高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用优秀同步练习题

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1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题

课程标准
课标解读
1. 会用向量法求线线、线面、面面的夹角及与其有关的角的三角函数值；会用向量法求点点、点线、点面、线线、线面、面面之间的距离及与其有关的面积与体积.
1. 能根据所给的条件利用空间向量这一重要工具进行空间中的距离与夹角（三角函数值）的求解.
2. 通过本节课的学习，提升平面向量、空间向量的知识相结合的综合能力，准确将平面向量、空间向量的概念，定理等内容与平面几何、空间立体几何有机的隔合在一起，提升解决问题的能力，将形与数，数与量有机的结合起来，为提升数学能力奠定基础.




知识点1 空间距离及向量求法
分类
点到直线的距离
点到平面的距离
图形语言


文字语言
设u为直线l的单位方向向量，A∈l，Pl，＝a，向量在直线l上的投影向量为
（＝(a·u)u.），
则PQ＝＝
设已知平面α的法向量为n，A∈α，Pα，向量是向量在平面上的投影向量，
PQ＝＝
注：实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度．
注意点：
(1)两条平行直线之间的距离：在其中一条直线上取定一点，则该点到另一条直线的距离即为两条平行直线之间的距离．
(2)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解．
(3)如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解．
【即学即练1】已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0) ，则点A到直线BC的距离为(　　)
A. B．1 C. D．2


【即学即练2】在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求O1到直线AC的距离．




【即学即练3】若三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是(　　)
A. B. C. D.




【即学即练4】在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点．
(1)求点M到直线AC1的距离；
(2)求点N到平面MA1C1的距离．





【即学即练5】两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是(　　)
A. B. C. D．3


知识点2　空间角及向量求法
角的分类
向量求法
范围
异面直线所成的角
设两异面直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为u，v，则
cos θ＝|cos〈u，v〉|＝
（1） 两异面直线所成角的范围是
（2） 两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系．

直线与平面所成的角
设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则
sin θ＝|cos〈u，n〉|＝
(1)线面角的范围为.
(2)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角．

两平面的夹角
平面α与平面β相交，形成四个二面角，把不大于的二面角称为这两个平面的夹角．设平面α与平面β的夹角为θ，两平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝
(1)两个平面的夹角的范围是
(2)两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角．
思考：（1）两个平面的夹角与二面角的平面角的区别？
平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角．二面角的平面角范围是[0，π]，而两个平面的夹角的范围是.
（2） 平面与平面所成的夹角与两平面的法向量所成夹角有何关系？
两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角．
【即学即练6】若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2所成的角为(　　)
A. B.
C.或 D．以上均不对

【即学即练7】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为(　　)

A. B. C. D.

【即学即练8】设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝，则l与α所成的角为(　　)
A. B. C. D.

【即学即练9】正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为________．


【即学即练10】如图所示，点A，B，C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，＝(0,0,2)，平面ABC的一个法向量为n＝(2,1,2)，平面ABC与平面ABO的夹角为θ，则cos θ＝________.

【即学即练11】正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°


【即学即练12】在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为(　　)
A. B．－
C. D.或－




考点一 用向量法求空间距离
解题方略：
1、用向量法求点到直线的距离的一般步骤
(1)求直线的方向向量．
(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度．
(3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．

2、求点到平面的距离的四步骤

注：线面距、面面距实质上都是求点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行．　　　　
【例1-1】已知直线l经过点A(2,3,1)，且向量n＝(1,0，－1)所在直线与l垂直，则点P(4,3,2)到l的距离为________．

变式1：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝2a，则点D1到直线AC的距离为(　　)
A.a B.a C. D.

变式2：如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，则点C1到平面B1EF的距离等于(　　)

A. B. C. D.


变式3：如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，求点P到BD的距离．



变式4：如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足＝＋＋，则P到AB的距离为(　　)

A. B. C. D.


【例1-2】若平面α的一个法向量为n＝(1,2,1)，A(1,0，－1)，B(0，－1,1)，A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为(　　)
A．1 B.
C. D.

变式1：已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．求点D到平面PEF的距离．






变式2：正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，E，F分别是BB1，CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为________．　




变式3：如图所示，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱．若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高．









变式4：在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，M为棱A1B1上的一点，且A1M＝λ(0