拓展二：与圆有关的最值问题 （人教A版2019选择性必修第一册）讲义

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 拓展二：与圆有关的最值问题




知识点1 圆的最值问题
求解与圆有关的最值问题，其通法是数形结合和转化化归思想，其流程为：

与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化

圆的最值类型：
一、 圆上动点到定点距离的最值问题
圆外一点P到圆C上点的距离距离的最大值等于，最小值等于.
圆内一点P到圆C上点的距离距离的最大值等于，最小值等于.

二、 圆上动点到定直线的距离的最值问题
圆C上的动点P到直线l距离的最大值等于点C到直线l距离的最大值加上半径，最小值等于点C到直线距离的最小值减去半径.

三、圆的切线长最值问题

四、由直线与圆的位置关系求距离的最值

五、过圆内定点的弦长的最值问题（最长弦、最短弦问题）
设点M是圆C内一点，过点M作圆C的弦，则弦长的最大值为直径，最小的弦长为.

六、与斜率、距离、截距有关的圆的最值问题
处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：
（1）形如u＝的最值问题，可转化过定点(a，b)的动直线斜率的最值问题求解．
（2）求形如u＝ax＋by的最值，可转化为求动直线截距的最值．具体方法是：
①数形结合法，当直线与圆相切时，直线在y轴上的截距取得最值；
②把u＝ax＋by代入圆的方程中，消去y得到关于x的一元二次方程，由Δ≥0求得u的范围，进而求得最值.
（3）求形如u＝(x－a)2＋(y－b)2的最值，可转化为圆上的点到定点的距离的最值，即把(x－a)2＋(y－b)2看作是点(a，b)与圆上的点(x，y)连线的距离的平方，利用数形结合法求解.

七、利用对称性求最值
形如|PA|＋|PQ|形式的与圆有关的折线段问题(其中P，Q均为动点)，要立足两点：①减少动点的个数．②“曲化直”，即折线段转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.



考点一 圆上动点到定点的距离的最值问题
【例1-1】圆上一点到原点的距离的最大值为（       ）
A．4 B．5 C．6 D．7

变式1：已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（       ）
A． B．6
C． D．

变式2：已知点，点M是圆上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值是（       ）
A． B． C． D．

变式3：在平面直角坐标系中，已知圆：，点，过动点引圆的切线，切点为.若，则长的最大值为（       ）
A． B． C． D．


考点二 圆上动点到定直线的距离的最值问题
【例2-1】已知动点P在曲线上，则动点P到直线的距离的最大值与最小值的和为___________.

变式1：为上一点，为直线上一点，则线段长度的最小值为（       ）
A． B． C． D．

变式2：圆C：上的动点P到直线l：的距离的最大值是（       ）
A． B． C． D．

变式3:阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德､欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点C到的距离之比为，则点C到直线的距离的最小值为（       ）
A． B． C． D．

变式4：瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切.则圆上的点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．6


【例2-2】已知点A(－1,0)，B(0,2)，点P是圆C：(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是(　　)
A．2,2－　 B．2＋，2－ C.，4－ D.＋1，－1

变式1：直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)
A．[2,6] B.[4,8] C．[，3] D．[2，3]


变式2：已知点A(－2，0)，B(0，2)，若点C是圆x2－2ax＋y2＋a2－1＝0上的动点，△ABC面积的最小值为3－，则a的值为________．

变式3：已知直线与圆相交于A，B两点，P为圆C上的动点，则面积的最大值为（       ）
A． B． C． D．

【例2-3】已知线段是圆的一条动弦，且，若点为直线上的任意一点，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．


考点三 圆的切线长最值问题
【例3-1】设P为已知直线上的动点，过点P向圆作一条切线，切点为Q，则的最小值为___________.


变式1：若圆的半径为1，且圆心为坐标原点，过该圆上一点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（     ）
A． B． C．2 D．4

变式2：若圆上总存在两点关于直线对称，则过圆外一点向圆所作的切线长的最小值是（       ）
A． B．2 C．3 D．4
变式3：直线平分圆的周长，过点作圆C的一条切线，切点为Q，则（       ）
A．5 B．4 C．3 D．2

【例3-2】已知圆C的方程为，过直线l：（）上任意一点作圆C的切线，若切线长的最小值为，则直线l的斜率为__________．


变式1：已知直线，若P为l上的动点，过点P作的切线，切点为A、B，当最小时，直线的方程为__________.


【例3-3】设P为直线3x－4y＋11＝0上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为________．

考点四 直线与圆的位置关系求距离的最值
【例4-1】已知直线：与直线：相交于点，点是圆上的动点，则的最大值为___________.

【例4-2】已知P是直线l：x＋y－7＝0上任意一点，过点P作两条直线与圆C：相切，切点分别为A，B.则｜AB｜的最小值为（       ）
A． B． C． D．

变式1：已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．

考点五 与圆的弦长有关的最值问题（最长弦、最短弦问题）
解题方略：
（1）经过圆内一点最长的弦
直径是圆中最长的弦，我们可以将圆中的弦分为两类：一类是经过圆心的弦（即直径）；另一类是不经过圆心的弦，如图1，AB是⊙O中的任意一条不经过圆心的弦，连结OA，OB，根据三角形的三边关系都有OA+OB>AB，即，直径的长大于非直径的弦长，所以直径是圆中最长的弦。当然，经过圆内一点的最长的弦就是经过该点的直径。




（2）经过圆内一点最短的弦
如图2，点P是⊙O内一点，经过点P的无数条弦中哪一条是最短的弦呢？我们可以将经过点P的弦分为两类，一类是经过点P且与经过点P的半径OA垂直的弦，如，弦BC⊥OA；另一类是经过点P且与经过点P的半径OA斜交的弦，如弦DE。            
弦BC与弦DE哪一个较短呢？
连结OC。因为BC⊥OA，所以BC=2 CP，在RtΔOCP中，CP=，所以BC=2。作OG⊥DE于G，连结OD。则DE=2DG，在RtΔODG中，DG=，所以DE=2在RtΔOPG中，斜边OP大于直角边OG，所以OP2>OG2，又因为OC=OD，所以CP