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2023年福建省莆田市城厢区顶墩实验学校中考数学模拟试卷（含解析）
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这是一份2023年福建省莆田市城厢区顶墩实验学校中考数学模拟试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年福建省莆田市城厢区顶墩实验学校中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 2的相反数是( )
A. −12 B. 12 C. −2 D. 2
2. 从教育部获悉，我国已基本建成世界第一大教育教学资源库.目前，国家中小学智慧教育平台现有资源超过44000条，其中44000用科学记数法表示为( )
A. 4.4×105 B. 4.4×104 C. 4.4×103 D. 44×103
3. 下列立体图形中，俯视图是正方形的是( )
A. B. C. D.
4. 如图，已知a= 3，则a在数轴上对应的点可能是( )
A. A B. B C. C D. D
5. 如图，直线a，b被直线c所截，若a//b，∠1=70°，则∠2的大小是( )
A. 70°
B. 80°
C. 100°
D. 110°
6. 下列计算结果正确的是( )
A. a2+a3=a5 B. (a2)3=a5
C. (a+b)2=a2+b2 D. a2⋅a3=a5
7. 下列说法中，正确的是( )
A. 为检测我市正在销售的酸奶质量，应该采用普查的方式
B. 若两名同学连续五次数学测试的平均分相同，则方差较大的同学数学成绩更稳定
C. 抛掷一个正方体骰子，朝上的面的点数为奇数的概率是12
D. “打开电视，正在播放广告”是必然事件
8. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB、AC的中点，若S△ADE=2，则S△ABC=( )
A. 4
B. 8
C. 2
D. 16
9. 已知x=1± 32是关于x的一元二次方程ax2−x−12=0的两个根，则a的值为( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 12
10. 平面直角坐标系中，抛物线y=ax2−3ax+c(a≠0)与直线y=2x+1上有三个不同的点A(x1,m)，B(x2,m)，C(x3,m)，如果n=x1+x2+x3，那么m和n的关系是( )
A. m=2n−3 B. m=n2−3 C. m=2n−5 D. m=n2−5
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 四边形的内角和的度数为______ ．
12. 不等式3x>8−x的解集为______ ．
13. 如图，OP平分∠MON，点A在射线OP上，AB⊥ON于点B，若OA=5，OB=4，则点A到射线OM的距离为______ ．
14. 我国数学家祖冲之是第一个将圆周率的计算精确到小数点后七位的人，他将圆周率精确到3.1415926.若从该数据的8个数字中随机抽取一个数字，则所抽到的数字是1的概率是______ ．
15. 在平面直角坐标系xOy中，▱AOBC的顶点A，B的坐标分别为(1,2)，(3,0)，若双曲线y=kx经过点C，则k的值为______ ．
16. 杨辉在《田亩比类乘除捷法》记载以下问题：
题：直填积八百六十四步，只云阔不及长十二步，同长阔共几何？
答：六十岁．
术：四因积步，以差步自乘，并而开平方除之，得长调共步．
“题”、“答”、“术”的意思大致如下：
问题：已知长方形的面积为864，长宽之差为12，则长宽之和为多少？
答案：60．
解法：如图， 4×864+122=60．
设一个矩形的边长分别是a，b(a>b)，请用一个等式解释上述解法的数学原理：______ (用含a，b的式子表示)
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算：20230+| 2−1|+(−1)2．
18. (本小题8.0分)
如图，在矩形ABCD中，E是AD中点，连接BE，EC.证明：EB=EC．
19. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(2a+1a−1)÷a2+2a+1a，其中a= 2−1．
20. (本小题8.0分)
某校在九年级学生中随机抽取了的若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调查，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．
频数分布表
组别
运动时间t/min
频数
频率
A
20≤t<40
2
a
B
40≤t<60
4
C
60≤t<80
16
D
80≤t<100
d
0.35
E
100≤t<120
4
合计
1
请根据图表中的信息解答下列问题：
(1)频数分布表中的a= ______ ，d= ______ ；
(2)教育部规定中小学生每天在校体育锻炼时间不少于1小时，若该校九年级共有400名学生，试估计该校九年级学生达到教育部规定的体育锻炼时间的人数．
21. (本小题8.0分)
如图已知：△ABC．
(1)按以下操作步骤作出菱形：(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
①作线段BC的垂直平分线，交AC于D点；
②以B点为圆心，BD长为半径画弧，交BC的垂直平分线与E点；
③则四边形DBEC为菱形．
(2)在(1)的前提下，若∠BAC=90°，AB=4，AC=8，求菱形DBEC的边长．
22. (本小题10.0分)
如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AC相切于点C，连接OA，OA平分∠CAB．
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若AC=8，tanB=43，求⊙O的半径．
23. (本小题10.0分)
