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    2022-2023学年山东省临沂市罗庄区高一(下)第二次考试数学试卷(6月份)(含解析)

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    2022-2023学年山东省临沂市罗庄区高一(下)第二次考试数学试卷(6月份)(含解析)

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    这是一份2022-2023学年山东省临沂市罗庄区高一(下)第二次考试数学试卷(6月份)(含解析),共17页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    2022-2023学年山东省临沂市罗庄区高一(下)第二次考试数学试卷(6月份)
    一、单选题(本大题共8小题,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
    1. 若复数z=2−i20231+i,则复数z在复平面内对应的点在(    )
    A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
    2. 已知α为第二象限角,sin(α+π6)=17,则cosα=(    )
    A. 5 314 B. −3 314 C. 1314 D. −1114
    3. 在平面直角坐标系中,向量PA=(1,4),PB=(2,3),PC=(x,1),若A,B,C三点共线,则x的值为(    )
    A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
    4. 要得到函数y=3sin(2x+π5)的图象,只需(    )
    A. 将函数y=3sin(x+π5)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)
    B. 将函数y=3sin(x+π10)图象上所有点的横坐标变为原来12倍(纵坐标不变)
    C. 将函数y=3sin2x图象上所有点向左平移π5个单位
    D. 将函数y=3sin2x图象上所有点向左平移π10个单位
    5. 在△ABC中,AB=c,AC=b.若点D满足BD=2DC,则AD=(    )
    A. 23b+13c B. 53c−23b C. 23b−13c D. 13b+23c
    6. 如图为函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|0)的最小正周期为π,则(    )
    A. f(−π8)=0 B. f(x)在[π4,π2]上单调递减
    C. f(x)=−2在[0,5π2]内有5个零点 D. f(x)在[−π4,π4]上的值域为[−1, 2]
    11. 有下列说法,其中错误的说法是(    )
    A. 若a//b,b//c,则a//c
    B. 若PA⋅PB=PB⋅PC=PC⋅PA,则P是三角形ABC的垂心
    C. 若a//b,则存在唯一实数λ使得a=λb
    D. 两个非零向量a,b,若|a−b|=|a|+|b|,则a与b共线且反向
    12. 如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,AB=3,BC=6,且AD=λBC(λ∈R),AD⋅AB=−3,则(    )
    A. AB⋅BC=9
    B. 实数λ的值为13
    C. DC⋅BC=15
    D. 若M,N是线段BC上的动点,且|MN|=1,则DM⋅DN的最小值为132

    三、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
    13. 已知复数z的虚部为1,且z2−3为纯虚数,则|z|= ______ .
    14. cos80°cos140°+sin100°sin140°= ______ .
    15. 如图,边长为2的菱形ABCD的对角线相交于点O,点P在线段BO上运动,若AB⋅BO=−3,则AP⋅BP的最小值为______ .


    16. 如图,在海岸A处,发现北偏东45°方向,距离A为( 3−1)nmile的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°方向,距离A为2nmile的C处有一艘缉私艇奉命以10 3nmile/h的速度追截走私船,此时,走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜.则缉私艇沿北偏东______ 方向行驶才能最快追上走私船,需要的时间是______ h.

    四、解答题(本大题共6小题,共70.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
    17. (本小题10.0分)
    在复平面内,复数z=m2−m−6+(m2−2m−3)i,其中m∈R.
    (1)若复数z为纯虚数,求m的值;
    (2)若复数z对应的点在第二象限,求实数m的取值范围.
    18. (本小题12.0分)
    已知平面向量a,b,c满足,|a|=1,|b|=2,c=ta+b(t∈R).
    (1)若向量a,b的夹角为π3,且b⊥c,求t的值;
    (2)若|c|的最小值为 3,求向量a,b的夹角大小.
    19. (本小题12.0分)
    已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,−sinβ),c=(2,1),a//c,a⋅b= 55.
    (1)求sin2α+2cos2α1+tanα的值;
    (2)若α,β均为锐角,求tan(α−β)的值.
    20. (本小题12.0分)
    在①acosB+ 3bsinA=2a,②bsin(B+C)= 3acosB,③2cosC+cb=2ab这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.
    问题:△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知_____.
    (1)求B;
    (2)若D为AC的中点,BD= 7,c=2,求△ABC的面积.
    21. (本小题12.0分)
    记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3,已知S1+S2−S3= 3,sinC= 55.
    (1)求△ABC的面积;
    (2)若sinAsinB= 53,求c.
    22. (本小题12.0分)
    已知a=(sinωx,cosωx),b=(cosωx, 3cosωx),其中ω>0,函数f(x)=a⋅(b− 32a)的最小正周期为π
    (1)求函数f(x)的单调递增区间:
    (2)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且满足f(A2)= 32,求ab的取值范围.
    答案和解析

    1.【答案】D 
    【解析】解:i2023=(i4)505⋅i3=−i,
    故z=2−i20231+i=2+i1+i=(2+i)(1−i)(1+i)(1−i)=32−12i,
    所以复数z在复平面内对应的点(32,−12)在第四象限.
    故选:D.
    根据已知条件,结合复数的四则运算,以及复数的几何意义,即可求解.
    本题主要考查复数的四则运算,以及复数的几何意义,属于基础题.

    2.【答案】D 
    【解析】解:因为α为第二象限角,
    所以2π3+2kπ0)
    ∴AB=(x,−y),BO=(0,y),∴AB⋅BO=−y2=−3,∴y= 3,
    ∵|AB|=2,∴x2+y2=4,∴x=1,∴A(−1,0),B(0,− 3),
    设P(0,m),− 3≤m≤0,∴AP=(1,m),BP=(0,m+ 3),
    ∴AP⋅BP=m(m+ 3)=m2+ 3m=(m+ 32)2−34,
    ∴当m=− 32时,AP⋅BP取得最小值−34.
    故答案为:−34.

    建立平面直角坐标系,由已知求得AO,BO的长,设P(0,m),求出两向量的坐标,从而求出数量积的表达式,再二次函数的性质即可求出.
    本题考查的知识点是平面向量数量积的性质及其运算,还考查了求二次函数最值,属于中档题.

    16.【答案】60°  610 
    【解析】解:在△ABC中,∠CAB=45°+75°=120°,
    由余弦定理,得BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcos∠CAB
    =( 3−1)2+22−2×( 3−1)×2×(−12)=6,
    所以,BC= 6,
    在△ABC中,由正弦定理,得ABsin∠ACB=BCsin120∘,
    所以,sin∠ACB=AB⋅sin120°BC= 3−12 2= 6− 24,
    又∵0°

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