广东省广州市南沙区2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（含答案）

这是一份广东省广州市南沙区2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（含答案），共15页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广东省广州市南沙区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）
1．（3分）下列式子中，为最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（　　）
A．5，7，10 B．3，4，5 C．6，8，10 D．
3．（3分）在四边形ABCD中，AB∥DC，当满足下列哪个条件时，可以得出四边形ABCD是平行四边形（　　）
A．∠A+∠C＝180° B．∠B+∠D＝180° C．∠A+∠B＝180° D．∠A+∠D＝180°
4．（3分）已知函数y＝（k﹣3）x是正比例函数，且y随着x的增大而减小，则下面判断正确的是（　　）
A．k＞0 B．k＜0 C．k＞3 D．k＜3
5．（3分）若甲、乙、丙、丁四位同学在八年级第一学期4次数学测试的平均成绩恰好都是85分，方差分别为，，＝0.32，，则成绩最稳定的同学是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（3分）菱形ABCD的对角线AC＝4，∠D＝60°，则对角线BD的长是（　　）
A． B． C．4 D．2
7．（3分）如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点O.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（　　）

A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.8
8．（3分）如果，且a是非负数，则（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）若正比例函数y＝kx的图象经过第二、第四象限，常数k和b互为相反数，则一次函数y＝kx﹣b在平面直角坐标系中的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，点B，C，E在同一直线上，分别以BC，CE为边作正方形ABCD和正方形CEFG，BC＝2，CE＝4，H是AF的中点，那么CH的长是（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．（3分）计算：＝　 　．
12．（3分）直线y＝﹣2x+4的图象一定不经过第　 　象限．
13．（3分）平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）到坐标原点的距离是 　 　．
14．（3分）若一组数据：1，7，8，a，4的平均数是5，中位数是 　 　．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABD的平分线与边AD交于点E，则DE的长是 　 　．

16．（3分）直线y＝﹣2x+m与直线y＝x﹣1的交点在第四象限内，则m的取值范围是 　 　．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程
17．（4分）计算：．
18．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝55°，∠C＝35°，AC＝4，BC＝3．求AB的长．

19．（6分）周长为20cm的矩形，若它的一边长是xcm，面积是Scm2．
（1）请用含x的式子表示S，并指出常量与变量；
（2）当x＝6时，求S的值．
20．（6分）如图，AE∥BF，∠BAE的平分线交BF于点C，点D在AE上，AB＝AD，连接CD．
求证：四边形ABCD是菱形．

21．（8分）请阅读下面的材料，并探索用材料中的方法解决问题．
【材料1】两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：，我们称的一个有理化因式是．
【材料2】如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：．
问题探究：（1）写出的一个有理化因式：　 　；
（2）计算：；
（3）将式子分母有理化．
22．（10分）某渔业养殖户在自家鱼塘中放养了某种鱼2000条，若干年后，准备打捞出售，为了估计鱼塘中这种鱼的总质量，现从鱼塘中捕捞三次，得到数据如下表：

鱼的条数（条）
平均每条鱼的质量（千克）
第一次
30
2.8
第二次
40
3
第三次
30
3.2
（1）求鱼塘中这种鱼平均每条的重量．
（2）若这种鱼放养的成活率是85%，请估计鱼塘中这种鱼的总重量．（新生鱼和死鱼不计算入内．）
（3）如果把鱼塘中放养的2000条中存活的这种鱼全部卖掉，价格为每千克20元，若投资成本为45000元，求卖出后获得的纯利润．
23．（10分）一次函数y＝kx+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C．一次函数y＝﹣x+4的图象与x轴交于点B，与y轴交于点D．两函数图象交于点P（m，3）．
（1）求k和m的值；
（2）求线段AP的长；
（3）若直线AC上有一动点Q，过Q作直线QH，QH平行于y轴，QH直线BD于点H．当QH＝OB时，求Q的坐标．
24．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，AB＝10cm．动点P从点A出发，沿着A→C→B→A的路径，以每秒2cm的速度运动，当P回到A点时运动结束，设点P运动的时间为t秒．
（1）当t＝2时，求△BPC的面积；
（2）若AP平分∠CAB，求t的值；
（3）深入探索：若点P运动到边AB，且△ACP是等腰三角形，求t的值．

