高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示优秀课后复习题

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1.3 空间向量及其运算的坐标表示

课程标准
课标解读
理解和掌握空间向量的坐标表示及意义，会用向量的坐标表达空间向量的相关运算.会求空间向量的夹角、长度以及有关平行、垂直的证明.

利用空间向量的坐标表示，将形与数有机结合，并能进行相关的计算与证明是学习空间向量及运算的关键.也是解决空间几何的重要手段与工具.





知识点1 空间直角坐标系
1．空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
(2)相关概念：O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．
注意点：
(1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0.
(2)画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.
(3)建立的坐标系均为右手直角坐标系．在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
2．空间一点的坐标、向量的坐标
（1）空间点的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．

注：空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标特点
点的位置
x轴上
y轴上
z轴上
坐标的形式
(x,0,0)
(0，y,0)
(0,0，z)
点的位置
Oxy平面内
Oyz平面内
Ozx平面内
坐标的形式
(x，y,0)
(0，y，z)
(x,0，z)


（2）空间点的对称问题
①空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．
②对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．
（3）空间向量的坐标
向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a＝(x，y，z)．

【即学即练1】设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，则向量a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k的坐标分别是________．
答案：(3,2，－1)，(－2,4,2)
【即学即练2】画一个正方体ABCD－A1B1C1D1，若以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则
①顶点A，D1的坐标分别为________________；
②棱C1C中点的坐标为________；
③正方形AA1B1B对角线的交点的坐标为________．
答案　①(0,0,0)，(0,1,1)　②　③
【即学即练3】在空间直角坐标系中，已知点P(－2,1,4)．
(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；
(2)求点P关于Oxy平面对称的点的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标．
【解析】(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4)．
(2)由点P关于Oxy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(－2,1，－4)．
(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，
由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，
y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，
所以P3的坐标为(6，－3，－12)．
【即学即练4】已知、，设点、在平面上的射影分别为、，则向量的坐标为________．
【解析】点、在平面上的射影分别为、，
∴向量的坐标为．
故答案为：.
【即学即练5】已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，M为BC1的中点，N为A1B1的中点，建立适当的空间直角坐标系，求向量，，的坐标．
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设＝i，＝j，＝k，

＝4i＋0j＋0k＝(4,0,0)，
＝＋＝0i＋4j＋4k＝(0,4,4)，
∴＝＋＝＋＋＝－4i＋4j＋4k＝(－4,4,4)．

知识点2 空间向量的坐标运算
1．空间向量的坐标运算法则
设向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a＋b
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法
a－b
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘
λa
(λa1，λa2，λa3)
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
注意点：
(1)空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致．
(2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．
(3)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(4)向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示；数量积的结果为数量．

2．空间向量相关结论的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有
(1)平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
(2)垂直关系：a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
(3)|a|＝＝.
(4)cos〈a，b〉＝＝.
注意点：
(1)要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb(b≠0)．
(2)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若a∥b，则＝＝成立的条件是x2y2z2≠0.

3．空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)．
(1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．
(2)P1P2＝||＝.
(3)若O(0,0,0)，P(x，y，z)，则||＝.
注：空间两点间的距离公式推导过程
如图，建立空间直角坐标系Oxyz，

设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，＝－＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，
于是||＝＝
所以P1P2＝||＝，
因此，空间中已知两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝||＝.
【即学即练6】已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，则a＝________，b＝________，a·b＝________.
【解析】a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，∴a＝(1，，)，b＝(1,0，)，
∴a·b＝1＋0＋3＝4.

【即学即练7】已知a＝(－1,2,1)，b＝(2,0,1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝________.
【解析】易得2a＋3b＝(4,4,5)，a－b＝(－3,2,0)，则(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4.
【即学即练8】若＝(a1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3)，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】设，则=k，即，即“”可推出“”；
又若＝时，＝(0，0，0)，虽有成立，但条件显然不成立，
所以“”推不出“”，故“”是“”充分不必要条件.
故选：A．
【即学即练9】已知，，且，则的值为（ ）.
A． B．2 C． D．
【解析】，4，，，3，，
，存在实数使得，
，解得，．．
故选：．
【即学即练10】已知向量a＝(－2，x,2)，b＝(2,1,2)，c＝(4，－2,1)，若a⊥(b－c)，则x的值为(　　)
A．－2 B．2
C．3 D．－3
【解析】b－c＝(－2,3,1)，∴a·(b－c)＝4＋3x＋2＝0，∴x＝－2.故选A
【即学即练11】已知A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，则线段AB的长为(　　)
A．4 B．2
C．4 D．3
【解析】|AB|＝＝4.故选A

