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2022-2023学年广东省佛山市禅城区七年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年广东省佛山市禅城区七年级（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省佛山市禅城区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在“双碳”目标背景下，中国未来发展离不开新能源产业发展.下列能源产业图标中，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 根据测试，首款5G手机传输1M的文件只需0.0025秒，数据0.0025用科学记数法表示为( )
A. 0.25×10−2 B. 2.5×10−3 C. 2.5×10−4 D. 25×10−4
3. 如图，直线a，b被直线c所截，下列说法正确的是( )
A. ∠1与∠2是内错角
B. ∠3与∠4是对顶角
C. ∠2与∠3是同旁内角
D. ∠1与∠4是同位角
4. 下列长度(单位：cm)的三条线段能构成三角形的是( )
A. 2，5，8 B. 3，4，5 C. 4，6，10 D. 5，7，13
5. 下列运算正确的是( )
A. a2⋅a3=a5 B. (3a)2=6a2 C. a3+a3=a6 D. a6÷a3=a2
6. 以下事件属于必然事件的是( )
A. 同一年出生的370人中至少有两人的生日相同
B. 早上的太阳从西方升起
C. 两边及一角分别相等的两个三角形全等
D. 任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数
7. 五线谱是一种记谱法，通过五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律.如图，AB和CD是五线谱上的两条线段，点E在AB，CD之间的一条平行线上，若∠1=120°，∠2=30°，则∠BEC的度数是( )
A. 90° B. 100° C. 120° D. 110°
8. 如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是( )
A. B.
C. D.
9. 若长方形的面积是6a3+9a2−3ab，其中一边长是3a，则它的邻边长是( )
A. 2a3+3a2−b B. 2a2+3a+b C. 3a2+2a+b D. 2a2+3a−b
10. 人的大脑所能记忆的内容是有限的，随着时间的推移，记忆的东西会逐渐被遗忘，德国心理学家艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus,1850−1909)第一个发现了记忆遗忘规律.他根据自己得到的测试数据描绘了一条曲线(如图所示)，这就是非常有名的艾宾浩斯遗忘曲线，其中竖轴表示学习中的记忆保持量，横轴表示时间.分析图象得到下列结论，其中正确的是( )
A. 记忆后0～2小时比2～4小时的遗忘速度慢
B. 记忆保持量下降到50%所用时间为4小时
C. 点A表示记忆15小时后记忆保持量约为36%
D. 记忆16小时后，记忆保持量始终保持不变
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. (12)−1=______．
12. 一个角等于30°，它的补角等于______ °.
13. 如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，AB=DE，∠B=∠E，请添加一个条件，使得△ABC≌△DEF.添加的条件可以是______ (只需写一个，不添加辅助线)；
14. 某农科所在相同条件下进行某作物种子发芽试验，结果(部分数据)如表所示：
种子个数n
100
200
400
600
800
1000
发芽种子个数m
94
179
361
541
721
893
发芽种子的频率mn(精确到0.001)
0.940
0.895
0.903
0.902
0.901
0.893
则任取一粒种子，在相同条件下，估计它能发芽的概率约为______ (精确到0.01)；
15. 如图，△ABC中，点D、E分别是AB、BC的中点，连接AE、CD交于点F，当△AFD的面积为72时，△ABC的面积为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
求代数式(a+1)(a−1)−a(a−1)的值，其中a=20．
17. (本小题8.0分)
一副扑克牌共有54张，黑桃、红桃、梅花、方块各有13张，还有两张王牌．
(1)洗匀后背面朝上放在桌面上，任意抽取1张，抽到方块的概率是______ ；
(2)请你解释一下，打牌的时候，你摸到大王的机会比摸到4的机会小．
18. (本小题8.0分)
问题：“平面内，当一个角的两边与另一个角的两边分别平行时，这两个角有怎样的数量关系？”
(1)小明阅读问题后，画出了一个如图所示的图形(已知AB//ED，BC//EF)，在这个图形中，∠B与∠E之间的数量关系是什么？试说明理由．
(2)当一个角的两边与另一个角的两边分别平行时，若其中一个角的度数是40°，那么另一个角的度数是______ ．
19. (本小题9.0分)
生活中的数学：
(1)如图1，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何知识是______ ；
