九年级上册4 探索三角形相似的条件综合训练题

这是一份九年级上册4 探索三角形相似的条件综合训练题，共12页。


4.4 探索三角形相似的条件 暑假预习同步训练 北师大版九年级数学上册
一、选择题
1．某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台中轴线AB的黄金分割点C处（如图1）最自然得体．即BCAB=5−12，在数轴（如题图2）上最接近5−12的点是（　　）

A．P B．Q C．M D．N
2．某品牌20寸的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度AB与从轮子底部到拉杆顶部的高度CD之比是黄金比（约等于0.618）．已知CD=80cm，则AB约是（　　）

A．30cm B．49cm C．55cm D．129cm
3．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上（BP长为x），则x满足的方程是（　　）

A．(20−x)2=20x B．x2=20(20−x)
C．x(20−x)=202 D．以上都不对
4．新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知△ABC是6×6的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与△ABC相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD延长线上一点，连接BE交AD于F，连接AE，则图中与△DEF相似（不包括本身）的三角形共有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加下列一个条件，错误的是（　　）

A．∠ABP=∠C B．APAB=BPBC C．APAB=ABAC D．∠APB=∠ABC
7．在三边都不相等的△ABC的边AB上有一点D，过点D画一条直线，与三角形的另一边相交所截得的三角形与△ABC相似，这样的直线最多可以画（　　）

A．5条 B．4条 C．3条 D．2条
8．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠BAC，则添加下列条件后，不能判定△ADC和△BAC相似的是（　　）

A．CA平分∠BCD B．∠DAC=∠ABC C．ACBC=CDAC D．ADAB=CDAC
9．如图，△ABC中，点D在BC边上，EF∥BC，分别交AB，AC，AD于点E，F，G，图中相似三角形共有（　　）．

A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
10．如图，在△ABC中，AG平分∠BAC，点D在边AB上，线段CD与AG交于点E，且∠ACD=∠B，下列结论中，错误的是（　　）

A．△ACD∽△ABC B．△ADE∽△ACG
C．△ACE∽△ABG D．△ADE∽△CGE
二、填空题
11．如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，C，D之间的距离为　 　．

12．已知M是线段AB上的黄金分割点.若AM 13．已知线段AB=4cm，C是AB的黄金分割点，且AC>BC，则AC=　 　.（结果保留根号）
14．数学中，把5−12这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是AB的黄金分割点（AP>BP），若线段AB的长为8cm，则BP的长为　 　cm．

15．如图，点P在△ABC的边AC上，请添加一个条件　 　，使△ABP∽△ACB，

16．图中的两个三角形是否相似，　 　（填“是”或“否”）.

17．如图，在△ABC中，AB>AC，点D在AB边上，点E在AC边上且AD
18．如图，在△ABC中，点D在AB上，连接CD．请添加一个条件　 　，使得△ACD∽△ABC，然后再加以证明．

三、解答题
19．如图，点D为△ABC的边AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，延长DE至点F，使DE=EF，求证：△CFE∽△ABC.

20．如图，在RtΔABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E．求证：ΔABF∼ΔCOE．

21．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转α得到△ADE（α为锐角），点D与点B对应，连接BD，CE.求证：△ABD∽△ACE.


















答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：根据点P、Q、M、N的位置可得MNQN=5−12，则5−12最接近的是点M.
故答案为：C.
【分析】根据点P、Q、M、N的位置可得MNQN=5−12，据此解答.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可得：ABCD=AB80≈0.618，
∴AB≈49cm，
故答案为：B.
【分析】利用黄金比，结合图形，计算求解即可。
3．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意知，点P是AB的黄金分割点，且PB ∴AP2=BP•AB，
∴(20−x)2=20x．
故答案为：A．

【分析】利用黄金分割的定义可得BPAP=APAB，再将数据代入可得(20−x)2=20x。
4．【答案】D
【解析】【解答】解：取AB、BC、AC的中点为D、F、E，再取M、N为网格的点，连接ED、FD、EF、MN，如图所示：