夏天是小龙虾大量上市的季节，因其肉质鲜美，烹饪方式多样而受到消费者的喜爱.某水产经销商计划购进甲乙两种规格的小龙虾进行销售，若从批发商进货10kg甲种小龙虾和5kg乙种小龙虾，需支付350元；若进货10kg甲种小龙虾和10kg乙种小龙虾，需支付450元．
(1)求甲，乙两种规格的小龙虾的进价；
(2)根据前期的市场调查，为了应对近期旺盛的购买需求，该水产经销商计划每天进货90kg的小龙虾，其中甲种小龙虾不少于乙种小龙虾的2倍，甲种小龙虾定价为50元/kg，乙种小龙虾定价为40元/kg.考虑到销售过程的运输、人工、存储、损耗等销售成本，甲种小龙虾销售成本为2a元/kg，乙种小龙虾销售成本为a元/kg，其中3
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°.将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α(0°<α<180°)得到△AED，记点B，C的对应点分别为D，E，连接BD，CD，射线EC与BD交于点G．
(1)如图2，当点D在射线AC上时：
①求∠DEG的度数；(用含α的式子表示)
②若BC= 3AC，证明：四边形ABGE为平行四边形；
(2)在旋转过程中是否存在DC=12BD的情形？若存在，求出此时EG与EC的数量关系；若不存在，请说明理由．
25. (本小题14.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−4x+c(a≠0)与x轴分别交于点A(1,0)、点B(3,0)，与y轴交于点C，联结BC，点P在线段BC上，设点P的横坐标为m．
(1)求直线BC的表达式；
(2)如果以P为顶点的新抛物线经过原点，且与x轴的另一个交点为D；
①求新抛物线的表达式(用含m的式子表示)，并写出m的取值范围；
②过点P向x轴作垂线，交原抛物线于点E，当四边形AEDP是一个轴对称图形时，求新抛物线的表达式．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：2的相反数是−2，
故选：C．
根据相反数的概念解答即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2.【答案】B
【解析】解：44000=4.4×104，
故选：B．
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种表示数的方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是重要知识点，必须熟练掌握．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
俯视图是从物体上面看，所得到的图形．
本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
【解答】
解：A、圆柱的俯视图是圆，故此选项错误；
B、正方体的俯视图是正方形，故此选项正确；
C、三棱锥的俯视图是三角形，故此选项错误；
D、圆锥的俯视图是圆，故此选项错误；
故选：B．
4.【答案】C
【解析】解：∵1< 3<2，
∴a在数轴上对应的点可能是C．
故选：C．
直接利用算术平方根的性质得出 3的取值范围，进而得出答案．
此题主要考查了算术平方根，正确得出 3的取值范围是解题关键．
5.【答案】D
【解析】解：如图，
∵∠1+∠3=180°，
∴∠3=180°−70°=110°，
∵a//b，
∴∠2=∠3=110°，
故选：D．
根据邻补角得出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出答案．
本题主要考查平行线的性质，解题的关键是两直线平行，内错角相等．
6.【答案】D
【解析】解：∵a2和a3不是同类项，
∴选项A不符合题意；
∵(a2)3=a6，
∴选项B不符合题意；
∵(a+b)2=a2+2ab+b2，
∴选项C不符合题意；
∵a2⋅a3=a5，
∴选项D符合题意，
故选：D．
运用合并同类项、幂的乘方、完全平方公式和同底数幂相乘的计算方法对各选项分别进行计算、辨别．
此题考查了合并同类项、幂的乘方、完全平方公式和同底数幂相乘的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算．
7.【答案】C
【解析】解：A、为检测我市正在销售的酸奶质量，此调查具有破坏性，应该采用抽查的方式，此选项错误；
B、若两名同学连续五次数学测试的平均分相同，则方差较小的同学数学成绩更稳定，此选项错误；
C、抛掷一个正方体骰子，朝上的面的点数为奇数的概率是36=12，此选项正确；
D、“打开电视，正在播放广告”是随机事件，此选项错误；
故选：C．
根据调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，再根据随机事件定义和概率公式分别分析即可．
本题考查的是调查方法的选择以及方差的意义和概率求法、随机事件等知识；熟练掌握区分这些知识是解题关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵D、E分别是边AB、AC的中点，
∵DE=12BC，DE//BC，
∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=(DEBC)2=14，
∵S△ADE=2，
∴S△ABC=4S△ADE=4×2=8，
故选：B．
先根据三角形中位线定理得到DE=12BC，DE//BC，再证得△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的性质计算即可．
本题考查的是相似三角形的性质和判定、三角形中位线定理的应用，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵x=1± 32是关于x的一元二次方程ax2−x−12=0的两个根，
∴1a=1+ 32+1− 32=1，
∴a=1，
故选：C．
根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=−ba得出1a=1，解得a=1，
本题考查了根与系数的关系的应用，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)的两个根，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
