拓展一 圆锥曲线的离心率问题 （人教A版2019选择性必修第一册）讲义

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 拓展一：圆锥曲线的离心率问题



离心率是刻画椭圆的扁平程度和双曲线的开口大小的一个量。求离心率的大小和范围问题是高考的热点和难点。离心率问题既可以考查圆锥曲线的定义和性质，又可以综合考查平面几何、三角函数、平面向量等内容，还可以考查考生的逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力，更可以考查数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想方法。因此，备受命题者青睐。
一、求离心率的方法．
求圆锥曲线的离心率主要围绕寻找参数的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：
1、 利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与有关，另一条边为焦距，从而可求解；
（1）特殊三角形与离心率
这类题目通常利用特殊三角形的性质来找参数关系，用到的性质一般有边角相等、三角形相似、面积公式、正余弦定理、角平分线性质、高的性质、中线的性质等，解题方法可用代数法也可用几何法，通常数形结合，用几何法计算量较小，运算相对简单.
（2） 平行四边形与离心率
与平行四边形结合的离心率问题一般有两类，一类是题目中存在四边形；另一类是利用圆锥曲线的对称性构造四边形.用到的性质通常有：对边平行相等；两条对角线长度的平方和等于两倍的两个邻边的平方和等.解题时可用代数法也可用几何法.
（3） 圆与离心率
借助于圆的性质求离心率问题的题目相对较多，考查点通常是圆的性质和圆锥曲线性质的结合，比如弦的中点与圆心的连线与弦垂直，直径所对的圆周角是90°，半径相等，圆与圆的位置关系等.
2、利用坐标运算：如果从题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用进行表示，再利用条件列出等式求解．（要习惯将看作常数）
3、通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．

重要类型：
(1)利用焦点三角形求离心率
利用定义，求出。
椭圆：，设椭圆焦点三角形两底角分别为、，则(正弦定理)。
双曲线：，设双曲线焦点三角形两底角分别为来表示:

(2)由渐近线求离心率
因为双曲线夹在两渐近线之间，所以两渐近线夹角的大小确定了双曲线的开口大小.双曲线中，渐近线的倾斜角与离心率有如下关系
①
②过焦点作渐近线的垂线，垂足为点M，因≌，所以焦点到渐近线的距离垂足点M的坐标.



(3)中点弦的离心率问题

涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．


(4) 与焦点弦有关的离心率问题

当椭圆或双曲线的焦点在轴上时，过焦点F作倾斜角为的弦AB（若为双曲线，则弦AB 在同一支上），设是较长的焦半弦，为较短的焦半弦，则
当抛物线的焦点在轴上时，过焦点F作倾斜角为的弦AB，设是较长的焦半弦，为较短的焦半弦，则
结论中的a，b，c，p都是相关曲线的参数。这两个结论又称为长短弦公式。
焦比定理：若圆锥曲线的焦点在轴上，设AB 是过圆锥曲线的焦点F的弦（对双曲线，限定AB在同一支上），圆锥曲线的离心率为e，AB的倾斜角为，斜率为（限定存在），两焦半径的比值为（可以是，也可以是），则必有或
推论1：若圆锥曲线的焦点在轴上，设AB 是过圆锥曲线的焦点F的弦（对双曲线，限定AB在同一支上），圆锥曲线的离心率为e，AB的倾斜角为，斜率为（限定存在），两焦半径的比值为（可以是，也可以是），则必有或
推论2：若双曲线的焦点在轴上，设AB是过焦点F的弦，且弦AB与双曲线的两支都相交，双曲线的离心率为e，AB的倾斜角为，斜率为（限定存在），两焦半径的比值为（可以是，也可以是），则必有或
推论3：若抛物线的焦点在轴上，设AB是过焦点F的弦，AB的倾斜角为，斜率为（限定存在），两焦半径的比值为（可以是，也可以是），则必有或


二、离心率的范围问题．
在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：
（1）借助题目中给出的不等信息
题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求．如果问题围绕着“曲线上存在一点”，则可考虑将该点坐标用表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口；
基本步骤：
①找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，的范围等；
②列出不等式，化简得到离心率的不等关系式，从而求解.
（2）借助函数的值域求解范围
若题目中有一个核心变量，则可以考虑将离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可；
基本步骤：
①根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；
②通过确定函数的定义域；
③利用函数求值域的方法求解离心率的范围.

