人教A版 (2019)3.2 双曲线精品综合训练题

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 3.2.2 双曲线的简单几何性质
课程标准
核心素养
1.了解双曲线的几何图形及简单几何性质．
2.通过双曲线的方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解双曲线的简单应用.
直观想象
数学运算




知识点1 双曲线的几何性质
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
性质
图形


焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≤－a或 x≥a，y∈
y≤－a或 y≥a，x∈
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：；
虚轴：线段B1B2，长：；
半实轴长：，半虚轴长：
离心率
e＝∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±x
y＝±x
注：1.范围

利用双曲线的方程求出它的范围，由方程－＝1可得＝1＋≥1，于是，双曲线上点的坐标(x，y)都适合不等式≥1，y∈R，所以x≥a 或x≤－a; y∈R.
2．对称性
－＝1(a>0，b>0)关于x轴、y轴和原点都对称．
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心．
3．顶点
(1)双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点 .
顶点是A1(－a,0)，A2(a,0)，只有两个．
(2)如图，线段A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做实半轴长；线段B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长．

4．渐近线
双曲线在第一象限内部分的方程为y＝，它与y＝x的位置关系：在y＝x的下方．
它与y＝x的位置的变化趋势：慢慢靠近．

(1)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.
(2)利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图．
(3)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置．
(4)等轴双曲线的离心率为，渐近线方程为y＝±x.
(5)焦点到渐近线的距离为b.

5．离心率
(1)定义：e＝.
(2)e的范围：e>1.
(3)e的含义：因为c>a>0，所以可以看出e>1，另外，注意到＝＝＝，说明越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄．
(4)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大．

【即学即练1】双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　)
A．2　　　　　　　　　　 B．2
C．4 D．4
【即学即练2】中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为________．
【即学即练3】双曲线x2－＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于________．
【即学即练4】求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)实轴长为16，离心率为；
(2)焦点在x轴上，离心率为，且过点(－5,3)．

知识点2 等轴双曲线和共轭双曲线
1．等轴双曲线
(1)实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的一般方程为－＝1或－＝1(a＞0)．
(2)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，渐近线方程为y＝±x，离心率e＝.
(3)等轴双曲线的方程，；
2．共轭双曲线
以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线．其性质如下：
(1)有相同的渐近线；
(2)有相同的焦距；
(3)离心率不同，但离心率倒数的平方和等于常数1.
【即学即练5】中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是(　　)
A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4
C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4

知识点3 直线与双曲线的位置关系
1、把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式．
(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．
(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．
(3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．
当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．
注：直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支．
2、 弦长公式
直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则

（为直线斜率）
3、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长.

【即学即练6】“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

【即学即练7】已知双曲线x2－＝1，过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的斜率k.


考点一 双曲线的几何性质
解题方略：
由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键；
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；
(3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质．
注：求性质时一定要注意焦点的位置．
【例1-1】求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
变式1：求下列双曲线的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率及渐近线方程：
(1)；(2)；(3)；(4)．

考点二 由双曲线的几何性质求标准方程
解题方略：
求双曲线的标准方程的方法与技巧
(1)一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a，b的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得．再结合c2＝a2＋b2及e＝列关于a，b的方程(组)，解方程(组)可得标准方程．
(2)如果已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，那么此双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．　
(3)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．
(4)巧设双曲线方程的技巧
①与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2<λ ②与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
③渐近线方程为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．

【例2-1】以椭圆＋＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为(　　)
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1或－＝1
D．以上都不对

变式1：已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
变式2：过点(2，－2)且与－y2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程为________．

变式3：若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为________．

考点三 双曲线的渐近线
解题方略：
1、若双曲线方程为渐近线方程：
2、若双曲线方程为（，）渐近线方程：
3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为，
4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上）
【例3-1】双曲线的渐近线方程为( )
A．          B．          C．          D．
变式1：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为_______.

变式2：椭圆：与双曲线：的离心率之积为1，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（   ）
A．， B．， C．， D．，

【例3-2】已知双曲线的渐近线方程为，则__________．

变式1：若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．



考点四 双曲线的离心率
解题方略：
求双曲线离心率的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解，若已知a，b，可利用e＝ 求解．
(2)方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e＝，转化为关于e的n次方程求解．如若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解．
【例4-1】已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P满足|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|＝4∶6∶5，则该双曲线的离心率为(　　)
A．2 B. C. D．5


变式1：点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率（   ）
A． B． C． D．


变式2：已知双曲线：的右焦点为，为右支上一点，与 轴切于点 与 轴交于点 ，，，则的离心率为_____________.

