高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆精品同步达标检测题

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3.1.1椭圆及其标准方程

课程标准
核心素养
1.了解椭圆的实际背景．
2.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义及标准方程.
数学抽象
直观想象





知识点1 椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
注：在椭圆的定义中必须要注意以下两个问题
(1)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．
(2)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆．
①若，M的轨迹为线段；
②若，M的轨迹无图形

【即学即练1】(多选)下列说法中正确的是(　　)
A．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段
B．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆
D．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆
【解析】A中，|F1F2|＝8，则平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以A正确；B中，到F1，F2两点的距离之和等于6，小于|F1F2|，这样的轨迹不存在，所以B错误；C中，点M(5,3)到F1，F2两点的距离之和为＋＝4>|F1F2|＝8，则其轨迹是椭圆，所以C正确；D中，轨迹应是线段F1F2的垂直平分线，所以D错误．故选A、C.

【即学即练2】（2022·全国·高二课时练习）设P是椭圆上的任意一点，若是椭圆的两个焦点，则等于( )
A．10          B．8          C．5          D．4
【解析】根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a=10，故选：A

【即学即练3】若椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一焦点F2的距离为(　　)
A．6　　　　　　　　　 B．7
C．8 D．9
【解析】根据椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×5＝10，因为|PF1|＝3，所以|PF2|＝7.故选B

知识点2 椭圆的标准方程

焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图　形


焦点坐标
(－c,0)，(c,0)
(0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2

注：（1）椭圆标准方程的推导
以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图所示，此时，椭圆的焦点分别为F1(－c,0)和F2(c,0)．

根据椭圆的定义，设M与焦点F1，F2的距离的和等于2a.由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}．因为|MF1|＝，|MF2|＝，
所以＋＝2a.①
为了化简方程①，我们将其左边一个根式移到右边，得＝2a－.②
对方程②两边平方，得
(x＋c)2＋y2＝4a2 －4a＋(x－c)2＋y2，
整理，得a2－cx＝a，③
对方程③两边平方，得
a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，
整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，④
将方程④两边同除以a2(a2－c2)，
得＋＝1，⑤
由椭圆的定义可知2a>2c>0 ，即a>c>0，
所以a2－c2>0.
令b＝，那么方程⑤就是＋＝1(a>b>0)．⑥
我们将方程⑥称为焦点在x轴上的椭圆方程．
如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是(0，－c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？

答：＋＝1(a>b>0)．

（2）椭圆的标准方程的特征
①几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上．
②代数特征：方程右边为1，左边是关于与的平方和，并且分母为不相等的正值．
③给出椭圆方程(，,),判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法是:椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大;椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大,这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法.可简记作:焦点位置看大小,焦点跟着大的跑.（x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上．）
【即学即练4】椭圆＋＝1的焦点坐标是(　　)
A．(±5,0)　　　　　　 B．(0，±5)
C．(0，±12) D．(±12,0)
【解析】∵c2＝a2－b2＝169－25＝122，∴c＝12.又椭圆的焦点在y轴上，故焦点坐标为(0，±12)．


【即学即练5】若椭圆＋＝1的一个焦点坐标为(1,0)，则实数m的值为(　　)
A．1　　　　　　　　 B．2
C．4 D．6
【解析】C

【即学即练6】若椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值为(　　)
A．5 B．3
C．5或3 D．8
【解析】由题意得c＝1，a2＝b2＋c2.当m>4时，m＝4＋1＝5；当mb>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则
(1)椭圆的定义：|PF1|＋|PF2|＝2a.
(2)余弦定理：4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ.
(3)面积公式：S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc.
重要结论：S△PF1F2=
推导过程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ得



由三角形的面积公式可得
S△PF1F2=
=
注：S△PF1F2===（是三角形内切圆的半径）

(4)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
(5)在椭圆C：＋＝1(a>b>0)中,F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意的一点，当点P在短轴端点时，最大.
【即学即练9】已知椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，过左焦点F1，作直线交椭圆C于A、B两点，则三角形ABF2的周长为（            ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【解析】由题意椭圆的长轴为，由椭圆定义知
∴
故选：C


【即学即练10】椭圆的焦点为点在椭圆上，若则的大小为___．
【解析】，．
在中，，
．
故答案为：.