（3） 借助平面几何图形中的不等关系
基本步骤：
①根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，
②将这些量结合曲线的几何性质用进行表示，进而得到不等式，
③解不等式，确定离心率的范围.
另外，不能忽略了圆锥曲线离心率的自身限制条件(椭圆、双曲线离心率的取值范围不一致)，否则很容易产生增根或者扩大所求离心率的取值范围．


类型一 利用定义法求离心率
1、已知椭圆，左右焦点分别为，直线与椭圆相交于两点．
求椭圆的焦点坐标及离心率.
【解析】椭圆知，该椭圆的焦点在 轴上，设焦距为，由， 所以，所以焦点坐标为，离心率为：

2、已知为椭圆上的点，点到椭圆焦点的距离的最小值为，最大值为1，则椭圆的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【解析】因为点到椭圆焦点的距离的最小值为，最大值为18，
所以，
所以椭圆的离心率为：.
故选：B.

类型二 利用几何关系求离心率
3、椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
【解析】不妨设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，则2a＝2b×3，即a＝3b.∴a2＝9b2＝9(a2－c2)．即＝，∴e＝＝.故选D.

4、直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为
A． B． C． D．
【解析】不妨设直线过椭圆的上顶点和左焦点，，则直线的方程为，由已知得，解得，
又，所以，即，故选B．

5、变式2：（2017新课标Ⅲ）已知椭圆：的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为
A． B． C． D．
【解析】以线段为直径的圆是，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，整理为，
即，即 ，，故选A．

6、已知椭圆左右焦点分别为，，若椭圆上一点满足轴，且与圆相切，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】如图，设直线与圆相切于点，连接，

则，
椭圆的左右焦点分别为，，
轴，，，
，轴，，
，即，解得，
故选：A.

7、焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
【解析】选C　由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得×2c×b＝(2a＋2c)×，得a＝2c，即e＝＝，故选C.

8、已知椭圆的左、右焦点分别为，，B为椭圆的上顶点，若的外接圆的半径为，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设O为坐标原点，的外接圆的圆心必在线段上，
且有，得，即，所以，
所以，即椭圆C的离心率为.
故选：C


9、若椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线的焦点分成的两段，则此椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意，椭圆的焦点坐标分别为，
抛物线的焦点坐标为，
因为线段F1F2被抛物线的焦点分成的两段，
可得，解得，
又由，可得，所以.
故选：D.

10、如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
【解析】将y＝代入椭圆的标准方程，得＋＝1，
所以x＝±a，故B，C.
又因为F(c,0)，所以＝，＝c－a，－.
因为∠BFC＝90°，所以·＝0，
所以＋2＝0，
即c2－a2＋b2＝0，将b2＝a2－c2代入并化简，得a2＝c2，所以e2＝＝，
所以e＝(负值舍去)．

类型三 借助焦点三角形求离心率
11、设椭圆的左、右焦点分别为,是上的点,,,则的离心率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】法一：设，，则，即，，，选D。
法二：，选D。

12、设椭圆的两个焦点分别为,过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点,若为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是 ( )
A. B. C. D.
【解析】，，则，即，，选D。

13、椭圆的左、右焦点分别为,焦距为,若直线与椭圆的一个交点满足,则该椭圆的离心率等于 .
【解析】。
14、已知椭圆的左焦点为,与过原点的直线相交于两点,连接.若,,则的离心率= .
【解析】由余弦定理得，得，A到右焦点的距离也是8，由椭圆定义：，，。

