数学七年级上册第四章 几何图形初步4.3 角4.3.1 角精品导学案

这是一份数学七年级上册第四章 几何图形初步4.3 角4.3.1 角精品导学案，共11页。学案主要包含了自主学习，合作探究，当堂检测，学习小结等内容，欢迎下载使用。

第四章 几何图形初步
4.3 角
4.3.1 角
学习目标：
1．认识角，掌握角的两种定义形式及四种表示方法．
2．认识角度的单位；会初步进行角度的度、分互化运算．
学习重点：
1．角的概念与角的表示方法．
2．角度的计算．
学习难点：对角的概念的理解．
使用要求：
1．限时25分钟完成本导学案（合作或独立完成均可）；
2．课前在小组内交流展示．
一、自主学习：
1．下面的图形，你有怎样的认识？

2．角是一种基本的几何图形，画出一个角试试．

3．生活中有形如“∠”这种形状的图形吗？试举出一个例子．

4．角的概念．
（1）有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．
这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
如图，角的顶点是O，两边分别是射线OA、OB．
（2）角有以下的表示方法：
① 用三个大写字母及符号“∠”表示．
三个大写字母分别是顶点和两边上的任意点，顶点的字母必须写在中间．
如上图的角，可以记作∠AOB或∠BOA．
② 用一个大写字母表示．这个字母就是顶点．如上图的角可记作∠O．
注意：当有两个或两个以上的角是同一个顶点时，不能用一个大写字母表示．
③ 用一个数字或一个希腊字母表示．
在角的内部靠近角的顶点处画一弧线，写上希腊字母或数字．
如图的两个角，分别记作∠、∠1







二、合作探究：
1．角度的单位：度、分、秒及其表示方法．
把圆周角等分成360等分，每一份就是什么是1度的角，记作1°．
把1度的角等分成60等分，每一份就是什么是1分的角，记作1′．
把1分的角等分成60等分，每一份就是什么是1秒的角，记作1″．
由此我们可以得出：① 1°＝60′，1′＝60″
② 1周角＝360°，1平角＝180°
若∠是51度26分37秒，则记作∠＝____________（用符号表示）
【老师提示】：以度、分、秒为单位的角的度量制叫做角度制．
另外还有以弧度为单位的弧度制，军事上常用密位制．
1弧度＝＝57°17′44″，1密位＝
2．用量角器画角与角的度量
（1）用量角器画50°、90°、140°的角．26



【老师提示】用量角器度量角分三步：对中、重合、读数．
（2）估计画一个70°的角，然后度量比较判断，看看你的判断能力．



（2）用三角尺画特殊30°、45°、60°等特殊角．



三、当堂检测：
1．上午7时整，时针与分针成几度角？上午7时15分呢？



2．35.40°与35°40′相等吗？为什么？



3．如图，有几个角？分别表示这几个角．





四、学习小结：

4.3 角
4.3.2 角的比较与运算
学习目标：
1．通过观察与操作，体会角的大小，会比较角的大小，能估计一个角的大小．
2．在图形中认识角的和、差关系，在操作中认识角的平分线．
3. 会进行度、分、秒的互化及角度的简单运算．
4．会进行角度的“加、减、乘、除”运算．．
学习难点：
1. 角度的“除法”运算．
2. 度、分、秒的互化及角度的计算
使用要求：
1．限时20分钟完成本导学案（合作或独立完成均可）；
2．课前在小组内交流展示．
一、自主学习：
1．已知线段AB和线段CD（如图），你如何比较这两条线段的大小？


2．如图，图中共有几个角？如何表示这些角？
这些角之间有什么关系？


3．什么是1°的角？什么是1′的角？什么是1″的角？还记得吗？
如果不记得了，没关系，先看看书再完成下面的问题．
（1）35°15′与35.15°相等吗？为什么？

与35°15′相等吗？为什么？

（2）平角＝________度， 周角＝_______度．
（3）3.32°＝______度_______分_______秒． 12°9′36″＝_______度．
（完成上面的问题如果有困难，不妨与同学交流）

