圆锥曲线的方程章末检测卷（一） （人教A版2019选择性必修第一册）

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圆锥曲线的方程章末检测卷（一）
说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．双曲线的渐近线方程是
A． B． C． D．
【解析】因为，
所以，渐近线方程为，
即为，故选C.
2．过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（    ）
A． B． C． D．
【解析】由得，
所以椭圆的焦点为.
设双曲线的方程为，
因为双曲线过点，
所以.
所以双曲线的方程为.
故选：D
3．已知椭圆C：上的动点P到右焦点距离的最小值为，则（    ）
A．1 B． C． D．
【解析】根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最小值为，
即 ，又，所以，
由，所以；
故选：A
4．椭圆的焦点为，，与轴的一个交点为，若，则（    ）
A．1 B． C． D．2
【解析】
在椭圆中，，，.易知.
又，所以为等边三角形，即，所以，即.
故选：C.
5．已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一动点，定点，则的最小值为（    ）
A．1 B．－1 C． D．
【解析】设椭圆的左焦点为，则，可得，
所以，
如图所示，当且仅当，，三点共线（点在线段上）时，
此时取得最小值，
又由椭圆，可得且，所以，所以的最小值为1．
故选：A．

6．在平面直角坐标系中，若双曲线(，)的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值为
A． B． C． D．
【解析】双曲线(，)的右焦点到一条渐近线的距离为
可得： 可得 ，即
所以双曲线的离心率为： .
故选:B.
7．如图，点A，B，C在抛物线上，抛物线的焦点F在上，与x轴交于点D，，，则（    ）

A． B．4 C． D．3
【解析】依题意设，则直线AB，AC，BC斜率分别为：
，
因，则，即，
则，因F(1，0)在直线AB上，则，而，
有，即，点A在直线上，
又是等腰三角形，点F，点D关于直线对称，所以点D坐标为(5，0)，|FD|=4.
故选：B
8．设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（    ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【解析】，，根据双曲线的定义可得，
，即，
，，
，即，解得，
故选：A.

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．若椭圆的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（    ）
A． B．C的长轴长为 C．C的短轴长为4 D．C的离心率为
【解析】由已知可得，解得或（舍去）
，
∴长轴长为，短轴长为，离心率为，
故选：AB.
10．关于、的方程（其中）对应的曲线可能是（    ）
A．焦点在轴上的椭圆 B．焦点在轴上的椭圆
C．焦点在轴上的双曲线 D．焦点在轴上的双曲线
【解析】对于A选项，若方程表示焦点在轴上的椭圆，
则，解得，
即当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，A选项正确；
对于B选项，若方程表示在焦点在轴上的椭圆，
则，解得，
即当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，B选项正确；
对于C选项，若方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线，
则，解得，
即当时，曲线是焦点在轴上的双曲线，C选项正确；
对于D选项，若表示焦点在轴上的双曲线，
则，这样的不存在，D选项错误.
故选：ABC.
11．设椭圆的左､右焦点分别为，，左､右顶点分别为，，点是椭圆上的动点，则下列结论正确的是（    ）
A．离心率
B．△面积的最大值为1
C．以线段为直径的圆与直线相切
D．为定值
【解析】对于选项,由已知得，，则，即，故错；
对于选项,由已知得，要使△的面积最大，当底边上的高最大即可，高的最大值即为，则△的面积最大值为，故正确；
对于选项,以线段为直径的圆的方程为，则该圆的圆心到直线的距离为,即以线段为直径的圆与直线相交，故不正确；
对于选项,设点，则,
故正确.
故选：BD.
12．点，为椭圆的两个焦点，椭圆上存在点，使得，则椭圆的方程可以是（    ）
A． B． C． D．
【解析】设椭圆方程为，
设椭圆上顶点为B，椭圆上存在点，使得，
则需，
，
即，，
则，所以选项ACD满足.
故选：ACD.