10.【答案】C
【解析】解：∵y=ax2−3ax+c，
∴对称轴为直线x=−−3a2a=32，
如图，在抛物线上的两点A和B，关于直线x=32对称，则C点在反直线y=2x+1上，
∴x1+x2=3，
∵n=x1+x2+x3，
∴n=3+x3，
∴x3=n−3，
∴m=2(n−3)+1，
∴m=2n−5，
故选：C．
根据题意设在抛物线上的两点A和B，纵坐标相同，则关于对称轴对称，即可求得x3=n−3，则C(n−3,m)，代入解析式，即可求得m=2n−5．
本题考查了二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标适合解析式．
11.【答案】360°
【解析】解：(4−2)×180°=360°．
故答案为：360°．
根据多边形内角和定理：(n−2)⋅180 (n≥3且n为整数)，求解即可．
本题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：(n−2)⋅180 (n≥3且n为整数)．
12.【答案】x>2
【解析】解：∵3x>8−x，
∴3x+x>8，
则4x>8，
∴x>2，
故答案为：x>2．
根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
13.【答案】3
【解析】解：过A作AC⊥OM于点C，
又OP平分∠MON，AB⊥ON，
∴AB=AC，
又OA=5，OB=4，
∴AB= OA2−OB2=3，
∴AC=3．
故答案为：3．
先根据勾股定理求出AB，然后根据角平分线的性质求解即可．
本题考查了勾股定理，角平分线的性质，掌握角平分线上一点到角的两边距离相等是解题的关键．
14.【答案】14
【解析】解：所抽到的数字是1的概率是28=14，
故答案为：14．
直接由概率公式求解即可．
本题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比，熟记概率公式是解题的关键．
15.【答案】8
【解析】解：∵四边形AOBC是平行四边形，
∴OB=AC，AC//OB，
∵A(1,2)，B(3,0)，
∴AC=OB=3，
∴C(4,2)，
∵双曲线y=kx经过点C，
∴k=4×2=8，
故答案为：8．
利用平行四边形的性质得出OB=AC=3，AC//OB，即可得出C点坐标，再利用反比例函数的性质得出k的值．
此题主要考查了平行四边形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特点，得出C点坐标是解题关键．
16.【答案】 4ab+(a−b)2=a+b
【解析】解： 4ab+(a−b)2= 4ab+a2−2ab+b2= a2+2ab+b2= (a+b)2=a+b，
即 4ab+(a−b)2=a+b．
故答案为： 4ab+(a−b)2=a+b．
根据题意列算式，化简即可得到结论．
本题考查了一元二次方程的应用，二次根式的乘除，正确地理解题意是解题的关键．
17.【答案】解：20230+| 2−1|+(−1)2
=1+ 2−1+1
= 2+1．
【解析】先计算零次幂、去绝对值及有理数的乘方，再计算加减即可．
本题考查了零次幂、去绝对值、有理数的乘方及二次根式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠D=90°，
∵E是AD中点，
∴AE=DE，
在△BAE与△CDE中，
AB=CD∠A=∠D=90°AE=DE，
∴△BAE≌△CDE(SAS)，
∴EB=EC．
【解析】根据矩形的性质得出AB=CD，∠A=∠D=90°，利用全等三角形的判定和性质解答即可．
此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质得出AB=CD，∠A=∠D=90°解答．
19.【答案】解：原式=2a+1−aa÷(a+1)2a
=a+1a⋅a(a+1)2
=1a+1，
当a= 2−1时，
原式=1 2−1+1= 22．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】0.05 14
【解析】解：(1)由题意可知，a=5%=0.05，
样本容量为：2÷0.05=40，
故d=40×0.35=14，
故答案为：0.05，14；
(2)400×16+14+440=340(名)，
答：估计该校九年级学生达到教育部规定的体育锻炼时间的人数约为340名．
(1)根据扇形统计图可得a的值，根据“频率=频数÷总数”可得样本容量，进而得出d的值；
(2)利用样本估计总体的思想解答即可．
本题考查频数(率)分布表、扇形统计图，从统计图表中获取数量和数量关系是正确计算的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
21.【答案】解：(1)如图，菱形DBEC即为所求作；
(2)由(1)得四边形DBEC是菱形，
∴BD=BE=CE=CD，
∵AB=4，AC=8，
设BD=CD=x，则AD=AC−CD=8−x，
在Rt△ADB中，∠BAC=90°，根据勾股定理得AB2+AD2=BD2，
∴42+(8−x)2=x2，
解得x=5，
∴菱形DBEC的边长是5．
【解析】(1)根据要求利用尺规作出图形即可；
(2)根据菱形的性质得到BD=BE=CE=CD，设BD=CD=x，则AD=AC−CD=8−x，利用勾股定理得到42+(8−x)2=x2，解方程得到菱形的边长．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定与性质和勾股定理．
22.【答案】(1)证明：过点O作OD⊥AB于点D，
则∠ADO=90°，
∵⊙O与边AC相切于点C，
∴OC⊥AC，即∠ACO=90°，
∵OA平分∠CAB，
∴∠CAO=∠DAO，
∵∠CAO=∠DAO，∠ACO=∠ADO=90°，OA=OA，
∴△ACO≌△ADO(AAS)，
∴OC=OD，
∵OC是半径，
∴OD是半径，
又OD⊥AB，
∴AB是⊙O的切线；
(2)解：在Rt△ACB中，∠BAC=90°，
∵tanB=43=ACBC，
∴设AC=4x，BC=3x，
∵AC2+BC2=AB2，
∴16x2+9x2=100，
解得x1=2，x2=−2(舍去)，