(2)如图2，把小河里的水引到田地A处，若要使水沟最短，则过点A向河岸l作垂线，垂足为点B，沿AB挖水沟即可，这里所运用的几何知识是______ ；
(3)如图3，要测量池塘沿岸上两点A、E之间的距离，可以在池塘周围取两条互相平行的线段AB和CD，且AB=CD，点E是线段BC的中点，要想知道A、E之间的距离，只需要测出线段DE的长度，这样做合适吗？请说明理由．
20. (本小题9.0分)
实验人员为了解某型号汽车耗油量，在公路上做了试验，并将试验数据记录下来，制成表：
汽车行驶时间t(h)
0
1
2
3
4
…
油箱剩余油量Q(L)50
50
44
38
32
26
…
(1)根据上表数据，汽车出发时油箱共有油______ L，当汽车行驶5h，油箱的剩余油量是______ L；
(2)油箱剩余油量Q与汽车行驶时间t之间的关系式是______ ；
(3)当剩余油量为2L时，汽车将自动提示加油，请问行驶几小时汽车将会自动提示加油？
21. (本小题9.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC．
(1)求作：∠ABC的角平分线交AC于点E.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)(2)在(1)的条件下，若AE=BE，求∠A的度数．
22. (本小题12.0分)
将完全平方公式作适当变形，可以用来解决很多数学问题．
(1)观察图1，写出代数式(a+b)2，(a−b)2，ab之间的等量关系：______ ；
(2)若x+y=6，xy=4，则x2+y2= ______ ；(x−y)2= ______ ；
(3)如图2，边长为5的正方形ABCD中放置两个长和宽分别为m，n(m<5,n<5)的长方形，若长方形的周长为12，面积为8.5，求图中阴影部分的面积S1+S2+S3的值．
23. (本小题12.0分)
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E．
【特例体验】(1)如图1，若直线l//BC，BD=1，则线段DE的长为______ ；
【探究应用】
(2)如图2，若直线l从图1状态开始绕点A顺时针旋转α(0°<α<45°)时，线段BD、CE和DE的数量关系是______ ；
(3)如图3，若直线l从图1状态开始绕点A顺时针旋转α(45°<α<90°)时与线段BC相交，探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；
(4)若BD=a，CE=b(a,b均为正数)，请你直接写出以点B、D、C、E为顶点的四边形的面积．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A，B，C选项中的图标都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
D选项中的图标不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：D．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】B
【解析】解：0.0025=2.5×10−3．
故选：B．
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂．
本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】C
【解析】解：A.∠1与∠2是直线a、直线b被直线c所截的同位角，因此选项A不符合题意；
B.∠3与∠4是邻补角，因此选项B不符合题意；
C.∠2与∠3是直线a、直线b被直线c所截的同旁内角，因此选项C符合题意；
D.∠1与∠4是对顶角，因此选项D不符合题意；
故选：C．
根据同位角、内错角、同旁内角以及对顶角、邻补角的定义进行判断即可．
本题考查同位角、内错角、同旁内角、对顶角、邻补角，掌握同位角、内错角、同旁内角以及对顶角、邻补角的定义是正确判断的前提．
4.【答案】B
【解析】解：A、2+5<8，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
B、3+4>5，能组成三角形，故本选项符合题意；
C、4+6=10，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
D、5+7<13，不能组成三角形，故本选项不符合题意意．
故选：B．
根据三角形的三边关系就可以求解．
本题考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
5.【答案】A
【解析】解：A.a2⋅a3=a5，故A符合题意；
B.(3a)2=9a2，故B不符合题意；
C.a3+a3=2a3，故C不符合题意；
D.a6÷a3=a3，故D不符合题意；
故选：A．
根据同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项法则逐项进行计算即可．
本题主要考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项，掌握同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项的法则是解答的关键．
6.【答案】A
