高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算精品达标测试

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1.1.2 空间向量的数量积运算

课程标准
课标解读
1．会进行空间向量的线性运算，空间向量的数量积，空间向量的夹角的相关运算.
1．理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算、数量积的运算、夹角的相关运算及空间距离的求解.





知识点1 空间向量的夹角
定义
如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉

范围
0≤〈a，b〉≤π
向量垂直
如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b
拓展提升：
（1）当两个非零向量同向时，它们的夹角为多少度？反向时，它们的夹角为多少度？
只有两个非零空间向量才有夹角，当两个非零空间向量共线同向时，夹角为0，共线反向时，夹角为π.
（2）〈a，b〉，〈－a，b〉，〈a，－b〉，〈－a，－b〉，它们有什么关系？
对空间任意两个非零向量a，b有：
①〈a，b〉＝〈b，a〉；②〈－a，b〉＝〈a，－b〉；③〈－a，－b〉＝〈a，b〉．

【即学即练1】在正四面体ABCD中，与的夹角等于(　　)
A．30° B．60° C．150° D．120°
【解析】〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°.故选D

知识点2 空间向量的数量积运算
1．(1)空间向量的数量积
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0.
(2)运算律
数乘向量与数量积的结合律
(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R
交换律
a·b＝b·a
分配律
a·(b＋c)＝a·b＋a·c

2.投影向量及直线与平面所成的角
(1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②)．
(2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．


注意点：
(1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab.
(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定．
①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0.
②当θ为钝角时，a·b