25．（12分）已知，如图①，在▱ABCD中，∠A＝90°，AB＝BC＝4，点E为CD上的一动点，连接BE，过点C作CH⊥BE于点H，以CH为腰作等腰直角△HCG，∠HCG＝90°，连接DH．

（1）求证：四边形ABCD为正方形；
（2）如图②，当D，H，G三点共线时，求DH2+DG2的值；
（3）求DH的最小值．

2022-2023学年广东省广州市南沙区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）
1．【分析】根据最简二次根式的定义对各选项进行判断．
【解答】解：A． ＝，所以A选项不符合题意；
B． 为最简二次根式，所以B选项符合题意；
C． ＝2，所以C选项不符合题意；
D． ＝2，所以D选项不符合题意；
故选：B．
2．【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
【解答】解：A、52+72≠102，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；
B、32+42＝52，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、62+82＝102，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、12+（）2＝22，能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：A．
3．【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定逐一验证．
【解答】解：∠A+∠C＝180°与∠B+∠D＝180°以及∠B+∠C＝180°，都不能判定AD∥BC或者AB＝CD．故A、B、C不符合题意．
若∠A+∠B＝180°时，AD∥BC，所以根据“有两组对边互相平行的四边形是平行四边形”可以判定四边形ABCD是平行四边形，选项D符合题意．
故选：D．
4．【分析】根据正比例函数y＝（k﹣3）x中，y随着x增大而减小得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵函数y＝（k﹣3）x是正比例函数，且y随着x的增大而减小，
∴k﹣3＜0，
解得k＜3．
故选：D．
5．【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．
【解答】解：∵，，＝0.32，，
∴S丙2＜S甲2＜S丁2＜S乙2，
∴成绩最稳定的同学是丙．
故选：C．
6．【分析】由菱形的性质，推出AC⊥BD，AO＝OC，BD＝2OD，∠ADO＝∠ADC，得到∠ADO＝30°，AO＝AC＝2，由直角三角形的性质求出OD＝AO＝2，得到BD＝4．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC，BD＝2OD，∠ADO＝∠ADC，
∵∠ADC＝60°，
∴∠ADO＝30°，
∵AC＝4，
∴AO＝AC＝2，
∴OD＝AO＝2，
∴BD＝4．
故选：A．

7．【分析】首先在直角三角形ABC中计算出CB长，再由题意可得EC长，再次在直角三角形EDC中计算出DC长，从而可得AD的长度．
【解答】解：∵AB＝2.5米，AC＝0.7米，
∴BC＝＝2.4（米），
∵梯子的顶部下滑0.4米，
∴BE＝0.4米，
∴EC＝BC﹣0.4＝2米，
∴DC＝＝1.5米．
∴梯子的底部向外滑出AD＝1.5﹣0.7＝0.8（米）．
故选：D．
8．【分析】根据二次根式的性质与化简方法进行计算即可．
【解答】解：∵＝|2a﹣1|＝2a﹣1，
∴2a﹣1≥0，
即a≥，
故选：C．
9．【分析】根据正比例函数的性质确定k的符号，然后根据一次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象在第二、第四象限，
∴k＜0，
∵常数k和b互为相反数，
∴b＞0，
∴一次函数y＝kx﹣b在平面直角坐标系中的图象在第二、三、四象限，
故选：D．
10．【分析】连接AC、CF，根据正方形的性质得到∠ACF＝90°，根据勾股定理求出AF的长，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半计算即可．
【解答】解：连接AC、CF，
在正方形ABCD和正方形CEFG中，
∠ACG＝45°，∠FCG＝45°，
∴∠ACF＝90°，
∵BC＝2，CE＝4，
∴AC＝2，CF＝4，
由勾股定理得，AF＝2，又H是AF的中点，
∴CH＝AF＝，
故选：B．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．【分析】利用二次根式的减法的法则进行运算即可．
【解答】解：
＝
＝．
故答案为：．
12．【分析】先根据一次函数的解析式判断出k、b的值，再根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．
【解答】解：∵直线y＝﹣2x+4中，k＝﹣2，b＝4，
∴此直线经过一、二、四象限，不经过第三象限．
故答案为：三．
13．【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵点P（﹣3，2）
∴点P（﹣3，2）到坐标原点的距离＝＝，
故答案为：．
14．【分析】根据平均数的计算方法求出a，再根据中位数的定义进行计算即可．
【解答】解：∵1，7，8，a，4的平均数是5，
∴a＝25﹣1﹣7﹣8﹣4＝5，
因此这组数据为：1，7，8，5，4，
将这5个数据从小到大排列，处在中间位置的一个数是5，
所以中位数是5，
故答案为：5．
15．【分析】过E作EH⊥BD于H，根据勾股定理得到BD＝＝10，根据角平分线的性质得到AE＝EH，根据全等三角形的性质得到BH＝AB＝6，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：过E作EH⊥BD于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝8，
∴BD＝＝10，
∵BE平分∠ABD，
∴AE＝EH，
在Rt△ABE与Rt△HBE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△HBE（HL），
∴BH＝AB＝6，
∴DH＝10﹣6＝4，
∵DE2＝EH2+DH2，
∴DE2＝（8﹣DE）2+42，
解得DE＝5，
故答案为：5．

