拓展三：与圆有关的轨迹问题 （人教A版2019选择性必修第一册）讲义

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拓展三：与圆有关的轨迹问题




知识点1 5种定义形式的圆
1、“定义圆”：在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合.
数学语言描述为：在平面内，，其中M为动点，A为定点，为定值.
2、“斜率圆”：在平面内，与两定点斜率之积为-1的点的集合（除去定点所在垂直于轴的直线与曲线的交点）.
数学语言描述为∶在平面内，，其中M为动点，A，B为定点.且点M的横坐标不等于A，B的横坐标.
3、 “平方圆”：在平面内，到两定点距离的平方和为定值的点的集合.
数学语言描述为：在平面内，，其中M 为动点，A，B为定点，λ为定值.
注：若，则点M的轨迹方程为，此时.
4、 “向量圆”：在平面内，与两定点形成向量的数量积为定值的点的集合.
数学语言描述为∶在平面内，，其中M为动点，A，B为定点，λ为定值
注：若，则点M的轨迹方程为，此时.
特别地,若A，B为定点，且，则点M的轨迹是以AB为直径的圆

拓展：“角度圆”：在平面内，与两定点所成角为定值的点的集合.（角度可用向量的夹角公式表示）
5、 “比值圆”（阿波罗尼斯圆）：在平面内，到两定点距离之比为定值的点的集合.
数学语言描述为：，其中M为动点，A，B为定点，为定值，>0且≠1.
注：当时，M的轨迹是线段AB的垂直平分线.
6、这些圆彼此之间的联系：
（1）斜率圆可以看成向量圆的特例，即两向量互相垂直时可以转化为两直线斜率之积等于-1,需要注意斜率不存在的情形.也就是说数量积为零比斜率之积为-1更一般.
（2）比值圆与平方圆是一样的，都是用两点间距离公式求解.

知识点2 注意“轨迹”与“轨迹方程”的区别
1、“轨迹”是图形，“轨迹方程”是方程.
2、求轨迹方程后要检验
求轨迹方程后一定要注意检验轨迹的纯粹性和完备性，在所得的方程中删去或补上相应的特殊点，以保证方程的解与曲线上的点具有一一对应关系.

考点一 直接法求轨迹
解题方略：
直接法是指将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式，然后化简而求出动点轨迹方程的一种方法．此法的一般步骤∶建系、设点、列式、化简、限制说明.
注：（1）根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等）
（2）根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。
（3）注意“多点”和“少点”，一般情况下，斜率和三角形顶点等约束条件
（1）“斜率圆”
1．已知点，，，动点P满足，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【解析】由题设，在以为直径的圆上，令，则(不与重合)，
所以的取值范围，即为到圆上点的距离范围，
又圆心到的距离，圆的半径为2，
所以的取值范围为，即.
故选：C
2．已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最大值为（       ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解析】因为两点，点满足，故点的轨迹是以为直径的圆（不包含），
故其轨迹方程为，
又圆上存在点，故两圆有交点，
又，则，
解得，则的最大值为.
故选：C.
3．已知直线过定点A，直线过定点B，与的交点为C，则的最大值为___________.
【解析】由，则过定点，
由，则过定点，
显然，即、相互垂直，而与的交点为C，
所以的轨迹是以为直径的圆，且圆心为、半径为，
令，则，且，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大为.
故答案为：
4．已知点，动点满足以为直径的圆与轴相切，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为___________.
【解析】由动点满足以为直径的圆与轴相切可知：动点到定点的距离等于动点到直线的距离，故动点的轨迹为，
由可得，
解得D，即直线过定点D，
又过作直线的垂线，垂足为，
所以点在以为直径的圆上，直径式方程为，
化为标准方程为：，圆心,半径
过做垂直准线，垂足为，过做垂直准线，垂足为
则
故答案为：

5．已知直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【解析】由题意得圆的圆心为，半径，
易知直线恒过点，直线恒过，且，
点的轨迹为，圆心为，半径为，
若点为弦的中点,位置关系如图：

.
连接，由易知.
，
.
故选：D.

