高中人教A版 (2019)2.4 圆的方程精品课后练习题

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直线和圆的方程章末检测卷（二）
说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．设为实数，若直线与直线平行，则值为（       ）
A． B．1 C． D．2
【解析】由题意，，
时，，两直线重合，舍去，时，，，满足两直线平行．所以．
故选：A．
2．已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（       ）
A． B． C． D．
【解析】设过点的直线的斜率为，则直线方程，即，
由于直线和圆相切，故，得，
由于直线与直线，因此，解得，
故选：D.
3．若圆与圆外切，则实数的值是
（       ）
A． B． C．24 D．16
【解析】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为
两个圆的圆心距为.由于两个圆外切，所以，解得.
故选：D
4．已知梯形ABCD中，AB∥CD，并且点A（4，0），点B（6，6），点C（0，2），则此梯形的高为（　　）
A． B． C． D．
【解析】根据题意，点A（4，0），点B（6，6），
则直线AB的斜率k3，则直线AB的方程为y﹣0＝3（x﹣4），即3x﹣y﹣12＝0；
点C到直线AB的距离d，
梯形ABCD中，AB∥CD，则此梯形的高就是点C到直线AB的距离，即此梯形的高是；
故选：C.
5．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（       ）
A． B．5 C． D．
【解析】如图所示，

设点关于直线的对称点为，在直线上取点P，连接PC，则．由题意可得，解得，即点，所以，当且仅当A，P，C三点共线时等号成立，所以“将军饮马”的最短总路程为．
故选：A．
6．已知直线，则下叙述正确的是（       ）
A．直线的斜率可以等于 B．原点到直线的距离的最大值为
C．直线可以表示过点的所有直线 D．若直线的横纵截距相等，则
【解析】，当时，是垂直于x轴的直线，斜率不存在；当时，变为点斜式： ，恒过定点A，由于，所以直线的斜率不会等于，故A错误；且不能表示过点的所有直线，C错误；
设原点为O，因为直线恒过点A，所以当直线与线段OA垂直时，原点到直线的距离最大，此时的最大距离就是线段OA的长，，所以B错误；
直线化为截距式：当时，，此时横纵截距为0，横纵截距相等；当时，，令，解得：，综上：若直线的横纵截距相等，则，D正确.
故选：D
7．已知点，且点在圆上，为圆心，则下列说法错误的是（       ）
A．的最小值为 B．当最大时，的面积为2
C．的最大值为 D．的最大值为
【解析】如图，当为线段与圆的交点时，即时，
此时取得最小值为，故A正确；
由题可知点在圆内，当与圆相切时，最大，此时与重合，
此时，故B错误；
因为点在圆上，为圆心，则，
所以当最大时，也最大，
当，，三点共线，且在，之间时，其最大值为，故C正确；
当为射线与圆的交点时，取得最大值，故D正确．
故选：B.

8．在平面直角坐标系xOy中，已知圆，直线与圆相切，与圆相交于两点，分别以点为切点作圆的切线．设直线的交点为，则的最小值为（       ）
A．9 B．7 C． D．
【解析】设点，，，，
因为分别以点为切点作圆的切线．设直线的交点为，
所以，则，即，
所以，
因为，
所以，即是方程的解，
所以点在直线上，
同理可得在直线上，
所以切点弦的方程为，
因为直线与圆相切，
所以，解得，即
所以，
所以当时，直线方程为，此时
所以的最小值为.
故选：D

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知直线：，动直线：，则下列结论正确的是（       ）
A．存在，使得的倾斜角为 B．对任意的，与都有公共点
C．对任意的，与都不重合 D．对任意的，与都不垂直
【解析】对于A：当时，直线：，此时直线的倾斜角为，故选项A正确；
对于B，直线与均过点，所以对任意的，与都有公共点，故选项B正确；
对于C，当时，直线为，即与重合，故选项C错误；
对于D，直线的斜率为，若的斜率存在，则斜率为，所以与不可能垂直，所以对任意的，与都不垂直，故选项D不正确；
故选：ABD.
10．已知点，是圆：上的两个动点，点是直线：上的一定点，若的最大值为90°，则点的坐标可以是（       ）
A． B． C． D．
【解析】设点坐标为，当、均为圆切线时，
此时四边形为正方形，则，即，
解得，，
故，，
故选：AC．
11．如图所示，下列四条直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，则下列关系正确的是（       ）