【解析】解：A、同一年出生的370人中至少有两人的生日相同，是必然事件，符合题意；
B、早上的太阳从西方升起，是不可能事件，不符合题意；
C、两边及一角分别相等的两个三角形全等，是随机事件，不符合题意；
D、任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数，是随机事件，不符合题意．
故选：A．
根据事件发生的可能性大小判断．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
7.【答案】A
【解析】解：根据题意得AB//EF//CD，如图，
∵AB//EF，
∴∠1+∠BEF=180°，
∵∠1=120°，
∴∠BEF=60°，
∵EF//CD，
∴∠FEC=∠2=30°，
∴∠BEC=∠BEF+∠FEC=60°+30°=90°，
故选：A．
根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BEF的度数，再根据两直线平行，内错角相等求出∠FEC的度数，即可求出∠BEC的度数．
本题考查了平行线的性质，熟知平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
8.【答案】B
【解析】解：作点M关于直线l的对称点M′，连接M′N交直线m于点Q，则MP+NP=M′N，此时管道长度最短．
故选：B．
根据轴对称的性质及两点之间线段最短即可得出结论．
本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：由题意得：(6a3+9a2−3ab)÷3a
=6a3÷3a+9a2÷3a−3ab÷3a
=2a2+3a−b．
故选：D．
利用整式的除法的法则进行运算即可．
本题主要考查整式的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
10.【答案】C
【解析】解：由图形可知，
A.记忆后0～2小时比2～4小时的遗忘速度快，原说法错误，故本选项不符合题意；
B.记忆保持量下降到50%所用时间为2小时，原说法错误，故本选项不符合题意；
C.点A表示记忆15小时后记忆保持量约为36%，说法正确，故本选项符合题意；
D.记忆16小时后，记忆保持量遗忘速度逐渐变慢，原说法错误，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据函数图象的横轴表示时间，纵轴表示记忆保持量，可得答案．
本题考查了函数图象，观察函数图象获得有效信息是解题关键．
11.【答案】2
【解析】解：原式=1121=2，
故答案为：2．
根据负整指数幂的意义，可得答案．
本题考查了负整指数幂，负整数指数为正整数指数的倒数．
12.【答案】150
【解析】解：根据题意得180°−30°=150°，
故答案为：150．
根据两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，列式计算．
本题主要考查了补角，熟练掌握补角定义的应用是解题关键．
13.【答案】BF=CE(答案不唯一)
【解析】解：添加BF=CE，
∵BF=CE，
∴BF+FC=CE+FC，
即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
AB=DE∠B=∠ECB=EF，
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
故答案为：BF=CE(答案不唯一)．
根据等式的性质可得BC=EF，添加AB=ED可利用SAS判定△ABC≌△DEF．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
14.【答案】0.90
【解析】解：观察表格发现随着实验次数的增多频率逐渐稳定在0.90附近，
故估计它能发芽的概率约为0.90．
故答案为：0.90．
大量重复试验下“发芽种子”的频率可以估计“发芽种子”的概率，据此求解．
本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率．
15.【答案】21
【解析】解：连接BF，
∵D、E分别是AB、BC的中点，
∴S△ABE=S△ACE=12S△ABC=S△ADC=S△BDC，S△AFD=S△BFD=72，S△CEF=S△BEF，
∴S△CEF=S△AFD=S△BFD=72=S△BEF，
∴S△ABE=3S△AFD=212，
∴S△ABC=21，
故答案为：21．
由题意可得S△ABE=S△ACE=12S△ABC=S△ADC=S△BDC，S△AFD=S△BFD=72，S△CEF=S△BEF，可求S△ABE=3S△AFD=212，即可求解．
本题考查了三角形的重心，三角形的面积，利用三角形的面积关系解决问题是解题的关键．
16.【答案】解：原式=a2−1−a2+a
=a−1，
当a=20=1时，原式=1−1=0．
【解析】原式利用平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算，合并得到最简结果，把a的值化简后代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17.【答案】1354
【解析】解：(1)∵一副扑克牌共有54张，黑桃、红桃、梅花、方块各有13张，还有两张王牌．
∴任意抽取1张，抽到方块的概率是1354，
故答案为：1354；
(2)∵一副扑克牌共有54张，黑桃、红桃、梅花、方块各有13张，还有两张王牌，