【即学即练11】已知点在椭圆上，与分别为左、右焦点，若，则的面积为（       ）
A． B． C． D．
【解析】由， ，又，解得，
.
故选：A.


考点一 求椭圆的标准方程
解题方略：
确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面
(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；
(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．　　　　
【例1-1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)椭圆的两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；
(2)椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点；
(3)椭圆的焦点在x轴上，a∶b＝2∶1，c＝；
(4)经过两点(2，－)，的椭圆的标准方程；
(5)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点．

【解析】(1)椭圆的焦点在x轴上，故设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
∵2a＝10，c＝4，∴b2＝a2－c2＝9，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)椭圆的焦点在y轴上，故设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由椭圆的定义，知2a＝ ＋
＝＋＝2，
∴a＝.
又∵c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)∵c＝，∴a2－b2＝c2＝6.①
又由a∶b＝2∶1，得a＝2b，代入①得4b2－b2＝6，
∴b2＝2，∴a2＝8.
又∵椭圆的焦点在x轴上，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(4)法一：(分类讨论法)若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由已知条件得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由已知条件得解得
则a2b>0矛盾，舍去．
综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：(待定系数法)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．将两点(2，－)，代入，得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(5)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为
＋＝1(a>b>0)．
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①
又点(，－)在椭圆上，所以＋＝1，
即＋＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为
＋＝1.

变式1：已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝3，则椭圆C的方程为(　　)
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
【解析】设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，令x＝c，得y＝±.由|AB|＝3，得＝3.又a2－b2＝c2＝1，联立解得a2＝4，b2＝3.所以椭圆C的方程为＋＝1.故选C

变式2：已知点P在椭圆上，且P到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3.过P且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程．
【解析】法一：设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，
由已知条件得解得
所以b2＝a2－c2＝12.
于是所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
法二：设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，两个焦点分别为F1，F2.
由题意知2a＝|PF1|＋|PF2|＝3＋5＝8，所以a＝4.
在方程＋＝1中，令x＝±c，得|y|＝；
在方程＋＝1中，令y＝±c，得|x|＝.
依题意有＝3，得b2＝12.
于是所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.


考点二 椭圆的定义及其应用
解题方略：
椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.
(2)直线过左焦点与椭圆相交于A、B两点，则的周长为4a，即（直线过右焦点亦同）.

（3）涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|·|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求解．　

（一）根据椭圆的方程求参数的范围
【例2-1】若方程表示的曲线是椭圆，则实数k的取值范围为______．
【解析】方程表示的曲线是椭圆，则：
，解得：且；
故答案为：.

变式1：已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（       ）
A．（－3，1） B．（－3，5）
C．（4，5） D．
【解析】由题设，，可得.
故选：A

变式2：已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【解析】方程表示焦点在轴上的椭圆，
，解得：．
故选：D．

变式3：“”是方程“表示椭圆”的（   ）．
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【解析】当方程表示椭圆时，必有，所以且；
当时，该方程不一定表示椭圆，例如当时，方程变为，它表示一个圆．
即“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．
故选：A．

变式4：已知椭圆的焦点在轴上，则的取值范围是______．
【解析】椭圆化为标准方程得，
它的焦点在轴上，
，
，
，由得，由得，由即，则，综上可得，．
故答案为：．

（二）椭圆的焦点三角形问题
（1）求焦点三角形的内角或边长
【例2-2】椭圆＋＝1的两焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝6，则∠F1PF2的大小为________．
【解析】由＋＝1，知a＝4，b＝3，c＝，
∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2，|F1F2|＝2c＝2，
∴cos∠F1PF2＝＝，
∴∠F1PF2＝60°.

变式1：已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（       ）
A． B． C． D．
【解析】由题意，椭圆方程，可得，
所以焦点，
又由椭圆的定义，可得，因为，所以，
在中，由余弦定理可得,
所以，解得，
又由，所以.
故选:C．

变式2：已知、分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点，若，则这样的点P有______个．
【解析】由题设，最大时P在椭圆的上下顶点上，
此时，又，
所以，故这样的点P有2个，恰好为上下顶点.
故答案为：2

【例2-3】设椭圆的左右焦点分别为，，点P在椭圆上，且满足，则的值是（       ）
A．14 B．17 C．20 D．23
【解析】设，由题意.
易知，，则，，于是由余弦定理可得，即.
故选：D.