∴BC=6，AC=8，
由(1)得△ACO≌△ADO，
∴AC=AD=8，
∵AB=10，
∴BD=AB−AD=2，
设⊙O的半径为r，则OC=OD=r，
在Rt△ODB中，∠ODB=90°，
∵OB2=OD2+BD2，
∴(6−r)2=r2+4，
解得r=83．
所以⊙O的半径为83．
【解析】(1)连接OD，由切线的性质可得∠ADO=90°，由“AAS”可证△ACO≌△ADO，可得OC=OD，由切线的判定可得结论；
(2)由锐角三角函数可设AC=4x，BC=3x，由勾股定理可求BC=6，再由勾股定理可求解．
本题是考查了切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，熟记切线的判定定理及锐角三角函数是解本题的关键．
23.【答案】解：(1)设甲种小龙虾的进价是x元/kg，乙种小龙虾的进价是y元/kg，
根据题意得：10x+5y=35010x+10y=450，
解得：x=25y=20．
答：甲种小龙虾的进价是25元/kg，乙种小龙虾的进价是20元/kg；
(2)设购进甲种小龙虾m kg，则购进乙种小龙虾(90−m)kg，
根据题意得：m≥2(90−m)，
解得：m≥60．
设购进的小龙虾全部售出后的总利润为w元，则w=(50−2a−25)m+(40−a−20)(90−m)，
∴w=(5−a)m+1800−90a．
当5−a<0，即5
∴当5
∴当a=5时，销售利润为定值；
当5−a>0，及3
∴当3
(2)设购进甲种小龙虾m kg，则购进乙种小龙虾(90−m)kg，根据购进甲种小龙虾不少于乙种小龙虾的2倍，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设购进的小龙虾全部售出后的总利润为w元，利用总利润=每千克的销售利润×销售数量，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可找出利润最大的进货方案．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
24.【答案】(1)①∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AED，旋转角为α，
∴∠CAE=α，AE=AC，
∴∠AEC=∠ECA=90°，
∵∠AED=∠ACB=90°，
∴∠DEC=12α．
②在Rt△ABC中，BC= 3AC，
∴tan∠CAB= 3，
∴∠CAB=60°．
∴旋转角α=60°，∠CBA=30°，
由①可知，∠ECA=60°，∠CAE=60°，∠EAB=120°，
∴EG//AB．
∵AD=AB，
∴∠BAD=180°−60°2=60°，
∴AE//BG，
∴四边形ABGE为平行四边形．
(2)①当点B，C，D不共线时，如图，过点D作BC的平行线与CG延长线交于点F，连接BF，DF．
由(1)①可知∠DEC=12α，∠ECA−90°−12α，
∵∠ACB=90°，
∴∠GCB=12α
∴DF//BC，
∴∠DFG=12α，
∴ED=DF．
∴ED=BC，
∴BC=DF，
∴四边形DCBF为平行四边形，
∴点G为BD，CF的中点，即CG=FG，DG=BG．
∵当DC=12BD时，
∴DC=DG，
∴∠DCG=∠DGC，
∴∠DCE=∠DGF，
∴△DCE≌△DGF(ASA)，
∴EC=CG，
∴EG=2CE，
②当点B，C，D三点共线时，此时α=2∠BAC，点G与点C重合．
∴DA=AB，且AC⊥BD，
∴DC=12BD，
此时EG=CE．
综上所述，在旋转过程中存在DC=12BD的情形，此时EG=2CE或EG=CE．
【解析】(1)①由旋转∠CAE=α，AE−AC.所以∠AEC=∠ECA=90°12α，进而可得∠DEC=12α；
②由已知，在Rt△ABC中，BC= 3AC，可得∠CAB=60°，由旋转可得∠ECA=60°，∠CAE=60°，∠EAB−120°，得到EG//AB，再证明AE//BG则问题可证；
(2)当B，C，D不共线时，过点D作BC的平行线与CG延长线交于点F，连接BF，DF.证明四边形DCBF为平行四边形，再证明△DCE≌△DGF(ASA)，得到EC=CG则可推出EG=2CE；
当B，C，D共线时，此时α=2∠BAC，点G与点C重合．可证明DC=12BD进而可得EG=CE．
本题考查图形的旋转，全等三角形的性质与判定，平行四边形性质和判定，解答关键是运用分类讨论是数学思想，具体问题具体分析．
25.【答案】解：(1)设抛物线的表达式为：y=a(x−1)(x−3)=a(x2−4x+3)，
则−4a=−4，则a=1，
故抛物线的表达式为：y=x2−4x+3，则点C(0,3)，
设直线BC的表达式为：y=kx+3，
将点B的坐标代入上式得：0=3k+3，
解得：k=−1，
即直线BC的表达式为：y=−x+3；
(2)①设点P(m,−m+3)(0
将点O的坐标为(0,0)代入上式得：0=t(0−m)2−m+3，
解得：t=m−3m2，
则新抛物线的表达式为：y=m−3m2(x−m)2−m+3，(0
②当点D在y轴左侧时，此时，点P不可能在BC上，故点D只能在y轴右侧，
由新抛物线的表达式知，其对称轴为x=m，则点D(2m,0)，
当PE垂直平分AD时，
则m−1=2m−m，
此方程无解，即此种情况不存在；
当AD垂直平分PE时，
则yP=|yE|，即−m+3=−(m2−4m+3)，
解得：m=3(舍去)或2，
故新抛物线的表达式为：y=−14(x−2)2−1．
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)①设点P(m,−m+3)(0
本题考查了二次函数综合题，涉及到待定系数求函数解析式、垂直平分线的性质、图象的平移等，有一定的综合性，难度适中．
2023年福建省莆田市城厢区顶墩实验学校中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 2的相反数是( )
A. −12 B. 12 C. −2 D. 2
2. 从教育部获悉，我国已基本建成世界第一大教育教学资源库.目前，国家中小学智慧教育平台现有资源超过44000条，其中44000用科学记数法表示为( )
A. 4.4×105 B. 4.4×104 C. 4.4×103 D. 44×103
3. 下列立体图形中，俯视图是正方形的是( )