【即学即练12】在空间直角坐标系中，已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC一定是(　　)
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【解析】∵＝(3,4，－8)，＝(5,1，－7)，＝(2，－3,1)，∴||＝＝，||＝＝，||＝＝，∴||2＋||2＝||2，∴△ABC一定为直角三角形．故选C
【即学即练13】如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是AA1，CB1的中点．

(1)求BM，BN的长．
(2)求△BMN的面积．
【解析】以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．

则B(0,1,0)，M(1,0,1)，
N.
(1)∵＝(1，－1,1)，
＝，
∴||＝＝，
||＝＝.
故BM的长为，BN的长为.
(2)S△BMN＝·BM·BN·sin∠MBN.
∵cos∠MBN＝cos〈，〉
＝＝＝，
∴sin∠MBN＝＝，
故S△BMN＝×××＝.
即△BMN的面积为.

考点一 空间向量的坐标表示
解题方略：
1．建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上．充分利用几何图形的对称性．
2.求某点M的坐标的方法
作MM′垂直于平面Oxy，垂足为M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z)．
3.空间向量坐标运算的规律及注意点
(1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定．
已知空间点的坐标、A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)向量的坐标等于终点坐标减起点坐标．即＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．
(2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算．
(3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标．
【例1-1】在长方体ABCD­A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则向量在基底{i，j，k}下的坐标是(　　)
A．(1,1,1)　　　　　　　 B.
C．(3,2,5) D．(3,2，－5)
【解析】＝＋＋＝＋＋＝3i＋2j＋5k，∴向量在基底{i，j，k}下的坐标是(3,2,5)，故选C.
变式1：在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，建立适当的坐标系．
(1)写出E，F，G，H的坐标；
(2)写出向量，的坐标．
【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系．点E在z轴上，它的x坐标、y坐标均为0，而E为DD1的中点，故其坐标为.
由F作FM⊥AD，FN⊥DC，垂足分别为M，N，
由平面几何知识知FM＝，FN＝，
故F点坐标为.
点G在y轴上，其x、z轴坐标均为0，
又GD＝，故G点坐标为.
由H作HK⊥CG于K，由于H为C1G的中点．
故HK＝，CK＝，∴DK＝，
故H点坐标为.
(2)＝－＝，
＝－＝.

【例1-2】点P(1,1,1)关于Oxy平面的对称点P1的坐标为______，点P关于z轴的对称点P2的坐标为________．
【解析】点P(1,1,1)关于Oxy平面的对称点P1的坐标为(1,1，－1)，点P关于z轴的对称点P2的坐标为
(－1，－1,1)．

【例1-3】已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，则a·(－2b)＝________，(a－b)·(2a－3b)＝________.
【解析】a·(－2b)＝－2a·b＝－2(0＋1＋0)＝－2，a－b＝(1,0，－1)，2a－3b＝2(1,1,0)－3(0,1,1)＝(2，－1，－3)．∴(a－b)·(2a－3b)＝(1,0，－1)·(2，－1，－3)＝2＋3＝5.
答案：－2　5
【例1-4】已知M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，O为坐标原点，若＝，则点B的坐标应为(　　)
A．(－1,3，－3) B．(9,1,1)
C．(1，－3,3) D．(－9，－1，－1)
【解析】＝＝－，＝＋＝(9,1,1)．故选B