15、设分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线上存在点,使且,则双曲线的离心率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】设，则，，，，选B。


16、双曲线(,)的左、右焦点分别是,过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点,若垂直于轴,则双曲线的离心率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】法一：设，，则，即，，，选B。
法二：，选B。


17、已知是双曲线的左、右焦点,点在上,与轴垂直,,则的离心率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】法一：设，则，，，，选A。
法二：，选A。


18、已知是双曲线的两个焦点,以线段为边作正三角形,若边的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】法一：设中点为P(右），，，，，，选D。
法二：，选D。
类型四 由渐进线求离心率
19、已知双曲线的焦点在轴上，则的离心率的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【解析】因为双曲线的焦点在轴上，
所以，，解得．
因为，
所以．
故选：A

20、已知双曲线两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为（    ）
A．2 B． C． D．
【解析】∵双曲线的渐近线方程为，
∴由双曲线两条渐近线的夹角为，可得.
∴双曲线的离心率为.
故选:C.

21、若双曲线的右焦点到它的一条渐近线的距离是，则的离心率为____.
【解析】依题意，
双曲线的一条渐近线为，
右焦点到渐近线的距离为，
故，
所以双曲线的离心率为.
故答案为：

22、已知双曲线E:（a＞0,b＞0）与抛物线C:有共同的焦点,过E的左焦点且与曲线C相切的直线恰与E的一条渐近线平行,则E的离心率为（   ）．
A． B． C．3 D．2
【解析】抛物线的焦点,
双曲线的右焦点为,
由题意可得,,
双曲线的渐近线方程为,不妨取,
设过左焦点的直线方程为
联立,得,
由题意,,
可得,取,
又直线与平行,
,可得双曲线的离心率,
所以离心率为.
故选:B．

23、已知双曲线的一条渐近线为，左､右焦点分别是，过点作轴的垂线与渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为__________.
【解析】依题意可得，，显然为直角三角形，
所以，即，所以，
所以离心率.
故答案为：

24、已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，则该双曲线的离心率为___________.
【解析】设过右焦点且与渐近垂直的直线为，
则直线的方程为,
由，得，
即，
则的面积为，
所以，离心率，
故答案为：.

25、已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的两条渐近线分别交于，两点.若，，双曲线的离心率.
【解析】如图，因为，故为的中点，又为的中点，则为的中位线，

又，则，.
设，，
因为点在渐近线上，则，解得，
又为的中点，则，
又在渐近线上，故，整理得：，
故双曲线的离心率.


类型五 中点弦的离心率问题
26、直线与椭圆相交于A,B两点，且恰好为AB中点，则椭圆的离心率为 .
【解析】由，消去x，得，
，
设A ，B ，则，
∵线段AB的中点为（-1，1），∴，于是得，
又，∴，∴.


27、过点作斜率为的直线与椭圆：()相交于､两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
【解析】设，则， ，
所以，作差得，
所以，即，
所以该椭圆的离心率.
故选：A.

28、已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于，两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为椭圆，所以点为左焦点，点，
因为直线l平行于，所以，设，
因为AB在椭圆上，所以，
两式相减得：，又因为的中点为，
所以，即，所以 ，即，
解得，又，所以，故选：A
29、已知椭圆的方程为，斜率为的直线与椭圆相交于，两点，且线段的中点为，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设，
则，两式作差得，
又，线段的中点为，
所以，
所以即，
所以该椭圆的离心率为.
故选：C.
类型六 与焦点弦有关的离心率问题
30、已知椭圆的右焦点为F，经过点F的直线l的倾斜角为，且直线l交该椭圆于A，B两点，若，则该椭圆的离心率为______________.
【解析】由题意知，，直线的方程为，其中c为椭圆C的半焦距，
联立得.
设，则.
∵，
∴，即，
∴，
∴，
化简得，
∵，
∴，
令，可将上式整理为，
即，解得或，
∴，即，
∴所求椭圆的离心率为.
故答案为：