∴摸到大王的概率为154，摸到4的概率为454=227，
∵154<227，
∴摸到大王的机会比摸到4的机会小．
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)由概率公式求出摸到大王的概率和摸到4的概率，再比较即可．
本题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．
18.【答案】40°或140°
【解析】解：(1)∠B=∠E，理由如下：
∵AB//DE，BC//EF，
∴∠B=∠BGE，∠E=∠BGE，
∴∠B=∠E；
(2)如图1，
∵AB//DE，BC//EF，
∴∠B=∠BGE，∠E=∠BGE，
∴∠B=∠E；
如图2，
∵AB//DE，BC//EF，
∴∠B=∠BGE，∠E+∠BGE=180°，
∴∠B+∠E=180°；
综上所述：当一个角的两边与另一个角的两边分别平行时，这两角相等或互补，
∴当一个角的度数是40°，那么另一个角的度数是40°或140°．
故答案为：40°或140°．
(1)利用平行线的性质可得∠B=∠DGC，∠E=∠DGC，从而可判定∠B=∠E；
(2)利用平行线的性质可得∠B=∠BGE，∠E=∠BGE，从而可判定∠B=∠E；利用平行线的性质可得∠B=∠BGE，∠E+∠BGE=180°，从而可判定∠B+∠E=180°；代数即可得答案．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
19.【答案】三角形的稳定性 垂线段最短
【解析】解：(1)一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性，
故答案为：三角形的稳定性；
(2)把小河里的水引到田地A处，若使水沟最短，则过点A向河岸l作垂线，垂足为点B，沿AB挖水沟即可，理由是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短；
(3)这样做合适，
理由：∵AB//CD，
∴∠A=∠D，∠B=∠C，
在△AEB与△DEC中，
∠A=∠DAB=CD∠B=∠C，
∴△AEB≌△DEC(ASA)，
∴AE=DE．
(1)由三角形的稳定性即可得出答案；
(2)由垂线的性质：垂线段最短，即可得到答案；
(3)首先证明△AEB≌△DEC，根据全等三角形的性质可得AE=DE．
此题主要考查了垂线段的性质，三角形的稳定性，以及全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形，对应边相等．
20.【答案】50 20 Q=50−6t
【解析】解：(1)∵当t=0时，Q=50，
∴汽车出发时油箱共有油50L．
∵表格中数据显示，汽车行驶时间每增加1h，油箱剩余油量就会减少6L．
∴当t=5时，Q=26−6=20．
故答案为：50，20．
(2)根据表格中数据，汽车行驶时间每增加1h，油箱剩余油量就会减少6L，
∴Q=50−6t．
∴油箱剩余油量Q与汽车行驶时间t之间的关系式是Q=50−6t．
故答案为：Q=50−6t．
(3)当Q=2时，有2=50−6t，解得t=8．
∴行驶8小时汽车将会自动提示加油．
(1)当t=0时，Q的值即汽车出发时油箱的油量；根据表格中数据的变化规律：汽车行驶时间每增加1h，油箱剩余油量就会减少6L.所以，当汽车行驶5h时，油箱的剩余油量比4h时减少6L；
(2)根据表格中数据，汽车行驶时间每增加1h，油箱剩余油量就会减少6L，由此得到油箱剩余油量Q与汽车行驶时间t之间的关系式；
(3)由第(2)中Q与t的关系式，求出当Q=2时t的值即可．
本题考查函数关系式，比较简单，根据数据变化规律直接可以得到两个变量之间的函数关系．
21.【答案】解：(1)如图所示；
(2)设∠A=α，
∵AE=BE，
∴∠A=∠ABE=α，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=α，
∴∠ABC=2α，
∵AB=AC，
∴∠ABC=C=2α，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴α+2α+2α=180°，
∴α=36°，
∴∠A=36°．
【解析】(1)根据作一个角的平分线的作法即可得到结论；
(2)设∠A=α，根据等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理即可得到结论．
本题考查了作图−基本作图，角平分线的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
22.【答案】(a−b)2=(a+b)2−4ab 28 20
【解析】解：(1)图1的阴影部分面积=(a+b)2−4ab，图1的阴影部分面积=(a−b)2，
∴(a−b)2=(a+b)2−4ab，
故答案为：(a−b)2=(a+b)2−4ab；
(2)∵x+y=6，xy=4，
∴(x+y)2=36=x2+y2+2xy，
∴x2+y2=36−2xy=36−8=28，
∵(x−y)2=(x+y)2−4xy，
∴(x−y)2=36−16=20，
故答案为：28，20；
(3)∵长方形的周长为12，面积为8.5，
∴m+n=6，m⋅n=8.5，
∵S1+S2+S3=(5−m)2+(n+m−5)2+(5−n)2=25+m2−10m+1+25+n2−10n=m2+n2−10(m+n)+51=(m+n)2−2mn+60−51=36−17+9=28，