变式3：已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．

变式4：如图所示，F1和F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．

变式5：过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．

【例4-2】如果双曲线－＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是________．

变式1：已知是双曲线的左右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是______．

考点五 直线与双曲线的位置关系
解题方略：
1．判断直线与双曲线的位置关系时，通常是将直线方程与双曲线方程联立方程组，方程组解的个数就是直线与双曲线交点的个数，联立方程消去x或y中的一个后，得到的形如二次方程的式子中，要注意x2项或y2项系数是否为零的情况，否则容易漏解．
2．直线y＝kx＋b与双曲线相交所得的弦长d＝·|x1－x2|＝ |y1－y2|.　　
3．双曲线中点弦的斜率公式
设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有
证明：设，，则有， 两式相减得：
整理得：，即，因为是弦的中点，
所以： ， 所以

（一）根据直线与双曲线的位置关系求参数
【例5-1】直线y＝x＋3与双曲线－＝1(a>0，b>0)的交点个数是(　　)
A．1 B．2 C．1或2 D．0

【例5-2】若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为(　　)
A．(－2,2) B．[－2,2) C．(－2,2] D．[－2,2]

变式1：直线与双曲线没有公共点，则斜率的取值范围是（   ）
A． B．
C． D．

（二）弦长问题
【例5-3】过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝________.

变式1：已知双曲线C：x2－y2＝2，过右焦点的直线交双曲线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为4，则弦AB的长为(　　)
A．3 B．4 C．6 D．6


变式2：已知直线l：x＋y＝1与双曲线C：－y2＝1(a>0)．
(1)若a＝，求l与C相交所得的弦长；
(2)若l与C有两个不同的交点，求双曲线C的离心率e的取值范围．


（三）中点弦问题
【例5-4】直线y＝x＋1与双曲线x2－＝1相交于A，B两点，则AB中点P的坐标为________．

变式1：已知双曲线的方程为x2－＝1.试问：双曲线上是否存在被点B(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．

变式2：已知曲线，过点且被点平分的弦所在的直线方程为（       ）
A． B．
C． D．

考点六 双曲线的定点、定值问题
【例6-1】已知，为双曲线的两个焦点，点在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)已知点，是双曲线上异于的两点，直线，与轴分别相交于，两点，若，证明：直线过定点．

【例6-2】已知双曲线，过点的直线l与该双曲线两支分别交于M，N两点，设，．
(1)若，点O为坐标原点，当时，求的值；
(2)设直线l与y轴交于点E，，，证明：为定值．

题组A 基础过关练
1、求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)焦点在x轴上，离心率为，且过点(－5,3)；
(3)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x.
2、已知双曲线－＝1与－＝1，下列说法正确的是(　　)
A．两个双曲线有公共顶点
B．两个双曲线有公共焦点
C．两个双曲线有公共渐近线
D．两个双曲线的离心率相等

3、若双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为(　　)
A．y2－x2＝96 B．y2－x2＝160
C．y2－x2＝80 D．y2－x2＝24

4、若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
5、如果椭圆＋＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，那么双曲线－＝1的离心率为(　　)
A. B.
C. D．2

6、若直线x＝a与双曲线－y2＝1有两个交点，则a的值可以是(　　)
A．4 B．2 C．1 D．－2

7、直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是(　　)
A．(1,2) B．(－2，－1)
C．(－1，－2) D．(2,1)

8、设双曲线－＝1(0
9、已知直线l：y＝ax＋1与双曲线C：3x2－y2＝1，当a为何值时，直线l与双曲线C有唯一的公共点？

题组B 能力提升练
10、设点F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0)的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若△ABF2的面积为2，则该双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x

11、过点A(3，－1)且被A点平分的双曲线－y2＝1的弦所在的直线方程是________．

12、已知双曲线（）的右焦点为，直线与双曲线只有1个交点，则（       ）
A． B． C． D．

13、已知双曲线的离心率为2，过点的直线与双曲线交于，两点，且点恰好是弦的中点，则直线的方程为（       ）
A． B． C． D．

14、【多选】已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则(　　)
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1
C．点P的横坐标为±1
D．△PF1F2的面积为

15、已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1

16、【多选】若双曲线C的一个焦点F(5,0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是 (　　)
A．C的方程为－＝1
B．C的离心率为
C．焦点到渐近线的距离为3
D．|PF|的最小值为2

17、若双曲线的渐近线与圆相切，则______．

18、已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，设左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2c，在C的右支上存在一点P，使得以F1F2，F2P为邻边的平行四边形为菱形，且直线PF1与圆(x－c)2＋y2＝c2相切，则该双曲线C的离心率为(　　)
A. B. C. D．2

19、已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为双曲线C同一支上的两点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(，0)在线段PQ上，则△PQF的周长为______.


题组C 培优拔尖练
20、已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围．

21、若双曲线E：－y2＝1(a＞0)的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若|AB|＝6，求k的值．

22、双曲线C的中心在原点，右焦点为F，渐近线方程为y＝±x.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设直线l：y＝kx＋1与双曲线C交于A，B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点？

23、设A，B为双曲线x2－＝1上的两点，线段AB的中点为M(1,2)．求：
(1)直线AB的方程；
(2)△OAB的面积(O为坐标原点)．

24、设A，B分别为双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标．