、答案：
解析：设球的半径为R，依题意，截面圆的面积分别为和，则截面圆的半径分别为3，4，可得球心到两截面圆的距离分别为，.当两截面在球心的同一侧时，因为两截面间的距离为1，所以，解得(舍负)；当球心在两截面之间时，可得，即，该方程无解.综上，，故该球的体积为.
17、答案：（1）
（2）6
解析：（1），，
，，，，
解得.
（2）由已知可得，，

18、答案：（1）见解析
（2）3.67
解析：（1）设第一组的频率为x，则第五组的频率为2x.依题意得，解得.所以第一组的频率为0.05，则第五组的频率为0.10.频率分布直方图如下：

（2）因为第4组和第5组的频数之比为2：1，所以从第4组抽取4人，第5组抽取2人.所以这6人得分的平均数.方差.
19、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）当P为棱的中点时，平面PAC.理由如下：设AC和BD交于点O，则O为BD的中点.连结PO，又因为P是的中点，所以.又因为平面PAC，平面PAC所以直线平面PAC.
（2）由（1）知，，所以即为异面直线与AP所成的角或其补角.
因为，且，
所以.
又，所以.
故异面直线与AP所成角的大小为.
20、答案：（1）
（2）
解析：（1）由的面积，得
，，，
则，
故的周长为.
（2）由余弦定理，得，，.
21、答案：（1）
（2）
解析：（1）设“任选2道灯谜，甲都猜对”，用1，2，3，4，5表示第一关的5道灯谜，其中1，2，3，4表示甲猜对的4道，
则样本空间为，，，，，，，，，，
，，，，，，
所以，，根据古典概型的计算公式，得.
（2）设“任选一道灯谜，甲猜对”，“任选一道灯谜，乙猜对”，“任选一道灯谜，甲、乙两人恰有一个人猜对”，
根据题意可得，，，.
因为，且，互斥，又甲、乙两位选手独立参加竞猜，所以B，C相互独立，从而，C，B，也相互独立.
所以.
即甲、乙两人恰有一个人猜对的概率为.
22、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为为正三角形，所以，又，所以.又底面ABCD，平面ABCD，所以.，AC，平面PAC，所以平面PAC，又平面PAC，所以.
（2）因为底面ABCD，平面ABCD，
所以，又已知，，PA，平面PAB，
所以平面PAB，平面PAB，所以，
所以即为二面角的平面角.
因二面角的大小为，所以.
由题意，可证，
又为等边三角形，
所以.
在中，.
因为底面ABCD，平面ABCD，
所以.知，，所以的面积.
因为，所以，
又因为N为PC中点，所以.
设点A到平面PBC的距离为h，由，得
解得，即点A到平面CMN的距离为，
又，所以三棱锥的体积.