∴S1+S2+S3=28．
(1)由图1的阴影部分的面积的两种不同表示，可求解；
(2)由完全平方公式可求解；
(3)由面积和差关系和完全平方公式可求解．
本题考查了完全平方公式的应用，掌握公式变形是解题的关键．
23.【答案】2 DE=BD+CE
【解析】解：(1)∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵DE//BC，
∴∠DAB=∠ABC=45，∠EAC=∠ACB=45°，
又∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴AD=BD=1，AE=CE，
∵∠BDA=∠CEA=90°，∠BAD=∠CAE=45°，AB=AC，
∴△ABD≌△ACE(AAS)，
∴BD=CE=AE=1，
∴DE=2，
故答案为：2；
(2)在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
∠ABD=∠CAE∠BDA=∠AECAB=AC，
∴△ABD≌△CAE(AAS)；
∴CE=AD，BD=AE，
∴DE=AE+AD=BD+CE．
(3)DE=BD−CE.理由如下：
在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
∠ABD=∠CAE∠BDA=∠AECAB=AC，
∴△ABD≌△CAE(AAS)；
∴CE=AD，BD=AE，
∴DE=AE−AD=BD−CE；
(3)如图2，∵BD=a，CE=b，
∴DE=a+b，
∴四边形BDEC=12(a+b)(a+b)=12(a+b)2，
如图3，∵BD=a，CE=b，
∴DE=a−b，
∴四边形BDCE=12(a−b)(a+b)=12(a2−b2)，
∴以点B、D、C、E为顶点的四边形的面积为12(a+b)2或12(a2−b2).
(1)由“AAS”可证△ABD≌△ACE，可得BD=CE=1，即可求解；
(2)由AAS即可得出△ABD≌△CAE，可得AD=CE，BD=AE，进而解答即可；
(3)由AAS即可得出△ABD≌△CAE，可得AD=CE，BD=AE，进而解答即可；
(4)分两种情况讨论，由梯形的面积公式可求解．
本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，梯形的面积公式，证明三角形全等是解题的关键．
2022-2023学年广东省佛山市禅城区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在“双碳”目标背景下，中国未来发展离不开新能源产业发展.下列能源产业图标中，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 根据测试，首款5G手机传输1M的文件只需0.0025秒，数据0.0025用科学记数法表示为( )
A. 0.25×10−2 B. 2.5×10−3 C. 2.5×10−4 D. 25×10−4
3. 如图，直线a，b被直线c所截，下列说法正确的是( )
A. ∠1与∠2是内错角
B. ∠3与∠4是对顶角
C. ∠2与∠3是同旁内角
D. ∠1与∠4是同位角
4. 下列长度(单位：cm)的三条线段能构成三角形的是( )
A. 2，5，8 B. 3，4，5 C. 4，6，10 D. 5，7，13
5. 下列运算正确的是( )
A. a2⋅a3=a5 B. (3a)2=6a2 C. a3+a3=a6 D. a6÷a3=a2
6. 以下事件属于必然事件的是( )
A. 同一年出生的370人中至少有两人的生日相同
B. 早上的太阳从西方升起
C. 两边及一角分别相等的两个三角形全等
D. 任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数
7. 五线谱是一种记谱法，通过五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律.如图，AB和CD是五线谱上的两条线段，点E在AB，CD之间的一条平行线上，若∠1=120°，∠2=30°，则∠BEC的度数是( )
A. 90° B. 100° C. 120° D. 110°
8. 如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是( )
A. B.
C. D.
9. 若长方形的面积是6a3+9a2−3ab，其中一边长是3a，则它的邻边长是( )
A. 2a3+3a2−b B. 2a2+3a+b C. 3a2+2a+b D. 2a2+3a−b
10. 人的大脑所能记忆的内容是有限的，随着时间的推移，记忆的东西会逐渐被遗忘，德国心理学家艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus,1850−1909)第一个发现了记忆遗忘规律.他根据自己得到的测试数据描绘了一条曲线(如图所示)，这就是非常有名的艾宾浩斯遗忘曲线，其中竖轴表示学习中的记忆保持量，横轴表示时间.分析图象得到下列结论，其中正确的是( )
A. 记忆后0～2小时比2～4小时的遗忘速度慢
B. 记忆保持量下降到50%所用时间为4小时
C. 点A表示记忆15小时后记忆保持量约为36%
D. 记忆16小时后，记忆保持量始终保持不变
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. (12)−1=______．
12. 一个角等于30°，它的补角等于______ °.
