拓展四 圆锥曲线的向量问题 （人教A版2019选择性必修第一册）讲义

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 拓展四 圆锥曲线的向量问题



解析几何中，将代数和几何联系到一起，形成了图形分析和坐标等的计算，在一定程度上可以进行向量的计算，达到解决解析几何的目的。这类试题的常规形式是用向量形式给出某些条件或结论,其难点往往不在向量上,对向量部分只需运用向量基础知识即可实现相应转化.平移向量作为工具处理圆锥曲线中的长度、角度、共线、垂直、射影等许多问题,使得这类问题成为高考命题的一个热点,且时常出现在解答题中.
向量的运算
向量的数量积
若，则
向量的数乘
若，则时，
向量的线性运算
若，则时，.



向量的翻译
向量垂直
当直线时，利用向量进行数量积的翻译，即,（用斜率翻译时，要注意斜率不存在的情况）
向量模长
当时，通过平方推导，转化为，即翻译成垂直.
定角
求解角度的大小时，通过向量的夹角公式进行翻译， 向量的数量积，即.
直角
当为直角时，则
锐角
当为锐角时，则；
钝角
当为钝角时，则；
点在圆上
直径所对圆周角为直角，向量的数量积等于零，即当为直角时，则；
点在圆内
直径所对圆周角为钝角，即向量的数量积小于零；当为钝角时，则；
点在圆外
直径所对圆周角为锐角，即向量的数量积大于零；当为锐角时，则；
平行四边形
若点满足,则四边形ABCD是平行四边形,涉及圆锥曲线中的平行四边形要注意对边长度相等、斜率相等,两对角线中点为同一个点等条件的应用.



向量其他常见条件
1.设为直线l的方向向量,若,则l斜率为k；若（m≠0）,则l斜率为；
2.A、B、C是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则A、B、C共线:①=;②=+且+=1;③=(+)/(1+)；④∥.
3.A、B、C是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则C为线段AB的中点:①=;②=(+).
4.在四边形ABCD中,若∙=0,则AB^AC;若∣+∣=∣-∣,则AB^AD;若∙=∙,则AC^BD.
5.圆锥曲线中涉及向量相等,通常利用横坐标或纵坐标相等进行转化,涉及向量共线问题,通项利用非零向量共线转化,涉及向量的数量积,通常利用数量积的坐标运算进行转化.


类型一 向量数量积
1．（2022·江苏·宝应中学高二期中）设椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，短轴长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于A，B两点，已知点，求的值.
2．（2022·西藏拉萨·一模（文））已知椭圆经过点，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交椭圆于，两点，为椭圆的左焦点，若，求直线的方程．
3．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆：，，过点的动直线与椭圆交于、两点.
(1)求线段的中点的轨迹方程；
(2)是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
类型二 向量数乘

（一）向量共线
4．（2022·江苏·高二）设A，B是椭圆C：的左右顶点，P为椭圆上异于A，B的一点.
(1)D是椭圆C的上顶点，且直线PA与直线BD垂直，求点P到x轴的距离；
(2)过点的直线（不过坐标原点）与椭圆C交于M，N两点，且点M在x轴上方，点N在x轴下方，若，求直线的斜率.
5．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆：（）的离心率，点、之间的距离为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和，则是否存在常数，使得与共线？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.
6．（2022·福建·厦门海沧实验中学高二阶段练习）已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点
(1)求双曲线方程；
(2)设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若，求直线l的方程．

7．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（理））已知P为曲线C上一点，M，N为圆与x轴的两个交点，直线，的斜率之积为．
(1)求C的轨迹方程；
(2)过点的直线与C交于A，B两点，若，求λ的取值范围.
8．（2022·全国·高二单元测试）已知椭圆的长轴长为，右焦点到直线的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于，两点，椭圆上存在点，使得，求实数的值.
9．（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）记的左、右顶点分别为，过的直线交的右支于两点，连结交直线于点，求证：三点共线．

（二） 利用向量共线求双变量的关系式
10．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆经过点，左焦点为F，．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点作直线l交椭圆C于A、B两点，过点F且垂直于x轴的直线交直线l于点E，记，求证：．
11．（2022·内蒙古呼伦贝尔·二模（文））已知椭圆：（）的短轴长为，是椭圆上一点．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点（为常数，且）的直线与椭圆交于不同的两点，，与轴相交于点，已知，，证明：．
12．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校高二期中）已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由.
13．（2022·全国·高二专题练习）已知、分别是椭圆的左右顶点，为坐标原点，，点在椭圆上．过点，且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于、两个不同的点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点落在以线段为直径的圆的外部，求直线的斜率的取值范围；
(3)当直线的倾斜角为锐角时，设直线、分别交轴于点、，记，，求的取值范围．