（2）“向量圆”
6．已知平面向量，，且非零向量满足，则的最大值是（       ）
A．1 B． C． D．2
【解析】
设，则，，
整理得，则点在以为圆心，为半径的圆上，则表示和圆上点之间的距离，
又在圆上，故的最大值是.
故选：B.
7．已知圆，直线l满足___________（从①l过点，②l斜率为2，两个条件中，任选一个补充在上面问题中并作答），且与圆C交于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程.
【解析】选择条件①，设点，令定点为P，
因直线l过点P，且与圆C交于A，B两点，M为AB的中点，当直线l不过圆心C(0,0)时，则，有，
当直线l过圆心C时，圆心C是弦AB中点，此时，等式成立，
因此有，而，于是得，即，
由解得，，而直线与圆相切的切点在圆C内，
由点M在圆C内，得且，
所以AB中点M的轨迹方程是：(且).
选择条件②，设点，
因l斜率为2，且与圆C交于A，B两点，M为AB的中点，当直线l不过圆心C时，则，
则M的轨迹是过圆心且垂直于l的直线在圆C内的部分（除点C外），
当直线l过圆心C时，圆心C是弦AB中点，即点C在点M的轨迹上，
因此，M的轨迹是过圆心且垂直于l的直线在圆C内的部分，而过圆心且垂直于l的直线为，
由解得或，而点M在圆C内，则有，
所以AB中点M的轨迹方程是：.


（3）“平方圆”
8．设，O为坐标原点，点P满足，若直线上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【解析】设，
，
，即．
点P的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆面．
若直线上存在点Q使得，
则PQ为圆的切线时最大，如图，

，即．
圆心到直线的距离，
或．
故选：B．
9．直线与圆相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程．
【解析】设，易知直线恒过定点，再由，得，∴，整理得．
∵点M应在圆内且不在x轴上，∴所求的轨迹为圆内的部分且不在x轴上．
解方程组得两曲线交点的横坐标为，故所求轨迹方程为．

（4）“比值圆”（阿波罗尼斯圆）
10．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系中，，，点满足．则点的轨迹所包围的图形的面积等于（       ）
A． B． C． D．
【解析】设点，则，
化简整理得，即，
所以点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，
所以所求图形的面积为，
故选：D
11．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则面积的最大值是（       ）
A． B．2 C． D．4
【解析】设经过点A，B的直线为x轴，的方向为x轴正方向，线段AB的垂直平分线为y轴，线段AB的中点O为原点，建立平面直角坐标系.则，．

设，∵，∴，
两边平方并整理得，即．
要使的面积最大，只需点P到AB（x轴）的距离最大时，
此时面积为．
故选：C.
12．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德､欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点C到的距离之比为，则点C到直线的距离的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【解析】设，则，即，化简得，
所以点的轨迹为以为圆心，的圆，则圆心到直线的距离，
所以点C到直线的距离的最小值为；
故选：A
13．已知圆，过圆外一点作圆的切线，切点为，若（O为坐标原点），则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【解析】圆，化简可得，所以，半径为，由题意，过圆外一点作圆的切线，切点为，所以为直角三角形，，又由，可求得动点的轨迹方程，设，则，可得，点在圆上，圆心为，则的最小值为：.
故选：D.

14．已知边长为2的等边三角形，是平面内一点，且满足，则三角形面积的最小值是（       ）
A． B． C． D．
【解析】以的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系，则，，，
设，因为，所以，得，
所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，当点距离直线距离最大时，面积最大，已知直线的方程为：，，点距离直线的最小距离为：，所以面积的最小值为.
故选：A

15．已知是矩形，且满足.其所在平面内点满足：，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【解析】如图所示，建立平面直角坐标系，则
设，由，所以，化简得：
，记为圆，
设，由，所以，化简得：
，记为圆,即为，
两圆圆心距为：，半径和为：，
所以，则两圆相离，

如图所示，对圆，令y=0，得：，
令圆，令y=0，得：，
所以，，又，
结合平面向量数量积的定义可知，的最小值为，
的最大值为.
故选：B.

