湖北省武汉市武昌区2022-2023学年高二下学期期末质量检测数学试卷（含答案）

这是一份湖北省武汉市武昌区2022-2023学年高二下学期期末质量检测数学试卷（含答案），共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湖北省武汉市武昌区2022-2023学年高二下学期期末质量检测数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、已知集合，则( )
A. B. C. D.
2、若，其中i是虚数单位，则( )
A.-1 B.1 C.-3 D.3
3、某地GDP的年平均增长率为，按此增长率，_______年后该地GDP会翻两番（，，结果精确到整数）( )
A.20 B.21 C.22 D.23
4、已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为( )
A. B. C. D.
5、已知直线与圆交于A，B两点，且为等边三角形，则m的值为( )
A. B. C. D.
6、购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱一定.假设连续两天购买该物品，第一天物品的价格为，第二天物品的价格为，且，则以下选项正确的为( )
A.第一种方式购买物品的单价为
B.第二种方式购买物品的单价为
C.第一种方式购买物品所用单价更低
D.第二种方式购买物品所用单价更低
7、已知函数，则该函数的单调递增区间是( )
A.， B.，
C.， D.，
8、设，，，则( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题
9、已知，则方程表示的曲线的形状可以是( )
A.两条直线 B.圆
C.焦点在x轴上的椭圆 D.焦点在x轴上的双曲线
10、已知平面向量，，则( )
A. B.
C.与夹角为锐角 D.在上的投影为
11、在A、B、C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感.假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人，则( )
A.这个人患流感的概率为0.0485
B.此人选自A地区且患流感的概率为0.06
C.如果此人患流感，此人选自A地区的概率为
D.如果从这三个地区共任意选取100人，则平均患流感的人数为4人
12、如图，已知二面角的棱上有不同两点A和B，若，，，，则( )

A.直线AC和直线BD为异面直线
B.若，则四面体体积的最大值为2
C.若，，，，，，则二面角的大小为
D.若二面角的大小为，，，，则过A、B、C、D四点的球的表面积为
三、填空题
13、展开式中含项的系数为___________.
14、某次体检中，甲班学生体重检测数据的平均数是，方差为16；乙班学生体重检测数据的平均数是，方差为21.又甲、乙两班人数之比为，则甲、乙两班全部学生体重的方差为__________.
15、已知直线与抛物线交于A,B两点，且,交AB于点D，点D的坐标为，则的面积__________.

16、已知函数，时，，则实数m的范围是__________.
四、解答题
17、如图，已知正方体的上底面内有一点E，点F为线段的中点.

（1）经过点E在上底面画一条直线l与CE垂直，并说明画出这条线的理由；
（2）若，求CE与平面所成角的正切值.
18、给出以下条件：①；②；③.请在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.
问题：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且__________.
（1）求角B的大小；
（2）已知，且角A只有一解，求b的取值范围.
19、已知数列的首项，且满足.
（1）求证：是等比数列；
（2）求数列的前项和.
20、中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度y℃关于时间的回归方程模型，通过实验收集在25℃室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的数据，并对数据做初步处理得到如下所示散点图．





73.5
3.85
-95
-2.24
表中：,
（1）根据散点图判断，①与②哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的回归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立该茶水温度y关于时间x的回归方程：
（3）已知该茶水温度降至60℃口感最佳，根据（2）中的回归方程，求在相同条件下冲泡的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感?
附：①对于一组数据，,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为,：
②参考数据：,,,,．
21、已知椭圆的离心率为，点，为C的左、右焦点，经过且垂直于椭圆长轴的弦长为3.