31、椭圆的上顶点为A，左焦点为F，AF延长线与椭圆交于点B，若，，则椭圆离心率的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【解析】，，则AF：，，满足,
消去得，，
是它的一个解，另一解为，因为，所以，所以，故，所以，所以．
故选：B．

类型七 求离心率的取值范围
（一）利用点与圆锥曲线的位置关系建立不等式
32、已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【解析】∵，∴，∴点在以为直径的圆上，又点在椭圆内部，∴，∴，即，∴，即，又，∴，故选：B.

33、已知直线l：x＋y＝0与双曲线无公共交点，则双曲线C离心率e的取值范围为_______．
【解析】双曲线的一条渐近线方程为，
因为直线与双曲线无公共点，
所以，即，
所以，
又，
所以离心率的取值范围为，
故答案为：


34、正方形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1(a＞b＞0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】选B　由题意，作出示意图如图所示．
根据对称性可知B，D在直线y＝x上，设D(m，m)，则＋＝1，即m2＝＞c2⇒b2＞ac，整理得c2＋ac－a2＜0，即e2＋e－1＜0，解得0＜e＜.

35、已知双曲线（，）左、右焦点分别为，，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【解析】由题意，点不是双曲线的顶点，否则无意义，
在中，由正弦定理得，
又，
∴，即，
∵在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得，
∴，即，
由双曲线的几何性质，知，∴，即，
∴，解得，又，双曲线离心率的范围是．
故选：C．

（二）利用已知的角度关系建立不等式
36、已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由椭圆的对称性可知，当为椭圆的上、下顶点时，最大，
则只需即可满足题意，
若为坐标原点，则，，
，解得：，即椭圆离心率的取值范围为.
故选：.

37、已知椭圆：的右焦点为，左顶点为.若点为椭圆上的点，轴，且，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意可得，
所以，所以
所以，所以，所以
所以，所以，解得或
因为，所以
故选：D


38、已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】设椭圆的左焦点为：, 因为，
所以四边形为为矩形，所以 因为，
所以 由椭圆的定义得：，
所以，因为，
所以，
所以，所以，
所以，故选：B

39、已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与圆C2：x2＋y2＝b2，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
【解析】从椭圆上长轴端点P′向圆引两条切线P′A，P′B，则两切线形成的∠AP′B最小．
若椭圆C1上存在点P，所作圆C2的两条切线互相垂直，则只需∠AP′B≤90°，
即α＝∠AP′O≤45°，∴sin α＝≤sin 45°＝.
又b2＝a2－c2，∴a2≤2c2，∴e2≥，即e≥.
又0
（三）利用已知的位置关系建立不等式

40、过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
【解析】由题设知，直线l：＋＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±，即圆的半径r＝.又圆与直线l有公共点，所以≤ ，化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝≤.又0＜e＜1，所以0＜e≤.故选A.

41、已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
【解析】根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆左、右焦点的距离和为4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.又d＝≥，所以1≤b＜2，所以e＝＝＝ .因为1≤b＜2，所以0＜e≤.故选A

（四）利用已知长度（面积）关系建立不等式
42、已知椭圆：的左、右焦点分别是，，，是椭圆的任意两点，四边形是平行四边形，且，则椭圆的离心率的取值范围是________．
【解析】因为四边形是平行四边形，则且
∴，则
若，即
所以，即，
同除以可得：，解得．
因为，所以．
故答案为：.

43、从一块短轴长为的椭圆形玻璃中划出一块面积最大的矩形，若这个矩形的面积的取值范围是，则这一椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】设椭圆方程()，设矩形在第一象限的顶点坐标为，
根据对称性知该矩形的面积为，
即划出的矩形最大面积为，，即，
即，故，故选D.