∴ED∥BA，ED=12BC，
∴∠C=∠DEA，∠B=∠EDA，
∴△CBA∽△EDA，
同理可得△BAC∽△FEC，△CAB∽△FDB，
∵MB=4，CB=6，由勾股定理得NB=32，AB=42，
∴NBMB=32×24×2=CBAB，
∴△CBA∽△NBM，
∴该网格中所有与△ABC相似且有一个公共角的格点三角形的个数是4个，
故答案为：D
【分析】取AB、BC、AC的中点为D、F、E，再取M、N为网格的点，连接ED、FD、EF、MN，先根据中位线的性质得到ED∥BA，ED=12BC，进而得到∠C=∠DEA，∠B=∠EDA，再根据相似三角形的判定证明△CBA∽△EDA，△BAC∽△FEC，△CAB∽△FDB，再结合题意运用勾股定理得到MB=4，CB=6，NB=32，AB=42，进而得到NBMB=32×24×2=CBAB，再根据相似三角形的判定即可求解。
5．【答案】B
【解析】【解答】解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，AB∥DC，所以∠EFD=∠EBC，∠EDF=∠C，∠ABF=∠DEF，∠BAF=∠EDF，所以△EFD∽△EBC，△ABF∽△DEF.
故答案为：B.

【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥DC，利用平行四边形的性质可得∠EFD=∠EBC，∠EDF=∠C，∠ABF=∠DEF，∠BAF=∠EDF，根据两角分别相等的两个三角形相似可证以△EFD∽△EBC，△ABF∽△DEF.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：A.当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
B.APAB=BPBC，但不知夹角是否相等，不能证明△ABP∽△ACB，故此选项符合题意；
C.当APAB=ABAC时，又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
D.当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
故答案为：B．

【分析】利用相似三角形的判定方法逐项判断即可。
7．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，画直线DE∥BC交AC于点E，则△ADE∽△ABC；

如图，画直线DE交AC于点E，使∠AED=∠B，

∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC；
如图，画直线DE∥AC交BC于点E，则△BDE∽△BAC；

如图，画直线DE交BC于点E，使∠BED=∠A，

∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BCA；
∴这样的直线最多可以画4条．
故答案为：B

【分析】作∠ADE=∠B，∠ADE=∠C，∠BDE=∠A，∠BDE=∠C，可得所截得的三角形与△ABC相似 ，继而得解.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：A、 由CA平分∠BCD可得∠BCA=∠ACD，结合∠ADC=∠BAC，可以证明△ABC∽△DAC，故此选项不符合题意；
B、由∠DAC=∠ABC，结合∠ADC=∠BAC，可以证明△ABC∽△DAC，故此选项不符合题意；
C、由ACBC=CDAC，结合∠ADC=∠BAC，不可以证明△ABC∽△DAC，故此选项符合题意；
D、由ADAB=CDAC，结合∠ADC=∠BAC，可以证明△ABC∽△DAC，故此选项不符合题意；
故答案为：C．

【分析】利用相似三角形的判定方法逐项判断即可。
9．【答案】D
【解析】【解答】解：图中共有三对相似三角形，理由如下：
∵EF∥BC，EF分别交AB、AD、AC于点E、F、G
∴△AEG∼△ABD，△AGF∼△ADC，△AEF∼△ABC．
故答案为：D．

【分析】根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得答案。
10．【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠ACD=∠B，∠DAC=∠CAB，
∴△ACD∽△ABC，故A不符合题意；
∵AG平分∠BAC，
∴∠DAE=∠CAG．
∵∠AED=∠CAG+∠ACD，∠AGC=∠DAE+∠B，
∴∠AED=∠AGC，
∴△ADE∽△ACG，故B不符合题意；
∵∠CAE=∠BAG，∠ACD=∠B，
∴△ACE∽△ABG， 故C不符合题意；
在△ADE和△CGE中只有∠AED=∠CEG，不能证明△ADE∽△CGE，故D符合题意．
故答案为：D．