变式1：已知A(1，－2,0)和向量a＝(－3,4,12)，且＝2a，则点B的坐标为(　　)
A．(－7,10,24)　　　　　 B．(7，－10，－24)
C．(－6,8,24) D．(－5,6,24)
【解析】∵a＝(－3,4,12)，且＝2a，∴＝(－6,8,24)．∵A的坐标为(1，－2,0)，∴＝(1，－2,0)，＝＋＝(－6＋1,8－2,24＋0)＝(－5,6,24)，∴点B的坐标为(－5,6,24)．故选D.
变式2：已知A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若＝，则C的坐标是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】设点C的坐标为(x，y，z)，则＝(x，y，z)，又＝(－3，－2，－4)，＝，
所以x＝－，y＝－，z＝－，所以C.故选C
变式3：已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)．求点P的坐标，使：
(1)＝(－)；
(2)＝(－)．
【解析】＝(2,6，－3)，＝(－4,3,1)，
∴－＝(6,3，－4)．
(1)＝(6,3，－4)＝，
则点P的坐标为.
(2)设点P的坐标为(x，y，z)，
则＝(x－2，y＋1，z－2)，
∵(－)＝＝，
∴x＝5，y＝，z＝0，则点P的坐标为.
【例1-5】已知，点Q在直线OP上，那么当取得最小值时，点Q的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【解析】设，
由点在直线上，可得存在实数使得，
即，可得,
所以,
则，
根据二次函数的性质，可得当时，取得最小值，此时.
故选：C.
考点二 空间向量的平行与垂直
解题方略：
解决空间向量垂直、平行问题的有关思路
(1)若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标．例如，设向量a＝(x，y，z)．　　
(2)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件，在有关平行的问题中，通常需要引入参数．例如，已知a∥b，则引入参数λ，有a＝λb，再转化为方程组求解；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解．
(3)利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明．
【例2-1】已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则(　　)
A．x＝，y＝1 B．x＝，y＝－4
C．x＝2，y＝－ D．x＝1，y＝－1
【解析】由题意知，a＋2b＝(2x＋1,4,4－y)，2a－b＝(2－x,3，－2y－2)．
∵(a＋2b)∥(2a－b)，∴存在实数λ，使a＋2b＝λ(2a－b)，
∴解得
故选B

【例2-2】已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　)
A．1 B. C. D.
【解析】依题意得(ka＋b)·(2a－b)＝0，所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，
所以4k＋k－2－5＝0，解得k＝.故选D

变式1：已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设＝a，＝b.
①设向量c＝，试判断2a－b与c是否平行？
②若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
【解析】①因为a＝＝(1,1,0)，b＝＝(－1,0,2)，所以2a－b＝(3,2，－2)，
又c＝，所以2a－b＝－2c，所以(2a－b)∥c.
②因为a＝＝(1,1,0)，b＝＝(－1,0,2)，
所以ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．
又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.
解得k＝2或－.
【例2-3】正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值．
【解析】如图所示，以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，
由题意，可设点P的坐标为(a，a,1)，
因为3 ＝，所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a,0)，
所以3a－3＝－a，解得a＝，
所以点P的坐标为.
由题意可设点Q的坐标为(b，b,0)，
因为PQ⊥AE，所以·＝0，
所以·＝0，
即－－＝0，解得b＝，
所以点Q的坐标为，
因为＝λ，所以(－1，－1,0)＝λ，
所以＝－1，故λ＝－4.
【例2-4】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，已知E，F，G分别是CC1，A1C1，CD的中点．证明：AB1∥GE，AB1⊥EF.
证明：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，

则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)，由中点坐标公式得E，G，F.
∴＝(1,0,1)，
＝，
＝，
∴＝2，
·＝1×＋0＋1×＝0，
∴∥，⊥.
故AB1∥GE，AB1⊥EF.

【例2-5】如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.

(1)求证：AF∥平面BDE；
(2)求证：CF⊥平面BDE.
【证明】(1)设AC与BD交于点G，连接EG.
因为EF∥AC，且EF＝1，AG＝AC＝1，
所以四边形AGEF为平行四边形，
所以AF∥EG.
因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，
所以AF∥平面BDE.
(2)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD.
如图，以C为原点，建立空间直角坐标系Cxyz.则C(0,0,0)，A(，，0)，B(0，，0)，D(，0,0)，E(0,0,1)，F.

所以＝，
＝(0，－，1)，＝(－，0,1)．
所以·＝0－1＋1＝0，·＝－1＋0＋1＝0，
所以⊥，⊥，
即CF⊥BE，CF⊥DE.
又BE∩DE＝E，且BE⊂平面BDE，DE⊂平面BDE，
所以CF⊥平面BDE.

考点三 利用坐标运算解决夹角、距离问题
解题方略：
1．利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤
(1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；
(2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；
(3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角．
2．利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)求出线段端点的坐标；
(3)利用两点间的距离公式求出线段的长．　　　　
（一）夹角问题
【例3-1】已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则与的夹角为(　　)
A．30°　　　　　　　 B．45°
C．60° D．90°
【解析】设与的夹角为θ.由题意得＝(－1,1,0)，＝(0,3,3)，∴cos θ＝＝＝，∴θ＝60°，故选C.

变式1：已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，则cos〈a，b〉＝(　　)
A.　　　　B. C. D.
【解析】由已知得a＝(1，，)，b＝(1,0，)，∴cos〈a，b〉＝＝＝.故选C
【例3-2】若a＝(x,2,2)，b＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________．
【解析】a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4，设a，b的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cos θ＝0，|b|>0，所以a·b