2022-2023学年广东省佛山市禅城区南庄中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省佛山市禅城区南庄中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广东省佛山市禅城区南庄中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 剪纸是我国的传统民间艺术，用于装点生活或者配合其他民俗活动.下列剪纸图案中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是(    )
A. B. C. D.
2. 不等式3x>−6的解集是(    )
A. x>12 B. x>2 C. x>−2 D. x>−12
3. 三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是△ABC的(    )


A. 三条高线的交点 B. 三边垂直平分线的交点
C. 三条角平分线的交点 D. 三条中线的交点
4. 不等式组x<1x≥−2的解集在数轴上表示正确的是(    )
A. B.
C. D.
5. 古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距，4个结间距，5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一角便是直角，这样做的道理是(    )
A. 直角三角形两个锐角互余
B. 三角形的稳定性
C. 勾股定理
D. 勾股定理的逆定理
6. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=54°，则∠DAC等于(    )
A. 36°
B. 45°
C. 54°
D. 72°
7. 如图，在△ABC中，∠B=90°，AC=10，AD为此三角形的一条角平分线，若BD=3，则三角形ADC的面积为(    )


A. 3 B. 10 C. 12 D. 15
8. 某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣1分，在这次竞赛中，小明被评为优秀(85分或85分以上)，则小明至少答对了道题(    )
A. 16 B. 17 C. 18 D. 19
9. 某品牌洗地机的进价为2000元，商店以2400元的价格出售.元旦期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于10%的价格降价出售，则该洗地机最多可降价多少元？若设洗地机可降价x元，则可列不等式为(    )
A. 2400−2000−x2000≥10% B. 2400−2000−x2000≤10%
C. 2400−2000−x2400≥10% D. 2400−2000−x2400≤10%
10. 不等式组2x−1>3x>m的解集是x>2，那么m的取值范围是(    )
A. m>2 B. m≥2 C. m<2 D. m≤2
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. x与3的和不小于6，用不等式表示为______．
12. 点A(5,−1)关于原点的对称点为点B，则点B的坐标为______ ．
13. 如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠B=30°，则∠A为______ 度.

14. 如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，若△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为______．


15. 如图，在第1个△A1BC中，∠B=20°，A1B=CB，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D，在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，……，按此方法继续下去，第2023个等腰三角形的底角度数是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
解不等式3x−2>4−2(x−2)，并把解集表示在数轴上．


17. (本小题8.0分)
解不等式组3(x+2)>x+8①x−13≤x4②，并求出该不等式组的整数解．
18. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，∠B=90°．
(1)尺规作图：在AC边上找一点P，连接BP，使得∠CBP=∠C(保留作图痕迹，不作写法)．
(2)在(1)的条件下，若AB=6，BC=8，求线段BP的长．

19. (本小题9.0分)
已知：在△ABC中，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，且DE=DF.求证：△ABC是等腰三角形．

20. (本小题9.0分)
“端午节”是我国的传统节日.每年端午节期间，佛山各地有民间举办的龙舟赛，各乡各村派出阵容鼎盛的龙舟队参与竞渡，因此也会迎来大量的游客.为了满足游客的需求，某礼品店准备购进咸，甜两种口味的粽子，已知3个甜粽子和2个咸粽子进价共22元，6个甜粽子和5个咸粽子进价共49元．
(1)甜粽子和咸粽子每个进价各多少元？
(2)若该礼品店计划用至少2400元的金额购买两种粽子共500个，则甜粽子最多能购进多少个？
21. (本小题9.0分)
如图，在等边△ABC中，点D，E分別在边BC，AC上，DE//AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
(1)求∠F的度数；
(2)若CD=2，求DF、EF的长．

22. (本小题12.0分)
如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=105°，∠BOC等于α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
(1)求证：△COD是等边三角形．
(2)求∠OAD的度数．
(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？





23. (本小题12.0分)
如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点(端点除外)，点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
(1)求证：△ABQ≌△CAP；
(2)当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
(3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即得答案．
本题考查了轴对称图形和中心对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，沿某条直线折叠后直线两旁的部分可重合，判断中心对称图形的关键是寻找对称中心，旋转180度后可与自身重合．

2.【答案】C 
【解析】解：3x>−6，
∴系数化为1得x>−2，
故选：C．
根据一元一次不等式解法直接求解即可得到答案．
本题考查解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式解法是解决问题的关键．

3.【答案】B 
【解析】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
∴这个公园应建的位置是△ABC的三边垂直平分线的交点上．
故选：B．
根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等解答即可．
本题主要考查的是线段垂直平分线的性质，熟记性质是解题的关键．