二、合作探究：
1．下面的三组图形，每组中都有两个角，你能判断它们的大小吗？说说你的方法．

【老师提示】如果你不会，可以参考我们前面对两条线段是如何比较大小的．
2．计算：（1）46°55′＋23°35′ （2）46°55′－23°35′



（3）68°21′－32°48′ （4）23°35′×3 （5）15°23′18″×4



3．想一想，你还能用三角尺可以画30°、45°、60°、90°这些特殊角吗？
（1）我们能不能用三角尺画出15°的角呢？怎样画？试试看．


（2）能用三角尺能画75°的角吗？


（3）你还能用三角尺画哪些度数的角？试着画画看．


4．角的平分线．
（1）任意画一个角，取名叫∠AOB．
你能否从角的顶点作出一条射线，把∠AOB分成两个相等的角？
如果能，试说出你的方法．


（2）角的平分线：
如图，射线OP是∠AOB的角平分线，那么图这几个角有怎样的大小关系？


5．我们知道线段有三等分点、四等分点，那么一个角会不会有三等分线或四等分线呢？
如图，给你一个角，你能作出它的三等分线吗？试试看．




三、当堂检测
1. 如图，已知OB、OC是∠AOB的三等分线，试说出几个你能得到的正确结论：

三、学习小结：
4.3.3 余角和补角
学习目标
1、理解余角和补角的概念。
2、会运用余角和补角的性质。
一、温故互查：
1.周角、平角、直角分别等于多少度？
2. 如图1：∠BOA=90°,∠ +∠ =90°

3.如图2:∠_______+∠_______=180°

二、设问导读：
阅读课本完成下列问题：
1.余角与补角的定义
问题1:
①认真读图1，如果两个角的和为90度，那么这两个角互余对吗？
②认真读图2，如果两个角的和为180度，那么这两个角互补对吗？
问题2：
如果∠1与∠2互余，用几何语言表示为∠1+∠2=90°对吗？如果∠1与∠2互补，用几何语言表示为∠1+∠2=180°对吗？?
2.余角与补角的性质
问题1：
如果∠1+∠2=90°，∠1+∠3= 90°，我们可以转化为∠2=90°-∠1，∠3=90°-∠1，那么∠2=∠3对吗？
如果∠1+∠2=90°∠3+∠4=90，我们可以转化为∠2=90°-∠1，∠4=90°-∠3，
当∠1=∠3时，那么∠2=∠4对吗？
由此得出：同角或等角的余角相等对吗？
同理：同角或等角的补角相等对吗？

三、自学检测：
若∠A=80°，则∠A的余角∠B= ，补角∠C= 。
四、巩固训练：
题组一：
1.已知∠A=600，则∠A的余角为_____，补角为___.
2.若∠1+∠2=90°,∠3+∠2=90°,则∠_____=_____, 依据是____________。
3.若∠A+∠B=180°,∠C+∠D=180°,∠B=∠D,则∠_____=_____, 依据是____________。
题组二：
1.已知∠α,用不同的方法,画出∠α的余角∠β 和∠α的补角∠γ.


2. 如果∠α=39°31’,则∠α的余角∠β =___,∠α的补角∠γ=___,∠γ-∠β=__.
3. 已知∠α=120°-3m°,∠β=3m°-30°,则∠α与∠β的关系是（ ）
A. ∠α>∠β B.∠α<∠β C.互余 D.互补
题组三：
1.一个角的余角是它的补角,求这个角的度数





2.如图,长方形ABCD沿AE折叠,使D点落在BC边上的F点处,如果∠BAF=60°,则∠DAE等于( )

A.15° B.30° C.45° D.60°
五、学习小结：

角 随堂练习
一、选择题
1.下图中表示∠ABC的图是( ).