13. 如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，AB=DE，∠B=∠E，请添加一个条件，使得△ABC≌△DEF.添加的条件可以是______ (只需写一个，不添加辅助线)；
14. 某农科所在相同条件下进行某作物种子发芽试验，结果(部分数据)如表所示：
种子个数n
100
200
400
600
800
1000
发芽种子个数m
94
179
361
541
721
893
发芽种子的频率mn(精确到0.001)
0.940
0.895
0.903
0.902
0.901
0.893
则任取一粒种子，在相同条件下，估计它能发芽的概率约为______ (精确到0.01)；
15. 如图，△ABC中，点D、E分别是AB、BC的中点，连接AE、CD交于点F，当△AFD的面积为72时，△ABC的面积为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
求代数式(a+1)(a−1)−a(a−1)的值，其中a=20．
17. (本小题8.0分)
一副扑克牌共有54张，黑桃、红桃、梅花、方块各有13张，还有两张王牌．
(1)洗匀后背面朝上放在桌面上，任意抽取1张，抽到方块的概率是______ ；
(2)请你解释一下，打牌的时候，你摸到大王的机会比摸到4的机会小．
18. (本小题8.0分)
问题：“平面内，当一个角的两边与另一个角的两边分别平行时，这两个角有怎样的数量关系？”
(1)小明阅读问题后，画出了一个如图所示的图形(已知AB//ED，BC//EF)，在这个图形中，∠B与∠E之间的数量关系是什么？试说明理由．
(2)当一个角的两边与另一个角的两边分别平行时，若其中一个角的度数是40°，那么另一个角的度数是______ ．
19. (本小题9.0分)
生活中的数学：
(1)如图1，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何知识是______ ；
(2)如图2，把小河里的水引到田地A处，若要使水沟最短，则过点A向河岸l作垂线，垂足为点B，沿AB挖水沟即可，这里所运用的几何知识是______ ；
(3)如图3，要测量池塘沿岸上两点A、E之间的距离，可以在池塘周围取两条互相平行的线段AB和CD，且AB=CD，点E是线段BC的中点，要想知道A、E之间的距离，只需要测出线段DE的长度，这样做合适吗？请说明理由．
20. (本小题9.0分)
实验人员为了解某型号汽车耗油量，在公路上做了试验，并将试验数据记录下来，制成表：
汽车行驶时间t(h)
0
1
2
3
4
…
油箱剩余油量Q(L)50
50
44
38
32
26
…
(1)根据上表数据，汽车出发时油箱共有油______ L，当汽车行驶5h，油箱的剩余油量是______ L；
(2)油箱剩余油量Q与汽车行驶时间t之间的关系式是______ ；
(3)当剩余油量为2L时，汽车将自动提示加油，请问行驶几小时汽车将会自动提示加油？
21. (本小题9.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC．
(1)求作：∠ABC的角平分线交AC于点E.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)(2)在(1)的条件下，若AE=BE，求∠A的度数．
22. (本小题12.0分)
将完全平方公式作适当变形，可以用来解决很多数学问题．
(1)观察图1，写出代数式(a+b)2，(a−b)2，ab之间的等量关系：______ ；
(2)若x+y=6，xy=4，则x2+y2= ______ ；(x−y)2= ______ ；
(3)如图2，边长为5的正方形ABCD中放置两个长和宽分别为m，n(m<5,n<5)的长方形，若长方形的周长为12，面积为8.5，求图中阴影部分的面积S1+S2+S3的值．
23. (本小题12.0分)
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E．
【特例体验】(1)如图1，若直线l//BC，BD=1，则线段DE的长为______ ；
【探究应用】
(2)如图2，若直线l从图1状态开始绕点A顺时针旋转α(0°<α<45°)时，线段BD、CE和DE的数量关系是______ ；
(3)如图3，若直线l从图1状态开始绕点A顺时针旋转α(45°<α<90°)时与线段BC相交，探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；
(4)若BD=a，CE=b(a,b均为正数)，请你直接写出以点B、D、C、E为顶点的四边形的面积．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A，B，C选项中的图标都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
D选项中的图标不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：D．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】B
【解析】解：0.0025=2.5×10−3．
故选：B．