类型三 利用向量加法的几何意义构造平行四边形
14．（2022·山东省青岛第五十八中学高二期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且，若M为椭圆C上一点，线段与圆C：相切于该线段的中点N．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点做直线l与椭圆C交于A，B两点，且椭圆C上存在点P，使得四边形若OAPB为平行四边形，求直线l的方程．
15．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆：的离心率是，以的长轴和短轴为对角线的四边形的面积是.
(1)求的方程；
(2)直线与交于，两点，是上一点，，若四边形是平行四边形，求的坐标.
16．（2022·全国·高二单元测试）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的短轴长为2，椭圆C上的点到右焦点距离的最大值为．过点作斜率为k的直线l交椭圆C于A，B两点，其中，，D是线段AB的中点，直线OD交椭圆C于M，N两点．

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若，，求k的值；
(3)若存在直线l，使得四边形OANB为平行四边形，求m的取值范围．

类型四 向量垂直
17．（2022·河南·开封高中模拟预测（文））已知椭圆的离心率为，长轴右端点到左焦点的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)点是圆上的一点，过作圆的切线，且切线与椭圆交于、两点，证明：．
18．（2022·全国·高二单元测试）已知椭圆的左焦点，右顶点．
(1)求的方程
(2)设为上一点（异于左、右顶点），为线段的中点，为坐标原点，直线与直线交于点，求证：．
19．（2022·湖南·高二阶段练习）已知椭圆C：的上顶点与右焦点分别为M，F，O为坐标原点，是底边长为2的等腰三角形.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线与椭圆C有两个不同的交点A，B，，若，求k的值.
20．（2022·吉林·长春市第二实验中学高二阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，下顶点为，直线与的另一个交点为，连接，若的周长为，且的面积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆交于两点，当为何值时，恒成立？

类型五 向量模长
21．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆的左、右顶点分别为点，且为椭圆上一点，关于轴的对称点为，．
(1)求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，斜率为1的直线与椭圆交于两点，在轴上存在点，使得，，求直线的方程．

类型六 定角
22．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点.
(1)求圆O和椭圆C的方程；
(2)已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N.求证：为定值.

类型七 直角、锐角、钝角
23．（2022·辽宁朝阳·高二期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点.动点与定点的距离和它到定直线的距离的比为常数2，动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点的直线交曲线于两点，若，求直线的方程.
24．（2022·江苏·南京外国语学校高二阶段练习）设A，B为双曲线C：的左、右顶点，直线l过右焦点F且与双曲线C的右支交于M，N两点，当直线l垂直于x轴时，为等腰直角三角形．
(1)求双曲线C的离心率；
(2)已知，若直线AM，AN分别交直线于P，Q两点，若为x轴上一动点，当直线l的倾斜角变化时，若为锐角，求t的取值范围．
25．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆C的离心率为，焦点、．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知、，是椭圆C在第一象限部分上的一动点，且∠APB是钝角，求的取值范围．

类型八 点在圆上、点在圆外、点在圆内
26．（2022·北京·模拟预测）已知椭圆：（）上一点到两个焦点的距离之和为4，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左右顶点分别为、，当不与、重合时，直线，分别交直线于点、，证明：以为直径的圆过右焦点.
27．（2022·江苏省灌南高级中学高二期中）已知椭圆C：1（a＞b＞0）长轴长为4，且椭圆C的离心率．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设斜率为1的直线l与椭圆C交于P，Q两点，O为坐标轴原点，以PQ为直径的圆过坐标轴原点，求直线l的方程．
28．（2022·吉林白山·一模（理））已知是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点.

(1)求动点的轨迹的方程；
(2)折线与相交于，两点，若以为直径的圆经过原点，求的值.
29．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆的左，右焦点分别为、，上下顶点分别为M、N，点的坐标为，在下列两个条件中任选一个：①离心率；②四边形的面积为4，解答下列各题.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线交椭圆于A、B两点，判断点与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由.
30．（2022·吉林·东北师大附中高二期末）椭圆的离心率为，设为坐标原点，为椭圆的左顶点，动直线过线段的中点，且与椭圆相交于、两点．已知当直线的倾斜角为时，．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)是否存在定直线，使得直线、分别与相交于、两点，且点总在以线段为直径的圆上，若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由．
31．（2022·广东韶关·高二期末（理））已知椭圆的焦点在圆上，且椭圆上一点与两焦点围成的三角形周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过圆上一点作圆的切线交椭圆于两点，证明：点在以为直径的圆内.
32．（2022·河南·二模（文））已知椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率为，且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于、两点，且，，若原点在以为直径的圆外，求的取值范围.