2.将21.54°用度、分、秒表示为( )
A.21°54′ B.21°50′24″ C.21°32′40″ D.21°32′24″
3.如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB.若∠COB＝35°，则∠AOD等于(　　)

A.35°　 　　B.70° C.110° D.145°
4.钟表在8：25时，时针与分针的夹角是(　　)度.
A.101.5 B.102.5 C.120 D.125
5.如图，点A位于点O的　　　　　方向上.(　　) 
　　
A.南偏东35° B.北偏西65° C.南偏东65° D.南偏西65°
6.一个角的余角是这个角的补角的，则这个角的度数是(　　)
A.30° B.45° C.60° D.70°
7.同学小明在用一副三角板画出了许多不同度数的角，但下列哪个度数他画不出来(　　)
A.135° B.120° C.75° D.25°
8.如图，将长方形ABCD纸片沿对角线BD折叠，使点C落在点C/处，BC/交人D于点E，若∠DBC=22.5°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°角(虚线也视为角的边)共有( )

A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
二 、填空题
9.比较角的大小：37°18′_______37.18°.
10.自习课时，同学抬头看见挂在黑板上方的时钟显示为9：30，此时时针与分针夹角是_____度.
11.若∠1＝36°30′，则∠1的余角等于　 　.
12.已知∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，∠1＝67°，则∠3＝　 　.
13.如图，将两块三角板的直角顶点重叠在一起，∠DOB与∠DOA的比是2：11，则∠BOC=________．

14.用一副三角板可以直接得到30°，45°，60°，90°四种角，利用一副三角板可以拼出另外一些特殊角，如75°，120°等，请拼一拼，使用一副三角板还能拼出哪些小于平角的角，这些角的度数是： .
三 、解答题
15.已知∠α=76°，∠β=41°31′，求：
(1)∠β的余角；
(2)∠α的2倍与∠β的的差．






16.如图，∠AOE＝80°，OB平分∠AOC，OD平分∠COE，∠AOB＝15°.
(1)求∠COD度数；
(2)若OA表示时钟时针，OD表示分针，且OA指在3点过一点，求此时的时刻是多少？




17.如图，已知∠AOB＝150°，OC平分∠AOB，∠AOD是直角，求∠COD的度数.





18.已知，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC.
(1)如图1.①若∠AOC=60°，求∠DOE的度数；
②若∠AOC=α，直接写出∠DOE的度数(含α的式子表示)；
(2)将图1中的∠DOC绕点O顺时针旋转至图2的位置，试探究∠DOE和∠AOC的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由.

答案
1.C
2.D
3.C.
4.B.
5.B
6.B.
7.D.
8.D
9.答案为：＞
10.答案为：105
11.答案为：53.5°.
12.答案为：157°.
13.答案为：70°
14.答案为：15°，105°，135°，150°，165°；
15.解：(1)∠β的余角=90°﹣∠β
=90°﹣41°31′
=48°29′；
(2)∵∠α=76°，∠β=41°31′，
∴2∠α﹣∠β=2×76°﹣×41°31′
=152°﹣20°45′30″
=131°14′30″．
16.解：(1)∵∠AOB＝15°，OB平分∠AOC，
∴∠AOC＝2∠AOB＝30°，
∵∠AOE＝80°，
∴∠COE＝∠AOE－∠AOC＝50°，
∵OD平分∠COE，
∴∠COD＝∠COE＝25°；
(2)设此时的时刻为3点x分，则从3点算起，分针OD转过了6x°，
时针OA转过了0.5x°，3点时，时针与分针成90°，而∠AOD＝55°，
故90－6x＋0.5x＝55，解得x＝.
所以此时的时刻为3点分.
17.解：∵∠AOB＝150°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠AOB＝×150°＝75°，
∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝90°﹣75°＝15°.
18.解：(1)①∵∠AOC=60°
∴∠BOC=180°﹣∠AOC=180°﹣60°=120°
又∵OE平分∠BOC
∴∠COE=∠BOC=×120°=60°
又∵∠COD=90°
∴∠DOE=∠COD﹣∠COE=90°﹣60°=30°
②∠DOE=90°﹣(180﹣α)=90°﹣90°+α=α；
(2)∠DOE=∠AOC，理由如下：
∵∠BOC=180°﹣∠AOC
又∵OE平分∠BOC
∴∠COE=∠BOC=(180°﹣∠AOC)=90°﹣∠AOC
又∵∠DOE=90°﹣∠COE=90°﹣(90°﹣∠AOC)=∠AOC.