（1）求椭圆C的方程；
（2）过点分别作两条互相垂直的直线，，且与椭圆交于A，B两点，与直线交于点P，若，且点Q满足，求线段PQ的最小值.
22、已知，且0为的一个极值点．
（1）求实数a的值；
（2）证明：①函数在区间上存在唯一零点；
②，其中且．
参考答案
1、答案：A
解析：集合,则.
故选：A.
2、答案：B
解析：,则，，.
故选:B.
3、答案：C
解析：设n年后该地的GDP会翻两番,则，.
故选:C.
4、答案：B
解析：设圆锥的底面半径为r,母线长为l,因为国锥的侧面展开图是一个半圆,
所以,解得,所以圆锥的表面积为,
解得,所以这个圆锥的底面直径为.
故选B.
5、答案：D
解析：圆 的圆心为,0,半径,
若直线与圆O交于A, B两点, 且 为等边三角形,
则圆心O到直线的距离,又由点到直线的距离公式可得,解得,
故选:D.
6、答案：D
解析：第一种策略:设每次购买这种物品的数量均为m，则平均价格为 ，故A不正确；
第二种策略：设每次购买这种物品所花的钱为n,
第一次能购得该物品的数量为，第二次能购得该物品的数量为，
则平均价格为，B错误；
因为
所以，C错误，D正确.
故选:D.
7、答案：B
解析：，
当，
得，
则函数单调递增区间为，
故选:B.
8、答案：A
解析：
9、答案：ABD
解析：对于方程 ，
当时，，方程为
表示圆心在原点，半径为1的圆；
当时，，则
此时方程，即表示焦点在y轴的椭圆；
当 时，，此时方程，
即，表示两条直线；
当 时，，
则,
此时方程，即
表示焦点在x轴的双曲线 综上可得符合依题意的有ABD.
故选: ABD.
10、答案：AC
解析：对于A:，故A正确；
对于B:
故
所以与不垂直，故B错误；
对于C：,
所以与的夹角为锐角，故C正确;
对于D:,
，
所以在上的投影为 ，故D错 误；
故选: AC
11、答案：AC
解析：
12、答案：ACD
解析：
13、答案：135
解析：对于,其展开式的通式为,
则展开式中含项的系数为
14、答案：24
解析：甲、乙两班全部学生的平均体重为

甲、乙两队全部学生的体重方差为

15、答案：
解析：
16、答案：
解析：
17、答案：（1）见解析
（2）
解析：(1)连接，在上底面过点E作直线.
理由:平面,且平面,
，
又，，
平面，
平面，
.
(2)以D为原点DA,DC, 分别为x轴,y轴,z轴, 建立空间直角坐标系,

如图,设正方体的棱长为2 ,则,
所以,
又,,则,
设则平面的一个法向量为
,所以
设CE与平面所成角为,
则
所以CE与平面所成角的正切值为
18、答案：（1）
（2）
解析：(1)因为,即

则
又因为,可得,所以数列表示首项为-1,公比为-1的等比数列.
(2)略
19、（1）证明见解析
（2）
解析：略
20、答案：（1）②
（2）
（3）7.5分钟
解析：
21、答案：（1）
（2）5
解析：
22、答案：(1)在上单调递减，在上单调递增，
所以0为的一个极值点，故
(2)见解析
解析：(1)由，
则，
因为0为的一个极值点，
所以，所以．
当时，，
当时，因为函数在上单调递减，
所以，即在上单调递减；
当时，，则，
因为函数在上单调递减，且，，
由零点存在定理，存在，使得，
且当时，，即单调递增，
又因为，
所以，，在上单调递增；.
综上所述，在上单调递减，在上单调递增，
所以0为的一个极值点，故.
(2)①当时，，所以单调递减，
所以对，有，此时函数无零点；
当时，设，
则，
因为函数在上单调递减，且，，
由零点存在定理，存在，使得，
且当时，，即单调递增，
当时，，即单调递减．
又因为，
所以，，在上单调递增；
因为，，
所以存在，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减．
所以，当时，单调递增，；
当时，单调递减，，
此时在上无零点；
当时，，
所以在单减，
又，，
由零点存在定理，函数在上存在唯一零点；
当时，，此时函数无零点；
综上所述，在区间上存在唯一零点．
②因为，由（1）中在上的单调性分析，
知，所以在单增，
所以对，有，
即，所以．
令，则，
所以，
设，，
则，
所以函数上单调递减，
则，
即，，
所以 ，
所以，
所以.