选择性必修 第一册3.2 双曲线优秀课时作业

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3.2.1双曲线及其标准方程

课程标准
核心素养
1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.
数学抽象
直观想象




知识点1 双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
注：1、集合语言表达式
双曲线就是下列点的集合:.常数要小于两个定点的距离．
2、对双曲线定义中限制条件的理解
(1)当||MF1|－|MF2||＝2a＞|F1F2|时，M的轨迹不存在．
(2)当||MF1|－|MF2||＝2a＝|F1F2|时，M的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线．
(3)当||MF1|－|MF2||＝0，即|MF1|＝|MF2|时，M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．
(4)若将定义中的绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支．具体是哪一支,取决于与的大小.
①若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;
②若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.
【即学即练1】已知A(0，－5)，B(0,5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为(　　)
A．双曲线或一条直线
B．双曲线或两条直线
C．双曲线一支或一条直线
D．双曲线一支或一条射线

【即学即练2】已知M(－2,0)，N(2,0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是(　　)
A．双曲线　　　　　　 B．双曲线左支
C．一条射线 D．双曲线右支

【即学即练3】方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围是(　　)
A．－2＜m＜2 B．m＞0
C．m≥0 D．|m|≥2


知识点2 双曲线的标准方程

焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
图形


焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2 a与b没有大小关系
注：1、双曲线的标准方程推导过程
①观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，

此时双曲线的焦点分别为F1(－c,0)，F2 (c,0)，焦距为2c，c>0.
设P(x，y)是双曲线上一点，则
||PF1|－|PF2||＝2a(a为大于0的常数)，
因为|PF1|＝，|PF2|＝，
所以－＝±2a，①
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，两边同除以a2(c2－a2)，得－＝1.
由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以c2－a2>0，类比椭圆标准方程的建立过程，令b2＝c2－a2，其中b>0，代入上式，得－＝1(a>0，b>0)．
②设双曲线的焦点为 F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足||PF1|－|PF2||＝2a，其中c>a>0 ，以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？

【答案】－＝1(a>0，b>0)．

2、巧记双曲线焦点位置与方程的关系
两种双曲线 ， （）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同.
焦点跟着正项走，即若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上．


3、共焦点双曲线的设法
与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为－＝1(－a20)有公共焦点的双曲线方程为－＝1(－a2