A. B. C. D.
4. 如图，已知a= 3，则a在数轴上对应的点可能是( )
A. A B. B C. C D. D
5. 如图，直线a，b被直线c所截，若a//b，∠1=70°，则∠2的大小是( )
A. 70°
B. 80°
C. 100°
D. 110°
6. 下列计算结果正确的是( )
A. a2+a3=a5 B. (a2)3=a5
C. (a+b)2=a2+b2 D. a2⋅a3=a5
7. 下列说法中，正确的是( )
A. 为检测我市正在销售的酸奶质量，应该采用普查的方式
B. 若两名同学连续五次数学测试的平均分相同，则方差较大的同学数学成绩更稳定
C. 抛掷一个正方体骰子，朝上的面的点数为奇数的概率是12
D. “打开电视，正在播放广告”是必然事件
8. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB、AC的中点，若S△ADE=2，则S△ABC=( )
A. 4
B. 8
C. 2
D. 16
9. 已知x=1± 32是关于x的一元二次方程ax2−x−12=0的两个根，则a的值为( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 12
10. 平面直角坐标系中，抛物线y=ax2−3ax+c(a≠0)与直线y=2x+1上有三个不同的点A(x1,m)，B(x2,m)，C(x3,m)，如果n=x1+x2+x3，那么m和n的关系是( )
A. m=2n−3 B. m=n2−3 C. m=2n−5 D. m=n2−5
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 四边形的内角和的度数为______ ．
12. 不等式3x>8−x的解集为______ ．
13. 如图，OP平分∠MON，点A在射线OP上，AB⊥ON于点B，若OA=5，OB=4，则点A到射线OM的距离为______ ．
14. 我国数学家祖冲之是第一个将圆周率的计算精确到小数点后七位的人，他将圆周率精确到3.1415926.若从该数据的8个数字中随机抽取一个数字，则所抽到的数字是1的概率是______ ．
15. 在平面直角坐标系xOy中，▱AOBC的顶点A，B的坐标分别为(1,2)，(3,0)，若双曲线y=kx经过点C，则k的值为______ ．
16. 杨辉在《田亩比类乘除捷法》记载以下问题：
题：直填积八百六十四步，只云阔不及长十二步，同长阔共几何？
答：六十岁．
术：四因积步，以差步自乘，并而开平方除之，得长调共步．
“题”、“答”、“术”的意思大致如下：
问题：已知长方形的面积为864，长宽之差为12，则长宽之和为多少？
答案：60．
解法：如图， 4×864+122=60．
设一个矩形的边长分别是a，b(a>b)，请用一个等式解释上述解法的数学原理：______ (用含a，b的式子表示)
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算：20230+| 2−1|+(−1)2．
18. (本小题8.0分)
如图，在矩形ABCD中，E是AD中点，连接BE，EC.证明：EB=EC．
19. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(2a+1a−1)÷a2+2a+1a，其中a= 2−1．
20. (本小题8.0分)
某校在九年级学生中随机抽取了的若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调查，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．
频数分布表
组别
运动时间t/min
频数
频率
A
20≤t<40
2
a
B
40≤t<60
4
C
60≤t<80
16
D
80≤t<100
d
0.35
E
100≤t<120
4
合计
1
请根据图表中的信息解答下列问题：
(1)频数分布表中的a= ______ ，d= ______ ；
(2)教育部规定中小学生每天在校体育锻炼时间不少于1小时，若该校九年级共有400名学生，试估计该校九年级学生达到教育部规定的体育锻炼时间的人数．
21. (本小题8.0分)
如图已知：△ABC．
(1)按以下操作步骤作出菱形：(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
①作线段BC的垂直平分线，交AC于D点；
②以B点为圆心，BD长为半径画弧，交BC的垂直平分线与E点；
③则四边形DBEC为菱形．
(2)在(1)的前提下，若∠BAC=90°，AB=4，AC=8，求菱形DBEC的边长．
22. (本小题10.0分)
如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AC相切于点C，连接OA，OA平分∠CAB．
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若AC=8，tanB=43，求⊙O的半径．
23. (本小题10.0分)
夏天是小龙虾大量上市的季节，因其肉质鲜美，烹饪方式多样而受到消费者的喜爱.某水产经销商计划购进甲乙两种规格的小龙虾进行销售，若从批发商进货10kg甲种小龙虾和5kg乙种小龙虾，需支付350元；若进货10kg甲种小龙虾和10kg乙种小龙虾，需支付450元．
(1)求甲，乙两种规格的小龙虾的进价；
(2)根据前期的市场调查，为了应对近期旺盛的购买需求，该水产经销商计划每天进货90kg的小龙虾，其中甲种小龙虾不少于乙种小龙虾的2倍，甲种小龙虾定价为50元/kg，乙种小龙虾定价为40元/kg.考虑到销售过程的运输、人工、存储、损耗等销售成本，甲种小龙虾销售成本为2a元/kg，乙种小龙虾销售成本为a元/kg，其中3