16．【分析】联立两直线解析式求出交点坐标，再根据交点在第四象限列出不等式组求解即可．
【解答】解：联立，
解得，
∵交点在第四象限，
∴，
解得﹣1＜m＜2．
故答案为：﹣1＜m＜2．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程
17．【分析】利用二次根式的乘法的法则进行运算即可．
【解答】解：
＝
＝6+．
18．【分析】根据直角三角形勾股定理AB＝解．
【解答】解：∵∠A＝55°，∠C＝35°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣55°﹣35°＝90°．
故△ABC为直角三角形，
∴AB＝＝＝，
故AB的长为．
19．【分析】（1）根据函数的定义来确定常量与变量；根据矩形的面积公式写出S与x之间的关系式；
（2）代入数值求S的值．
【解答】解：（1）S＝x×＝﹣x2+10x，
周长20cm是常量；一边xcm，面积Scm2是变量．
（2）当x＝6时，
S＝﹣x2+10x
＝﹣62+10×6
＝﹣36+60
＝24．
20．【分析】根据平行线的性质得到∠DAC＝∠ACB，根据角平分线的定义得到∠DAC＝∠BAC，等量代换得到∠ACB＝∠BAC，根据菱形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：∵AE∥BF，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵AC平分∠BAE，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴∠ACB＝∠BAC，
∴AB＝BC，
∵AB＝AD，
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是菱形．
21．【分析】（1）根据互为有理化因式的定义，即可解答；
（2）利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答；
（3）根据材料2的解题思路进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）写出的一个有理化因式：+，
故答案为：+（答案不唯一）；
（2）
＝（2）2﹣（3）2﹣（5+2）
＝12﹣18﹣5﹣2
＝﹣11﹣2；
（3）＝＝＝2（2﹣3）＝4﹣6．
22．【分析】（1）用加权平均数的计算方法求得鱼的平均重量即可；
（2）用总条数乘以成活率求得鱼的总条数，然后乘以平均重量即可求得总重量；
（3）算出总售价减去投资成本即可求得纯收入．
【解答】解：（1）平均重量为：＝3（千克），
答：鱼塘中这种鱼平均每条的重量为3千克；
（2）∵鱼放养的成活率是85%，
∴该鱼塘中共有鱼2000×85%＝1700条，
总重量为：1700×3＝5100（千克），
答：估计鱼塘中这种鱼的总重量为5100千克；
（3）总收入为：5100×20＝102000（元），
∴102000﹣45000＝57000（元），
答：卖出后获得的纯利润为57000元．
23．【分析】（1）把P（m，3）代入一次函数y＝﹣x+4中求出m，根据待定系数法即可求出k；
（2）根据两点间的距离公式即可求出AP；
（3）设Q（t，t+2），则H（t，﹣t+4），由QH＝OB，得到|﹣t+4﹣（t+2）|＝4，解方程求出t，即可求出Q的坐标．
【解答】解：（1）把P（m，3）代入一次函数y＝﹣x+4中得3＝﹣m+4，
∴m＝1，
∴P（1，3），
把P（1，3）代入一次函数y＝kx+2中得3＝k+2，
∴k＝1；
（2）由（1）知y＝x+2，
当y＝0时，x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴AP＝＝3；
（3）由（1）得y＝x+2，令y＝0，得y＝﹣x+4＝0，
∴x＝4，
∴OB＝4，
设Q（t，t+2），则H（t，﹣t+4），
∵QH＝OB，
∴|﹣t+4﹣（t+2）|＝4，
∴|﹣t+1|＝2，
解得t＝3或t＝﹣1，
当t＝3时，t+2＝5，
当t＝﹣1时，t+2＝1，
∴Q的坐标为（3，5）或（﹣1，1）．