考点二 相关点代入法
解题方略：
一般情况下，所求点的运动，依赖于另外一个或者两个多个点的运动，可以通过对这些点设坐标来寻求代换关系。
1、 求谁设谁，设所求点坐标为
2、 所依赖的点称之为“参数点”，设为或，等
3、 “参数点”满足某个（些）方程，可供代入
4、 寻找所求点与“参数点”之间的坐标关系，反解参数值。
5、 代入方程，消去参数值
注：已知圆上有一动点，求与该动点有关的动点轨迹方程也是常见的题型，这类问题的解法相对比较固定，都是寻找所求动点坐标与圆上动点坐标之间的关系求解的。
16．已知点在圆上运动，，点为线段的中点．
(1)求点的轨迹方程
(2)求点到直线的距离的最大值和最小值．
【解析】(1)设点，，
因为点是的中点，所以，
则，，即，
因为点在圆上运动，
则有，
所以点的轨迹方程为；
(2)由（1）知点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆，
点到直线的距离，
故点到直线的距离的最大值为，最小值为．
17．已知点在圆上运动，点，线段的中点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点是否存在直线与曲线有且只有一个交点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
【解析】(1)设，则
在圆上
，整理得：
曲线的方程为.
(2)当斜率不存在时，符合条件；
当斜率存在时，设直线方程为，则，解得.
满足条件的直线存在，直线的方程为：或.
18．设定点，动点N在圆上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
【解析】设，，根据中点公式得到：，
由，得,
当共线时，不构成平行四边形
此时 得到两点和
故答案为圆，除去两点和
19．已知点和圆，动点在圆上，点满足，记动点的轨迹为曲线，则曲线与圆的位置关系为（       ）
A．相交 B．相离 C．内切 D．外切
【解析】由知：为线段的中点，设，则有，
而点在圆上，于是有，整理得，
因此，曲线是以点为圆心，2为半径的圆，而，
即曲线与圆内切于点，
所以曲线与圆内切.
故选：C


考点三 定义法
解题方略：
1、若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义，就用定义直接求．
2、运用定义法求轨迹方程的一般步骤为∶
（1）定型，即研究动点轨迹的类型符合哪种常用曲线的定义；
（2）定位，即研究动点轨迹的中心位置、焦点所在的轴等等；
（3）定方程，即用待定系数法求轨迹方程；
（4）检查，即检查轨迹方程的完备性与纯粹性.

20．设A为圆上的动点，是圆的切线且，则P点的轨迹方程是（       ）
A． B．
C． D．
【解析】圆可化为，由题意可得圆心到P点的距离为，所以点P在以为圆心，为半径的圆上，所以点P的轨迹方程是．
故选：B．
21．已知等腰三角形的底边对应的顶点是，底边的一个端点是，则底边另一个端点的轨迹方程是___________
【解析】设，由题意知，，
因是以为底边的等腰三角形，于是有，即点C的轨迹是以A为圆心，为半径的圆，
又点构成三角形，即三点不可共线，则轨迹中需去掉点B及点B关于点A对称的点，
所以点的轨迹方程为(去掉两点).
故答案为：(去掉两点)
22．若A，B是：上两个动点，且，A，B到直线l：的距离分别为，，则的最大值是（       ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】圆的圆心为，半径为.
，
，
由于，所以.
设是的中点，则，
设，则，即的轨迹为单位圆.
原点到直线的距离为，
所以圆上的点到直线的距离.
所以，
所以的最大值是.
故选：D

23．正三角形OAB的边长为1，动点C满足，且，则点C的轨迹是（       ）
A．线段 B．直线 C．射线 D．圆
【解析】方法一：由题可知：，

又


所以，即
所以点C的轨迹是圆.
方法二：由题可知：，
如图，以O为原点OB为x轴，过O点与OB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，