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°.将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α(0°<α<180°)得到△AED，记点B，C的对应点分别为D，E，连接BD，CD，射线EC与BD交于点G．
(1)如图2，当点D在射线AC上时：
①求∠DEG的度数；(用含α的式子表示)
②若BC= 3AC，证明：四边形ABGE为平行四边形；
(2)在旋转过程中是否存在DC=12BD的情形？若存在，求出此时EG与EC的数量关系；若不存在，请说明理由．
25. (本小题14.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−4x+c(a≠0)与x轴分别交于点A(1,0)、点B(3,0)，与y轴交于点C，联结BC，点P在线段BC上，设点P的横坐标为m．
(1)求直线BC的表达式；
(2)如果以P为顶点的新抛物线经过原点，且与x轴的另一个交点为D；
①求新抛物线的表达式(用含m的式子表示)，并写出m的取值范围；
②过点P向x轴作垂线，交原抛物线于点E，当四边形AEDP是一个轴对称图形时，求新抛物线的表达式．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：2的相反数是−2，
故选：C．
根据相反数的概念解答即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2.【答案】B
【解析】解：44000=4.4×104，
故选：B．
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种表示数的方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是重要知识点，必须熟练掌握．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
俯视图是从物体上面看，所得到的图形．
本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
【解答】
解：A、圆柱的俯视图是圆，故此选项错误；
B、正方体的俯视图是正方形，故此选项正确；
C、三棱锥的俯视图是三角形，故此选项错误；
D、圆锥的俯视图是圆，故此选项错误；
故选：B．
4.【答案】C
【解析】解：∵1< 3<2，
∴a在数轴上对应的点可能是C．
故选：C．
直接利用算术平方根的性质得出 3的取值范围，进而得出答案．
此题主要考查了算术平方根，正确得出 3的取值范围是解题关键．
5.【答案】D
【解析】解：如图，
∵∠1+∠3=180°，
∴∠3=180°−70°=110°，
∵a//b，
∴∠2=∠3=110°，
故选：D．
根据邻补角得出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出答案．
本题主要考查平行线的性质，解题的关键是两直线平行，内错角相等．
6.【答案】D
【解析】解：∵a2和a3不是同类项，
∴选项A不符合题意；
∵(a2)3=a6，
∴选项B不符合题意；
∵(a+b)2=a2+2ab+b2，
∴选项C不符合题意；
∵a2⋅a3=a5，
∴选项D符合题意，
故选：D．
运用合并同类项、幂的乘方、完全平方公式和同底数幂相乘的计算方法对各选项分别进行计算、辨别．
此题考查了合并同类项、幂的乘方、完全平方公式和同底数幂相乘的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算．
7.【答案】C
【解析】解：A、为检测我市正在销售的酸奶质量，此调查具有破坏性，应该采用抽查的方式，此选项错误；
B、若两名同学连续五次数学测试的平均分相同，则方差较小的同学数学成绩更稳定，此选项错误；
C、抛掷一个正方体骰子，朝上的面的点数为奇数的概率是36=12，此选项正确；
D、“打开电视，正在播放广告”是随机事件，此选项错误；
故选：C．
根据调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，再根据随机事件定义和概率公式分别分析即可．
本题考查的是调查方法的选择以及方差的意义和概率求法、随机事件等知识；熟练掌握区分这些知识是解题关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵D、E分别是边AB、AC的中点，
∵DE=12BC，DE//BC，
∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=(DEBC)2=14，
∵S△ADE=2，
∴S△ABC=4S△ADE=4×2=8，
故选：B．
先根据三角形中位线定理得到DE=12BC，DE//BC，再证得△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的性质计算即可．
本题考查的是相似三角形的性质和判定、三角形中位线定理的应用，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵x=1± 32是关于x的一元二次方程ax2−x−12=0的两个根，
∴1a=1+ 32+1− 32=1，
∴a=1，
故选：C．
根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=−ba得出1a=1，解得a=1，
本题考查了根与系数的关系的应用，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)的两个根，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
10.【答案】C
【解析】解：∵y=ax2−3ax+c，
∴对称轴为直线x=−−3a2a=32，
如图，在抛物线上的两点A和B，关于直线x=32对称，则C点在反直线y=2x+1上，
∴x1+x2=3，