4.【答案】A 
【解析】解：已知不等式组为x<1x≥−2，
则在数轴上表示该解集如下图所示：
，
故选：A．
根据数轴上表示一元一次不等式组的解集的方法进行判断即可．
本题考查在数轴上表示一元一次不等式组的解集，特别注意实心圆点与空心圆圈的区别．

5.【答案】D 
【解析】解：∵32+42=52，
∴该三角形是直角三角形，
故选：D．
根据勾股定理的逆定理可以判断该三角形的形状，然后即可解答本题．
本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理的知识解答．

6.【答案】A 
【解析】解：在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵∠B=∠C=54°，
∴∠DAC=90°−54°=36°，
故选：A．
根据等腰三角形的性质可得到AD⊥BC，再由∠B的度数即可求出∠DAC的度数．
本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】；③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．

7.【答案】D 
【解析】解：过D作DE⊥AC于E．

∵AD是∠BAC的角平分线，∠B=90°(DB⊥AB)，DE⊥AC，
∴BD=DE，
∵BD=3，
∴DE=3，
∴S△ADC=12⋅AC⋅DE=12×10×3=15
故选：D．
过D作DE⊥AC于E，根据角平分线性质得出BD=DE=3，再利用三角形的面积公式计算即可．
本题考查了角平分线的性质，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．

8.【答案】C 
【解析】解：设小明答对了x道题，则答错或不答(20−x)道题，
根据题意得：5x−(20−x)≥85，
解得：x≥352，
又∵x为正整数，
∴x的最小值为18，
∴小明至少答对了18道题．
故选：C．
设小明答对了x道题，则答错或不答(20−x)道题，利用得分=5×答对题目数−1×答错或不答题目数，结合得分不低于85分，可得出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．

9.【答案】A 
【解析】解：根据题意得2400−2000−x2000≥10%．
故选：A．
利用利润率=销售利润进价，结合利润率不低于10%，可得出关于x的一元一次不等式，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．

10.【答案】D 
【解析】解：2x−1>3 ①x>m ②，
由①得，x>2，
∵不等式组的解集是x>2，
∴m≤2．
故选：D．
求出第一个不等式的解集，然后根据同大取大列出不等式求解即可．
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)．

11.【答案】x+3≥6 
【解析】
【分析】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于(小于)、不超过(不低于)、是正数(负数)”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．

【解答】
解：x与3的和表示为：x+3，由题意可列不等式为：x+3≥6，
故答案为：x+3≥6．
x与3的和表示为：x+3，“不小于”用数学符号表示为“≥”，由此可得不等式x+3≥6．  
12.【答案】(−5,1) 
【解析】解：∵点A(5,−1)关于原点的对称点为点B，
∴点B的坐标为(−5,1)．
故答案为：(−5,1)．
直接利用关于原点对称点的坐标特点解答即可．
本题主要考查了关于原点对称点的坐标特点，正确记忆关于原点对称点的坐标特点是解题的关键．关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点是P′(−x,−y)．

13.【答案】50 
【解析】解：∵DE垂直平分AC，
∴AD=CD，
∴∠A=∠ACD
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴3∠A+∠B=180°，
∵∠A=180°−30°3=50°．
故答案为：50．
依据线段垂直平分线的性质，即可得到∠A=∠ACD，再根据角平分线的定义，即可得出∠ACB的度数，根据三角形内角和定理，即可得到∠A的度数．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．

14.【答案】20cm 
【解析】解：∵△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，
∴CF=AD=2cm，AC=DF，
∵△ABC的周长为16cm，
∴AB+BC+AC=16cm，
∴四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD
=AB+BC+AC+CF+AD
=16cm+2cm+2cm
=20cm．
故答案为：20cm．
先根据平移的性质得到CF=AD=2cm，AC=DF，而AB+BC+AC=16cm，则四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD，然后利用整体代入的方法计算即可．
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．

15.【答案】(12)2022×80° 
【解析】解：∵∠B=20°，A1B=CB，
∴∠BA1C=12×(180°−20°)=80°；
∵A1A2=A1D，
∴∠DA2A1=12∠BA1C=12×80°；
同理得：∠EA3A2=12∠DA2A1=(12)2×80°，∠FA4A3=12∠EA3A2=(12)3×80°，…，
一般地，第n个等腰三角形的底角的度数是(12)n−1×80°，
∴第2023个等腰三角形的底角度数是(12)2022×80°，
故答案为：(12)2022×80°．
根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求得∠BA1C的度数，再由三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2，∠FA4A3的度数，找出规律即可求解．
本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和及三角形外角的性质等知识，找出规律是解题的关键．