变式1：设，为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，若线段的中点在y轴上，则的值为（       ）
A． B． C． D．
【解析】由椭圆的定义可知，，由中位线定理可知，，将代入中，解得，即，，故
故选：C

变式2：已知椭圆：的左、右两个焦点分别为、，过的直线交椭圆于两点.若是等边三角形，则的值等于_________.
【解析】因为是等边三角形，故，故关于轴对称，故轴.故，，故，又，故，故，即，所以，

故答案为：


（2）求焦点三角形的周长
【例2-4】椭圆＋＝1的两焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为________．
【解析】A，B都在椭圆上，由椭圆的定义知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a.
又因为|AB|＝|AF1|＋|BF1|，
所以△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a.
故△ABF2的周长为4×5＝20.

变式1：已知点是椭圆上的任意点，是椭圆的左焦点，是的中点，则的周长为（       ）
A． B． C． D．
【解析】在椭圆中，，，，
如图，设椭圆的另一个焦点为，连接，
因为、分别为、的中点，则，
则的周长为，
故选：A.


变式2：已知椭圆C：的左､右焦点分别为，，点P在椭圆C上，的周长为16，则___________.
【解析】设焦距为2c，因为的周长为16，
所以，化简得①.
又，所以，
可得②，由①②，解得.
故答案为：5

变式3：若F为椭圆C：的右焦点，A，B为C上两动点，则△ABF周长的最大值为（       ）
A．4 B．8 C．10 D．20
【解析】设为椭圆的左焦点，
则由椭圆的定义可得：

，
当共线时，，
当不共线时，，
所以△ABF周长的最大值为20.
故选：D.



变式4：已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若的最大值为10，则的值是（       ）
A． B． C． D．
【解析】∵，为椭圆的两个焦点，
∴，，
的周长为，
即，
若最小，则最大．
又当轴时，最小，此时，
故，
解得．
故选：C.

（3） 求焦点三角形的面积
【例2-5】设是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则的面积为（       ）
A． B． C．4 D．6
【解析】易知，，所以，，即，
由椭圆的定义，知，又因为，
所以，又，
所以为直角三角形，所以.
故选：D.

变式1：如图所示，P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积．



【解析】由已知a＝2，b＝，得c＝＝＝1.
∴|F1F2|＝2c＝2.在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°，即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|·cos 60°.∴4＝16－3|PF1|·|PF2|.∴|PF1|·|PF2|＝4.∴S＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝×4×＝.

变式2：设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则的面积为（       ）
A．6 B． C．8 D．
【解析】由椭圆的方程可得，
所以，得
且，，
在中，由余弦定理可得
，
而，所以，，
又因为，，所以，
所以，
故选：B

变式3：已知点F1，F2分别是椭圆的左右焦点，点M在椭圆C上，且满足，则的面积为___________.
【解析】由题意可得，则，
设，则，
因为，
所以，所以，
因为点在椭圆上，
所以，
解得，
所以的面积为，
故答案为：1

变式4：已知椭圆的焦点为，，若椭圆C上存在一点P，使得，且△的面积等于4.则实数b的值为___________.
【解析】由题设，，且，可得，
又，则，
综上，，又，则.
故答案为：2
变式5：设、是椭圆的两个焦点，为坐标原点，点在上，且的面积为，则（       ）
A． B． C． D．
【解析】在椭圆中，，，则，所以，，
，所以，所以，
则，
故选：A.

变式6：已知、为椭圆的左、右焦点，M为上的点，则面积的最大值为（       ）
A． B．2 C． D．4
【解析】由，得，
所以，
由椭圆的性质可知当与短轴的一个端点重合时，面积的最大，
所以面积的最大值为
，
故选：A

（4） 焦点三角形的内切圆问题
【例2-6】已知椭圆两焦点、，为椭圆上一点，若，则的内切圆半径为______
【解析】由题意方程可得，，，，即,
设，，
则根据椭圆的定义可得：，①
在中，，
根据余弦定理可得：，②
联立①②得，
,
设△内切圆半径为，
△的周长为，面积为，
则 ，
，
故答案为：