A． B． C． D．
【解析】直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，
由倾斜角定义知，，，，故C正确；
由，知，，，，故B正确；
故选：BC
12．已知实数，满足方程，则下列说法错误的是
A．的最大值为 B．的最大值为
C．的最大值为 D．的最大值为
【解析】对于A，设，则，表示直线的纵截距，当直线与圆有公共点时，，解得，所以的最大值为，故A说法正确；
对于B，的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方，易知原点到圆心的距离为2，则原点到圆上的最大距离为，所以的最大值为，故B说法正确；
对于C，设，把代入圆方程得，则，解得，最大值为，故C说法错误；
对于D，设，则，表示直线的纵截距，当直线与圆有公共点时，，解得，所以的最大值为，故D说法错误.
故选：CD.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．从圆外一点向圆引切线，则此切线的长为______．
【解析】将圆化为标准方程：，则圆心，半径1，
如图，设，，切线长．
故答案为：2

14．已知和两点到直线的距离相等，则的值为___________.
【解析】和两点到直线的距离相等，
，化为：，
解得或.
故答案为：-6或.
15．已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是____；
【解析】由直线，即，此时直线恒过点，
则直线的斜率，直线的斜率，
若直线与线段相交，则，即，
所以实数的取值范围是．
16．已知直线：与轴相交于点，过直线上的动点作圆的两条切线，切点分别为，两点，记是的中点，则的最小值为__________．
【解析】由题意设点，，，
因为，是圆的切线，所以，，
所以在以为直径的圆上，其圆的方程为:
，又在圆上，
将两个圆的方程作差得直线的方程为：，
即，所以直线恒过定点，
又因为，，，，四点共线，所以，
即在以为直径的圆上，
其圆心为，半径为，如图所示:

所以，
所以的最小值为.
故答案为：.

四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知直线的方程为，点的坐标为.
(1)求过点且与直线平行的直线方程；
(2)求过点且与直线垂直的直线方程.
【解析】(1)与直线l平行的直线斜率与l相同，方程设为，因为过点，将点坐标代入，，解得C=3.
∴过P点且与直线l平行的直线方程为.
(2)根据直线与坐标轴不垂直的情况下，两垂直直线斜率相乘为-1，则与直线l垂直的直线斜率为，设该直线方程为，因为过P点，将点坐标代入，则，解得.
∴过P点且与直线l垂直的直线方程为.
18．已知的三个顶点.求：
（1）边上高所在的直线方程；
（2）边中线所在的直线方程.
【解析】（1）

又因为垂直
，
直线的方程为，
即；
（2）边中点E，中线的方程为，
即.
19．已知圆M过点．
(1)求圆M的方程；
(2)若直线与圆M相交所得的弦长为，求b的值．
【解析】(1)设圆M的方程为，
因为圆M过三点，
则
解得，
所以圆M的方程为，
即；
(2)由题意，得圆心到直线l的距离，
故，即，
解得或16．
故所求b的值为6或16．
20．已知方程表示圆，其圆心为C.
（1）求该圆半径r的取值范围；
（2）求圆心C的轨迹方程；
（3）若，线段的端点A的坐标为，端点B在圆C上运动，求线段中点M的轨迹方程.
【解析】（1）方程可变为，
由方程表示圆，
所以，即得，
∴.
（2）由（1）知，令，
消去可得，，又，
所以，
故圆心C的轨迹方程，.
（3）当时，圆C方程为：，
设，又M为线段的中点，A的坐标为则，
由端点B在圆C上运动，
∴即
∴线段中点M的轨迹方程为.
21．已知过点且斜率为的直线l与x，y轴分别交于P，Q两点，分别过点P，Q作直线的垂线，垂足分别为R，S，求四边形PQSR的面积的最小值．
【解析】直线l的方程为，即
令，得，令，得
所以，．
从而PR和QS的方程分别为和，
又，所以．
由点到直线的距离公式，得，．所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以四边形PQSR的面积的最小值为．
22．已知圆与直线相切．
(1)若直线与圆交于两点，求；
(2)设圆与x轴的负半轴的交点为，过点作两条斜率分别为的直线交圆于两点，且，试证明直线恒过一点，并求出该点的坐标．
【解析】(1)由题意，圆心到直线的距离，
即，所以圆，
又因为圆心到直线的距离，
所以.
(2)由圆，可得，
设，则直线，
又由，整理得，
所以，即，所以，
因为，可得，
将代入，可得点，
所以，所以，
即
化简得，所以直线恒过一定点，该定点为.