16.【答案】解：不等式去括号得：3x−2>4−2x+4，
移项合并得：5x>10，
解得：x>2，
数轴表示如下：
 
【解析】不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解集，再在数轴上表示即可．
此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

17.【答案】解：由①得：x>1，
由②得：x≤4，
所以该不等式组的解集是 1 所以该不等式组的整数解是2，3，4． 
【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出解集，找出整数解即可．
此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18.【答案】解：(1)如图，点P即为所求；

根据作图可得：点P在BC的垂直平分线上，
∴PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB；
(2)∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠C=90°，
∵∠PBC=∠PCB，
∴∠ABP+∠PBC=∠ABP+∠C=90°，
∴∠A=∠ABP，
∴AP=BP=PC，
在直角三角形ABC中，AC= AB2+BC2= 62+82=10，
∴BP=12AC=5． 
【解析】(1)作BC的垂直平分线，交AC于点P即可；
(2)根据同角的余角相等得到∠A=∠ABP，根据等角对等边求出AP=BP=PC，再利用勾股定理求出AC，从而得到结果．
本题考查了垂直平分线的作法和性质，勾股定理，等角对等边，解题的关键是根据题目要求作出垂直平分线，从而得到相等的角．

19.【答案】证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，
∴∠AED=∠CFD=90°，
∵D为AC的中点，
∴AD=DC，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
AD=DCDE=DF，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)，
∴∠A=∠C，
∴BA=BC，
∴△ABC是等腰三角形． 
【解析】只要证明Rt△ADE≌Rt△CDF，推出∠A=∠C，即可推出BA=BC，即可证明．
本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

20.【答案】解：(1)甜粽子和咸粽子每个进价各为x元、y元，
根据题意得：3x+2y=226x+5y=49，
解得：x=4y=5，
答：甜粽子和咸粽子每个进价各为4元、5元；
(2)设甜粽子购进a个，则购进咸粽子为(500−a)个，
由题意得：4a+5(500−a)≥2400，
解得：a≤100，
所以甜粽子最多购进100个． 
【解析】(1)甜粽子和咸粽子每个进价各为x元、y元，根据题意列出二元一次方程组即可求解；
(2)设甜粽子购进a个，则购进咸粽子为(500−a)个，根据题中提供的不等关系列出不等式即可求解．
本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式的实际应用，理解题意，找到数量关系并正确列出方程组与不等式是解题的关键．

21.【答案】解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵DE//AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°−∠EDC=30°；

(2)∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED=DC=2，
∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴DF=2DE=4，
∴EF= 3DE=2 3． 
【解析】(1)根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求解；
(2)易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．
本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，熟记30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．

22.【答案】解：(1)∵△BOC旋转60°得到△ADC，
∴△BCO≌△ACD，
∴OC=CD，且∠OCD=60°，
则△OCD是等边三角形；
(2)∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAO+∠OAC=60°，∠ABO+∠OBC=60°，
∵∠AOB=105°，
∴∠BAO+∠ABO=75°，
∴∠OAC+∠OBC=120°−75°=45°，
∵△BOC旋转60°得到△ADC，
∴△BCO≌△ACD，
∴∠DAC=∠OBC，
∴∠OAD=∠OAC+∠CAD=45°，
(3)若△AOD是等腰三角形
∵由(1)知△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°
由(2)知∠OAD=45°
当OA=OD时，∠AOD=90°，∠α=360°−105°−60°−90°=105°；
当OA=AD时，∠AOD=67.5°，∠α=360°−105°−60°−67.5°=127.5°；
当AD=OD时，∠AOD=45°，∠α=360°−105°−60°−45°=150°，
综上所述：当α=105°，127.5°或150°时，△AOD是等腰三角形． 
【解析】
【分析】
本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
(1)只要证明OC=OD，∠OCD=60°即可；
(2)想办法求出∠OAC+∠OBC=45°即可解决问题；
(3)分三种情形讨论求解即可解决问题．  
23.【答案】(1)证明：∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ=∠CAP=60°，AB=CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP=BQ，
在△ABQ与△CAP中，
∵AB=CA∠ABQ=∠CAPBQ=AP,
∴△ABQ≌△CAP(SAS)；
(2)解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，
∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°；
(3)解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．
理由：在△ABQ与△CAP中，
BQ=AP∠CAP=∠ABQ=60°AB=CA,
∴△ABQ≌△CAP(SAS)，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°−∠CAP=180°−60°=120°． 
【解析】此题是一个综合性题目，主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识．
(1)根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；
(2)由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，结合三角形内角和定理和邻补角性质，从而可得到∠QMC的度数；
(3)由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，结合三角形内角和定理和邻补角性质，可得到∠QMC的度数．