∵n=x1+x2+x3，
∴n=3+x3，
∴x3=n−3，
∴m=2(n−3)+1，
∴m=2n−5，
故选：C．
根据题意设在抛物线上的两点A和B，纵坐标相同，则关于对称轴对称，即可求得x3=n−3，则C(n−3,m)，代入解析式，即可求得m=2n−5．
本题考查了二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标适合解析式．
11.【答案】360°
【解析】解：(4−2)×180°=360°．
故答案为：360°．
根据多边形内角和定理：(n−2)⋅180 (n≥3且n为整数)，求解即可．
本题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：(n−2)⋅180 (n≥3且n为整数)．
12.【答案】x>2
【解析】解：∵3x>8−x，
∴3x+x>8，
则4x>8，
∴x>2，
故答案为：x>2．
根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
13.【答案】3
【解析】解：过A作AC⊥OM于点C，
又OP平分∠MON，AB⊥ON，
∴AB=AC，
又OA=5，OB=4，
∴AB= OA2−OB2=3，
∴AC=3．
故答案为：3．
先根据勾股定理求出AB，然后根据角平分线的性质求解即可．
本题考查了勾股定理，角平分线的性质，掌握角平分线上一点到角的两边距离相等是解题的关键．
14.【答案】14
【解析】解：所抽到的数字是1的概率是28=14，
故答案为：14．
直接由概率公式求解即可．
本题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比，熟记概率公式是解题的关键．
15.【答案】8
【解析】解：∵四边形AOBC是平行四边形，
∴OB=AC，AC//OB，
∵A(1,2)，B(3,0)，
∴AC=OB=3，
∴C(4,2)，
∵双曲线y=kx经过点C，
∴k=4×2=8，
故答案为：8．
利用平行四边形的性质得出OB=AC=3，AC//OB，即可得出C点坐标，再利用反比例函数的性质得出k的值．
此题主要考查了平行四边形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特点，得出C点坐标是解题关键．
16.【答案】 4ab+(a−b)2=a+b
【解析】解： 4ab+(a−b)2= 4ab+a2−2ab+b2= a2+2ab+b2= (a+b)2=a+b，
即 4ab+(a−b)2=a+b．
故答案为： 4ab+(a−b)2=a+b．
根据题意列算式，化简即可得到结论．
本题考查了一元二次方程的应用，二次根式的乘除，正确地理解题意是解题的关键．
17.【答案】解：20230+| 2−1|+(−1)2
=1+ 2−1+1
= 2+1．
【解析】先计算零次幂、去绝对值及有理数的乘方，再计算加减即可．
本题考查了零次幂、去绝对值、有理数的乘方及二次根式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠D=90°，
∵E是AD中点，
∴AE=DE，
在△BAE与△CDE中，
AB=CD∠A=∠D=90°AE=DE，
∴△BAE≌△CDE(SAS)，
∴EB=EC．
【解析】根据矩形的性质得出AB=CD，∠A=∠D=90°，利用全等三角形的判定和性质解答即可．
此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质得出AB=CD，∠A=∠D=90°解答．
19.【答案】解：原式=2a+1−aa÷(a+1)2a
=a+1a⋅a(a+1)2
=1a+1，
当a= 2−1时，
原式=1 2−1+1= 22．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】0.05 14
【解析】解：(1)由题意可知，a=5%=0.05，
样本容量为：2÷0.05=40，
故d=40×0.35=14，
故答案为：0.05，14；
(2)400×16+14+440=340(名)，
答：估计该校九年级学生达到教育部规定的体育锻炼时间的人数约为340名．
(1)根据扇形统计图可得a的值，根据“频率=频数÷总数”可得样本容量，进而得出d的值；
(2)利用样本估计总体的思想解答即可．
本题考查频数(率)分布表、扇形统计图，从统计图表中获取数量和数量关系是正确计算的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
21.【答案】解：(1)如图，菱形DBEC即为所求作；
(2)由(1)得四边形DBEC是菱形，
∴BD=BE=CE=CD，
∵AB=4，AC=8，
设BD=CD=x，则AD=AC−CD=8−x，
在Rt△ADB中，∠BAC=90°，根据勾股定理得AB2+AD2=BD2，
∴42+(8−x)2=x2，
解得x=5，
∴菱形DBEC的边长是5．
【解析】(1)根据要求利用尺规作出图形即可；
(2)根据菱形的性质得到BD=BE=CE=CD，设BD=CD=x，则AD=AC−CD=8−x，利用勾股定理得到42+(8−x)2=x2，解方程得到菱形的边长．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定与性质和勾股定理．
22.【答案】(1)证明：过点O作OD⊥AB于点D，
则∠ADO=90°，
∵⊙O与边AC相切于点C，
∴OC⊥AC，即∠ACO=90°，
∵OA平分∠CAB，
∴∠CAO=∠DAO，
∵∠CAO=∠DAO，∠ACO=∠ADO=90°，OA=OA，
∴△ACO≌△ADO(AAS)，
∴OC=OD，
∵OC是半径，
∴OD是半径，
又OD⊥AB，
∴AB是⊙O的切线；
(2)解：在Rt△ACB中，∠BAC=90°，
∵tanB=43=ACBC，
∴设AC=4x，BC=3x，
∵AC2+BC2=AB2，