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂．
本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】C
【解析】解：A.∠1与∠2是直线a、直线b被直线c所截的同位角，因此选项A不符合题意；
B.∠3与∠4是邻补角，因此选项B不符合题意；
C.∠2与∠3是直线a、直线b被直线c所截的同旁内角，因此选项C符合题意；
D.∠1与∠4是对顶角，因此选项D不符合题意；
故选：C．
根据同位角、内错角、同旁内角以及对顶角、邻补角的定义进行判断即可．
本题考查同位角、内错角、同旁内角、对顶角、邻补角，掌握同位角、内错角、同旁内角以及对顶角、邻补角的定义是正确判断的前提．
4.【答案】B
【解析】解：A、2+5<8，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
B、3+4>5，能组成三角形，故本选项符合题意；
C、4+6=10，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
D、5+7<13，不能组成三角形，故本选项不符合题意意．
故选：B．
根据三角形的三边关系就可以求解．
本题考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
5.【答案】A
【解析】解：A.a2⋅a3=a5，故A符合题意；
B.(3a)2=9a2，故B不符合题意；
C.a3+a3=2a3，故C不符合题意；
D.a6÷a3=a3，故D不符合题意；
故选：A．
根据同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项法则逐项进行计算即可．
本题主要考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项，掌握同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项的法则是解答的关键．
6.【答案】A
【解析】解：A、同一年出生的370人中至少有两人的生日相同，是必然事件，符合题意；
B、早上的太阳从西方升起，是不可能事件，不符合题意；
C、两边及一角分别相等的两个三角形全等，是随机事件，不符合题意；
D、任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数，是随机事件，不符合题意．
故选：A．
根据事件发生的可能性大小判断．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
7.【答案】A
【解析】解：根据题意得AB//EF//CD，如图，
∵AB//EF，
∴∠1+∠BEF=180°，
∵∠1=120°，
∴∠BEF=60°，
∵EF//CD，
∴∠FEC=∠2=30°，
∴∠BEC=∠BEF+∠FEC=60°+30°=90°，
故选：A．
根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BEF的度数，再根据两直线平行，内错角相等求出∠FEC的度数，即可求出∠BEC的度数．
本题考查了平行线的性质，熟知平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
8.【答案】B
【解析】解：作点M关于直线l的对称点M′，连接M′N交直线m于点Q，则MP+NP=M′N，此时管道长度最短．
故选：B．
根据轴对称的性质及两点之间线段最短即可得出结论．
本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：由题意得：(6a3+9a2−3ab)÷3a
=6a3÷3a+9a2÷3a−3ab÷3a
=2a2+3a−b．
故选：D．
利用整式的除法的法则进行运算即可．
本题主要考查整式的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
10.【答案】C
【解析】解：由图形可知，
A.记忆后0～2小时比2～4小时的遗忘速度快，原说法错误，故本选项不符合题意；
B.记忆保持量下降到50%所用时间为2小时，原说法错误，故本选项不符合题意；
C.点A表示记忆15小时后记忆保持量约为36%，说法正确，故本选项符合题意；
D.记忆16小时后，记忆保持量遗忘速度逐渐变慢，原说法错误，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据函数图象的横轴表示时间，纵轴表示记忆保持量，可得答案．
本题考查了函数图象，观察函数图象获得有效信息是解题关键．
11.【答案】2
【解析】解：原式=1121=2，
故答案为：2．
根据负整指数幂的意义，可得答案．
本题考查了负整指数幂，负整数指数为正整数指数的倒数．
12.【答案】150
【解析】解：根据题意得180°−30°=150°，
故答案为：150．
根据两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，列式计算．
本题主要考查了补角，熟练掌握补角定义的应用是解题关键．
13.【答案】BF=CE(答案不唯一)
【解析】解：添加BF=CE，
∵BF=CE，
∴BF+FC=CE+FC，