变式1：已知椭圆，、为的左、右焦点，是椭圆上的动点，则内切圆半径的最大值为________．
【解析】∵，则
∴的周长
∵内切圆半径，则内切圆半径的最大即为最大
显然当为短轴顶点时最大，此时
则
故答案为：．


变式2：已知椭圆：的左、右焦点分别为，，如图是过且垂直于长轴的弦，则的内切圆方程是（       ）

A． B．
C． D．
【解析】依题意，所以，
，
则，，，
设内切圆的圆心为，半径为，则
，
故有，解得，
由，或（舍），
所以的内切圆方程为.
故选：C


（5）焦点三角形的综合问题
【例2-7】【多选】已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与交于，两点，则（       ）
A．的周长为4
B．的周长为8
C．椭圆上的点到焦点的最短距离为1
D．椭圆上的点到焦点的最短距离为3
【解析】由题意，椭圆，可得，则，
则的周长为，
又由椭圆的几何性质，可得椭圆上的点到焦点的最短距离为.
故选：BC


变式1：【多选】已知椭圆的左、右焦点分别是，，为椭圆上一点，则下列结论正确的是（       ）
A．的周长为6 B．的面积为
C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的直径为
【解析】椭圆的左、右焦点分别是，，
为椭圆上一点，，
所以.
所以的周长为，A正确.
的面积为，B正确.
设的内切圆的半径为，则，C选项正确.
为锐角，
，
所以的外接圆的直径为，D选项错误.
故选：ABC

变式2：已知椭圆M：的左右焦点分别为，左右顶点分别为，P是椭圆上异于的任意一点，则下列说法正确的是（       ）
A．周长为
B．面积最大值为
C．存在点P满足：
D．若面积为，则点P横坐标为
【解析】由题意，，，短轴一个端点，

由题知，故周长为，故A错误；
利用椭圆的性质可知面积最大值为，故B正确；
因为，所以，从而，而是椭圆上任一点时，当是短轴端点时最大，因此不存在点满足，故C错误；
因为，，
则，，故D正确．
故选：BD．

考点三 与椭圆有关的轨迹问题
解题方略：
解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法
(1)直接法：直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的形式，即F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0.
(2)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．
(3)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．　　　　
（一）直接法
【例3-1】点A，B的坐标分别是(0,1)，(0，－1)，直线AM，BM相交于点M.且直线AM的斜率与直线BM的斜率的乘积是－，求点M的轨迹方程．
【解析】设点M的坐标为(x，y)，因为点A的坐标是(0,1)，所以直线AM的斜率kAM＝(x≠0)，同理，直线BM的斜率kBM＝(x≠0)．
由已知有·＝－，
化简，得点M的轨迹方程为＋y2＝1(x≠0)．
变式1：已知点、，动点满足：直线的斜率与直线的斜率之积为，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【解析】由题意可知，，整理得，
则，故，
因为，所以，所以，
即．
故选：C．

（二）定义法
【例3-2】若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（       ）
A． B． C． D．
【解析】由题意得：到与的距离之和为8，且8>4，故动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，故，，所以，，所以椭圆方程为.
故选：A


【例3-3】已知的周长等于10，，通过建立适当的平面直角坐标系，顶点的轨迹方程可以是（     ）
A． B．
C． D．
【解析】因为的周长等于10，，
所以，
因此点的轨迹是以为焦点的椭圆，且不在直线上，
因此有，
所以顶点的轨迹方程可以是，
故选：A

【例3-4】已知两圆：，：.动圆在圆内部且和圆相内切，和圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（       ）
A． B．
C． D．
【解析】设动圆的圆心，半径为
圆与圆:内切，与C2：外切.
所以.

由椭圆的定义，的轨迹是以为焦点，长轴为16的椭圆.
则，所以
动圆的圆心的轨迹方程为：
故选：D


变式1：求过点P(3,0)且与圆x2＋6x＋y2－91＝0相内切的动圆圆心的轨迹方程．
【解析】圆方程配方整理得(x＋3)2＋y2＝102，圆心为C1(－3，0)，半径为R＝10.设所求动圆圆心为C(x，y)，半径为r，依题意有消去r得|PC|＋|CC1|＝R，即|PC|＋|CC1|＝10.
又P(3,0)，C1(－3,0)，且|PC1|＝6