∴16x2+9x2=100，
解得x1=2，x2=−2(舍去)，
∴BC=6，AC=8，
由(1)得△ACO≌△ADO，
∴AC=AD=8，
∵AB=10，
∴BD=AB−AD=2，
设⊙O的半径为r，则OC=OD=r，
在Rt△ODB中，∠ODB=90°，
∵OB2=OD2+BD2，
∴(6−r)2=r2+4，
解得r=83．
所以⊙O的半径为83．
【解析】(1)连接OD，由切线的性质可得∠ADO=90°，由“AAS”可证△ACO≌△ADO，可得OC=OD，由切线的判定可得结论；
(2)由锐角三角函数可设AC=4x，BC=3x，由勾股定理可求BC=6，再由勾股定理可求解．
本题是考查了切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，熟记切线的判定定理及锐角三角函数是解本题的关键．
23.【答案】解：(1)设甲种小龙虾的进价是x元/kg，乙种小龙虾的进价是y元/kg，
根据题意得：10x+5y=35010x+10y=450，
解得：x=25y=20．
答：甲种小龙虾的进价是25元/kg，乙种小龙虾的进价是20元/kg；
(2)设购进甲种小龙虾m kg，则购进乙种小龙虾(90−m)kg，
根据题意得：m≥2(90−m)，
解得：m≥60．
设购进的小龙虾全部售出后的总利润为w元，则w=(50−2a−25)m+(40−a−20)(90−m)，
∴w=(5−a)m+1800−90a．
当5−a<0，即5
∴当5
∴当a=5时，销售利润为定值；
当5−a>0，及3
∴当3
(2)设购进甲种小龙虾m kg，则购进乙种小龙虾(90−m)kg，根据购进甲种小龙虾不少于乙种小龙虾的2倍，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设购进的小龙虾全部售出后的总利润为w元，利用总利润=每千克的销售利润×销售数量，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可找出利润最大的进货方案．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
24.【答案】(1)①∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AED，旋转角为α，
∴∠CAE=α，AE=AC，
∴∠AEC=∠ECA=90°，
∵∠AED=∠ACB=90°，
∴∠DEC=12α．
②在Rt△ABC中，BC= 3AC，
∴tan∠CAB= 3，
∴∠CAB=60°．
∴旋转角α=60°，∠CBA=30°，
由①可知，∠ECA=60°，∠CAE=60°，∠EAB=120°，
∴EG//AB．
∵AD=AB，
∴∠BAD=180°−60°2=60°，
∴AE//BG，
∴四边形ABGE为平行四边形．
(2)①当点B，C，D不共线时，如图，过点D作BC的平行线与CG延长线交于点F，连接BF，DF．
由(1)①可知∠DEC=12α，∠ECA−90°−12α，
∵∠ACB=90°，
∴∠GCB=12α
∴DF//BC，
∴∠DFG=12α，
∴ED=DF．
∴ED=BC，
∴BC=DF，
∴四边形DCBF为平行四边形，
∴点G为BD，CF的中点，即CG=FG，DG=BG．
∵当DC=12BD时，
∴DC=DG，
∴∠DCG=∠DGC，
∴∠DCE=∠DGF，
∴△DCE≌△DGF(ASA)，
∴EC=CG，
∴EG=2CE，
②当点B，C，D三点共线时，此时α=2∠BAC，点G与点C重合．
∴DA=AB，且AC⊥BD，
∴DC=12BD，
此时EG=CE．
综上所述，在旋转过程中存在DC=12BD的情形，此时EG=2CE或EG=CE．
【解析】(1)①由旋转∠CAE=α，AE−AC.所以∠AEC=∠ECA=90°12α，进而可得∠DEC=12α；
②由已知，在Rt△ABC中，BC= 3AC，可得∠CAB=60°，由旋转可得∠ECA=60°，∠CAE=60°，∠EAB−120°，得到EG//AB，再证明AE//BG则问题可证；
(2)当B，C，D不共线时，过点D作BC的平行线与CG延长线交于点F，连接BF，DF.证明四边形DCBF为平行四边形，再证明△DCE≌△DGF(ASA)，得到EC=CG则可推出EG=2CE；
当B，C，D共线时，此时α=2∠BAC，点G与点C重合．可证明DC=12BD进而可得EG=CE．
本题考查图形的旋转，全等三角形的性质与判定，平行四边形性质和判定，解答关键是运用分类讨论是数学思想，具体问题具体分析．
25.【答案】解：(1)设抛物线的表达式为：y=a(x−1)(x−3)=a(x2−4x+3)，
则−4a=−4，则a=1，
故抛物线的表达式为：y=x2−4x+3，则点C(0,3)，
设直线BC的表达式为：y=kx+3，
将点B的坐标代入上式得：0=3k+3，
解得：k=−1，
即直线BC的表达式为：y=−x+3；
(2)①设点P(m,−m+3)(0
将点O的坐标为(0,0)代入上式得：0=t(0−m)2−m+3，
解得：t=m−3m2，
则新抛物线的表达式为：y=m−3m2(x−m)2−m+3，(0
②当点D在y轴左侧时，此时，点P不可能在BC上，故点D只能在y轴右侧，
由新抛物线的表达式知，其对称轴为x=m，则点D(2m,0)，
当PE垂直平分AD时，
则m−1=2m−m，
此方程无解，即此种情况不存在；
当AD垂直平分PE时，
则yP=|yE|，即−m+3=−(m2−4m+3)，
解得：m=3(舍去)或2，
故新抛物线的表达式为：y=−14(x−2)2−1．
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)①设点P(m,−m+3)(0
本题考查了二次函数综合题，涉及到待定系数求函数解析式、垂直平分线的性质、图象的平移等，有一定的综合性，难度适中．
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