【分析】由∠ACD=∠B，∠DAC=∠CAB，可证△ACD∽△ABC；由角平分线的定义可得∠DAE=∠CAG，再利用三角形外角的性质可推出∠AED=∠AGC，根据两角分别相等可证△ADE∽△ACG；由∠CAE=∠BAG，∠ACD=∠B，根据两角分别相等可证△ACE∽△ABG，继而判断即可.
11．【答案】(805−160)cm
【解析】【解答】解：∵乐器上的一根弦AB=80cm，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，设BC=a，则AC=80-a，
∴80−a80=5−12，解得a=120−405，
∵支撑点D是靠近点A的黄金分割点，设AD=b，BD=80-b，
∴80−b80=5−12，解得b=120−405，
∴C，D之间的距离为80−a−b=805−160，
故答案为：(805−160)cm
【分析】根据黄金分割点的定义，设AD=b，设BC=a，分别求出a和b的值，进而即可求解。
12．【答案】(5−1)
【解析】【解答】解：∵点M为线段AB的黄金分割点，且AM ∴BM=5−12AB=5−12×2=(5−1)cm，
故答案为：(5−1).

【分析】由点M为线段AB的黄金分割点，且AM 13．【答案】25−2
【解析】【解答】解：∵ C为线段AB的黄金分割点，并且AC＞BC，AC为较长线段；
∴AC=4×5−12=25−2，
故答案为：25−2.
【分析】根据黄金分割的特点可得AC=5−12AB，然后将AB=4代入进行计算.
14．【答案】45−4
【解析】【解答】解：∵点P是AB的黄金分割点（AP>BP），线段AB的长为8cm，
∴APAB=5−12，
∴AP=5−12×8=(45−4)cm，
故答案为：45−4．

【分析】由于点P是AB的黄金分割点（AP>BP），可得APAB=5−12，据此即可求解.
15．【答案】∠C=∠ABP（答案不唯一）
【解析】【解答】解：在△ABC与△APB中，∠A是两个三角形的公共角，要使两个三角形相似，只需要添加∠C=∠ABP即可.
故答案为：∠C=∠ABP.（答案不唯一）
【分析】由相似三角形的判定定理，两组角对应相等的两个三角形相似，两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，而题目中∠A是两个三角形的公共角，从而即可解答.
16．【答案】是
【解析】【解答】解：如图，第一个三角形的第三个内角的度数为180°−70°−45°=65°，
根据有两个角对应相等的两个三角形相似得这两个三角形相似，
故答案为：是
【分析】根据内角和定理求出第一个三角形另一个内角的度数，然后根据有两个角对应相等的两个三角形相似进行判断.
17．【答案】∠1=∠C
【解析】【解答】解：添加∠1=∠C，
又∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△AED，
故答案为：∠1=∠C（答案不唯一）.
【分析】根据两角对应相等的两个三角形相似进行解答.
18．【答案】∠ACD=∠B（答案不唯一），证明见解析
【解析】【解答】解：添加∠ACD=∠B，
又∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
故答案为：∠ACD=∠B（答案不唯一）．

【分析】利用相似三角形的判定方法求解即可。
19．【答案】证明：∵点D为△ABC的边AB的中点，
∴AD=BD，
∵DE∥BC，
∴ADBD=AECE，∠ADE=∠B，
∴AE=CE，
在△ADE与△CFE中，
AE=CE∠AED=∠CEFDE=EF，
∴△ADE≌△CFE(SAS)，
∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠F，
∴∠B=∠F
∴△CFE∽△ABC.
【解析】【分析】根据中点的概念可得AD=BD，由平行线分线段成比例的性质可得ADBD=AECE，则AE=CE，根据平行线的性质可得∠ADE=∠B，利用SAS证明△ADE≌△CFE，得到∠A=∠ECF，∠ADE=∠F，推出∠B=∠F，然后根据两角对应相等的两个三角形相似进行证明.
20．【答案】证明：∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAF+∠DAC=90°，
∴∠BAF=∠C，
∵OE⊥OB，
∴∠BOA+∠COE=90°，
∵∠BOA+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠COE，
∴ΔABF∼ΔCOE；
【解析】【分析】根据题意先求出 ∠BAF=∠C， 再求出 ∠ABF=∠COE， 最后利用相似三角形的判定方法证明即可。
21．【答案】解：∵△ABC绕点A旋转α得到△ADE，
∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，
∴ABAC=ADAE，
∴△ABD∽△ACE.
【解析】【分析】根据旋转的性质可得AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，则ABAC=ADAE，然后根据相似三角形的判定定理进行证明.