24．【分析】（1）根据题意求出CP，根据三角形面积公式计算；
（2）作PD⊥AB于D，根据角平分线的性质得到PC＝PD，根据勾股定理列式计算；
（3）分PA＝PC、AC＝CP、AC＝AP三种情况，根据等腰三角形的性质解答．
【解答】解：（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，AB＝10cm，

∴BC＝（cm），
由题意得，当t＝2时，AP＝2t＝4（cm），则CP＝6﹣4＝2（cm），
∴S△BPC＝×BC×CP＝×8×2＝8（cm2）；
（2）当线段AP恰好平分∠CAB时，作PD⊥AB于D，如图2，

∵线段AP平分∠CAB，∠ACB＝90°，PD⊥AB，
∴PC＝PD，AC＝AD＝6（cm），
∴BD＝AB﹣AD＝4（cm），
在Rt△BPD中，PB2＝PD2+BD2，即（8﹣PC）2＝PC2+42，
解得，PC＝3（cm），
∴t＝（AC+PC）＝×（6+3）＝4.5（s），
∴当t＝4.5s时，线段AP恰好平分∠CAB；
（3）如图3，当PA＝PC时，∠PAC＝∠PCA，

∵∠PAC+∠B＝90°，∠ACP+∠PCB＝90°，
∴∠PCB＝∠PBC，
∴PA＝PC＝PB＝5cm，
∴t＝（AC+CB+BP）＝9.5（s）；
如图4，当AC＝CP时，作CD⊥AB于点D，

△ABC的面积＝×AC×BC＝×AB×CD，即×6×8＝×10×CD，
解得，CD＝4.8，
在Rt△ACD中，AD＝（cm），
∴AP＝2AD＝7.2（cm），
∴BP＝AB﹣AP＝2.8（cm），
∴t＝（AC+CB+BP）＝8.4（s）；
如图5，当AC＝AP时，AP＝6cm，AB＝10cm，

∴PB＝AB﹣AP＝4cm，
∴t＝（AC+CB+BP）＝9（s）；
综上所述，当t为9.5s或9s或8.4s时，△ACP是等腰三角形．
25．【分析】（1）先证是矩形，再证是正方形；
（2）从DH2+DG2形式看，联想到勾股定理，说明三角形DHG是直角三角形即可；
（3）D，H两点一定一动，由CH⊥BE联想到隐圆．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是正方形．
（2）解：连接BD，BG．
∵∠BCG+∠BCH＝90°，
∴∠DCH+∠BCH＝90°，
∴∠BCG＝∠DCH，
∵CG＝CH，BC＝DC，
∴△BGC≌△DHC（SAS），
∴BG＝DH，∠BGC＝∠DHC，
∵∠HCG＝45°，
∴∠DHC＝135°，
∴∠BGC＝135°，
∵∠HGC＝45°，
∴∠BGD＝90°，
在Rt△BGD中，BG2+DG2＝BD2＝2AB2＝160，
∵BG＝DH，
∴DH2+DG2＝160．

（3）解：∵∠BHC＝90°，
∴点H在以BC的中点O为圆心，以为半径的圆上运动．
∴DH≥OD﹣OH＝﹣＝10﹣，
∴DH的最小值10﹣．

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