所以
设 ，

又
所以
整理得：
所以点C的轨迹是圆.
故选：D.
考点四 几何法
解题方略：
1、利用圆的几何性质求解，通过条件想办法确定圆心和半径
2、三角形中的几何性质
其中最常用到的几何性质有：直角三角形斜边中线定理、三角形的中位线定理、等腰三角形的三线合一等.
3、四边形中的几何性质
对于平面四边形，若两个对角互补（或一个外角等于它的内对角），则四点共圆，这一性质是平面四边形中的常用性质.
24．已知圆，点，内接于圆，且，当，在圆上运动时，中点的轨迹方程是（       ）
A． B．
C． D．
【解析】
设中点为，
圆心角等于圆周角的一半，，
，
在直角三角形中，由，
故中点的轨迹方程是：，
如图，由的极限位置可得，.
故选：D
25．在平面直角坐标系中，已知圆：，点，过动点引圆的切线，切点为.若，则长的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【解析】设，
因为与圆相切，为切点，，
故，
所以，
所以，
整理得，
所以的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，在圆内，
所以长的最大值为．
故选：．
26．过圆外一点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B.若△PAB为等边三角形，则过D(2，1)的直线l被P点轨迹所截得的最短弦长为________.
【解析】由题意知，连接PC，因为△PAB为等边三角形，所以∠APC＝30°，所以，所以P点轨迹的方程为.因为，所以点D(2，1)在圆(x－1)2＋y2＝4的内部.连接CD，结合图形可知，当l与CD垂直时，l被圆所截得的弦长最短，最短弦长为

故答案为：
27．已知圆，圆，若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【解析】由题可知圆O 的半径为，圆M上存在点P，过点P作圆 O 的两条切线，
切点分别为A，B，使得，则，
在中，，
所以点 在圆上，
由于点 P 也在圆 M 上，故两圆有公共点.
又圆 M 的半径等于1，圆心坐标，
，
∴，
∴.
故选：D.
28．已知圆C：x2+y2﹣8x﹣6y+F＝0与圆O：x2+y2＝4相外切，切点为A，过点P（4，1）的直线与圆C交于点M，N，线段MN的中点为Q．
（1）求点Q的轨迹方程；
（2）若|AQ|＝|AP|，点P与点Q不重合，求直线MN的方程及△AMN的面积．
【解析】（1）圆的标准方程为，
圆心，半径为，
由圆与圆相外切可知，解得，
圆，
又，则点在圆内，
弦过点，是的中点，
则，
点的轨迹是以为直径的圆，
其方程为；
（2）线段与圆的交点为，
由，解得，
若，
则，是以点为圆心，为半径的圆与点的轨迹的交点，
由，与，
作差可得，
即直线的方程为，
点到直线的距离，
，
点到直线的距离，
的面积．
29．若圆上的两个动点满足点在圆上运动，则的最小值是（       ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】解析由可知圆心为坐标原点，半径为，因为，所以圆心到直线的距离，
设的中点为，则：，所以点在以原点为圆心，
以为半径的圆上，所以点的轨迹方程为因为为的中点，
所以
，因为点在圆上运动，圆的半径，
所以.
故选：C.
30．如图，P为圆O：x2+y2＝4外一动点，过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝120°，直线OP与AB相交于点Q，点M（3，），则|MQ|的最小值为（       ）


A． B．2 C． D．
【解析】过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝120°，
由圆与切线的平面几何性质知，∠APO＝60°，又|OA|＝2，则可得|OP|＝
在直角中，，由得，
∴Q点的轨迹是以O为圆心，为半径的圆，方程为x2+y2＝3；
|MQ|的最小值即为|OM|﹣r＝﹣＝．
故选：A．
31．已知平面直角坐标系内一动点P，满足圆上存在一点Q使得，则所有满足条件的点P构成图形的面积为（       ）
A． B． C． D．
【解析】当PQ与圆C相切时，，这种情况为临界情况，当P往外时无法找到点Q使，当P往里时，可以找到Q使，故满足条件的点P形成的图形为大圆（包括内部），如图，

由圆，可知圆心，半径为1，则大圆的半径为，
∴所有满足条件的点P构成图形的面积为.
故选：D.