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．过点（0，2）与抛物线只有一个交点的直线有______条．
【解析】当直线的斜率不存在时，该直线方程为与抛物线相切，只有一个交点，
当直线的斜率存在时，设直线方程为，代入抛物线，
消去y得：，
当时，直线方程为，与抛物线只有一个交点，
当时，，解得，此时直线与抛物线相切，只有一个交点，
所以过点（0，2）与抛物线只有一个交点的直线有3条
故答案为：3
14．若双曲线的一个焦点到坐标原点的距离为3，则m的值为______.
【解析】依题意可知，
当双曲线的焦点在x轴上时，，所以；
当双曲线的焦点在y轴上时，，所以
综上，或.
故答案为：7或

15．椭圆离心率为，直线与椭圆交于，两点，且中点为，为原点，则直线的斜率是_______．
【解析】因为椭圆离心率为，所以，所以
设，，所以，，因为，在椭圆上，所以，两式作差得，即，即，即，所以
故答案为：

16．已知椭圆的两个焦点分别为，，，点在椭圆上，若，且的面积为4，则椭圆的标准方程为______．
【解析】由题可知，∴,
又，代入上式整理得，
由得为直角三角形．
又的面积为4，设，，
则解得
所以椭圆的标准方程为．

四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知双曲线：过点，渐近线方程为，直线是双曲线右支的一条切线，且与的渐近线交于A，B两点．
(1)求双曲线的方程；
(2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值．
【解析】（1）由题设可知，解得
则：．
（2）设点M的横坐标为
当直线斜率不存在时，则直线：
易知点到轴的距离为﹔
当直线斜率存在时，设：，，，
联立，整理得，
，
整理得
联立，整理得，
则，则，即
则，即
∴此时点到轴的距离大于2；
综上所述，点到轴的最小距离为2．
18．已知椭圆的标准方程为：，若右焦点为且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，是上的两点，直线与曲线相切且，，三点共线，求线段的长．
【解析】（1）由题意，椭圆半焦距且，则，又，
∴椭圆方程为；
（2）由（1）得，曲线为
当直线的斜率不存在时，直线，不合题意：
当直线的斜率存在时，设，又，，三点共线，
可设直线，即，
由直线与曲线相切可得，解得，
联立，得，则，，
∴.
19．如图，已知抛物线的焦点F，且经过点，．

(1)求p和m的值；
(2)点M，N在C上，且．过点A作，D为垂足，证明：存在定点Q，使得为定值．
【解析】（1）由抛物线定义知：，则，
又在抛物线上，则，可得.
（2）设，，由（1）知：，
所以，，又，
所以，
令直线，联立，整理得，且，
所以，，则，，
综上，，
当时，过定点；
当时，过定点，即共线，不合题意；
所以直线过定点，又，故在以为直径的圆上，
而中点为，即为定值，得证.
20．已知椭圆的离心率为，且过点
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0，求直线l的斜率
【解析】（1）因为椭圆的离心率为，且过点，
所以，解得，
所以椭圆C的标准方程为；
（2）设直线，，，
联立方程，整理得，
即，
，，
即，
，
即，
整理得，所以或，
若，则直线过点，不合题意，
所以直线的斜率为
21．已知、，动点满足与所在直线的斜率之积为．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)求上述轨迹中以为中点的弦所在的直线方程．
【解析】（1）设，则，，其中，
因为，整理可得.
因此，点的轨迹方程为.
（2）设所求弦为，设点、，
若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意.
所以，直线的斜率存在，则，，
因为，两个等式作差可得，
则，且，，
因此，所求直线的方程为，即.
22．已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的一个焦点坐标为(3，0)，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为，O为坐标原点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)直线l与x轴正半轴相交于一点D，与双曲线C右支相切(切点不为右顶点)，且l分别交双曲线C的两条渐近线于M、N两点，证明：△MON的面积为定值，并求出该定值．
【解析】（1）由题可知，解得，则：；
（2）由于直线与双曲线右支相切(切点不为右顶点)，则直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为，，
令，则，则．
联立得，，
则，即．
双曲线两条渐近线方程为，
联立得，，
联立得，，

，
故的面积为定值．