即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
AB=DE∠B=∠ECB=EF，
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
故答案为：BF=CE(答案不唯一)．
根据等式的性质可得BC=EF，添加AB=ED可利用SAS判定△ABC≌△DEF．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
14.【答案】0.90
【解析】解：观察表格发现随着实验次数的增多频率逐渐稳定在0.90附近，
故估计它能发芽的概率约为0.90．
故答案为：0.90．
大量重复试验下“发芽种子”的频率可以估计“发芽种子”的概率，据此求解．
本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率．
15.【答案】21
【解析】解：连接BF，
∵D、E分别是AB、BC的中点，
∴S△ABE=S△ACE=12S△ABC=S△ADC=S△BDC，S△AFD=S△BFD=72，S△CEF=S△BEF，
∴S△CEF=S△AFD=S△BFD=72=S△BEF，
∴S△ABE=3S△AFD=212，
∴S△ABC=21，
故答案为：21．
由题意可得S△ABE=S△ACE=12S△ABC=S△ADC=S△BDC，S△AFD=S△BFD=72，S△CEF=S△BEF，可求S△ABE=3S△AFD=212，即可求解．
本题考查了三角形的重心，三角形的面积，利用三角形的面积关系解决问题是解题的关键．
16.【答案】解：原式=a2−1−a2+a
=a−1，
当a=20=1时，原式=1−1=0．
【解析】原式利用平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算，合并得到最简结果，把a的值化简后代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17.【答案】1354
【解析】解：(1)∵一副扑克牌共有54张，黑桃、红桃、梅花、方块各有13张，还有两张王牌．
∴任意抽取1张，抽到方块的概率是1354，
故答案为：1354；
(2)∵一副扑克牌共有54张，黑桃、红桃、梅花、方块各有13张，还有两张王牌，
∴摸到大王的概率为154，摸到4的概率为454=227，
∵154<227，
∴摸到大王的机会比摸到4的机会小．
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)由概率公式求出摸到大王的概率和摸到4的概率，再比较即可．
本题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．
18.【答案】40°或140°
【解析】解：(1)∠B=∠E，理由如下：
∵AB//DE，BC//EF，
∴∠B=∠BGE，∠E=∠BGE，
∴∠B=∠E；
(2)如图1，
∵AB//DE，BC//EF，
∴∠B=∠BGE，∠E=∠BGE，
∴∠B=∠E；
如图2，
∵AB//DE，BC//EF，
∴∠B=∠BGE，∠E+∠BGE=180°，
∴∠B+∠E=180°；
综上所述：当一个角的两边与另一个角的两边分别平行时，这两角相等或互补，
∴当一个角的度数是40°，那么另一个角的度数是40°或140°．
故答案为：40°或140°．
(1)利用平行线的性质可得∠B=∠DGC，∠E=∠DGC，从而可判定∠B=∠E；
(2)利用平行线的性质可得∠B=∠BGE，∠E=∠BGE，从而可判定∠B=∠E；利用平行线的性质可得∠B=∠BGE，∠E+∠BGE=180°，从而可判定∠B+∠E=180°；代数即可得答案．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
19.【答案】三角形的稳定性 垂线段最短
【解析】解：(1)一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性，
故答案为：三角形的稳定性；
(2)把小河里的水引到田地A处，若使水沟最短，则过点A向河岸l作垂线，垂足为点B，沿AB挖水沟即可，理由是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短；
(3)这样做合适，
理由：∵AB//CD，
∴∠A=∠D，∠B=∠C，
在△AEB与△DEC中，
∠A=∠DAB=CD∠B=∠C，
∴△AEB≌△DEC(ASA)，
∴AE=DE．
(1)由三角形的稳定性即可得出答案；
(2)由垂线的性质：垂线段最短，即可得到答案；
(3)首先证明△AEB≌△DEC，根据全等三角形的性质可得AE=DE．
此题主要考查了垂线段的性质，三角形的稳定性，以及全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形，对应边相等．
20.【答案】50 20 Q=50−6t
【解析】解：(1)∵当t=0时，Q=50，
∴汽车出发时油箱共有油50L．
∵表格中数据显示，汽车行驶时间每增加1h，油箱剩余油量就会减少6L．
∴当t=5时，Q=26−6=20．
故答案为：50，20．
(2)根据表格中数据，汽车行驶时间每增加1h，油箱剩余油量就会减少6L，
∴Q=50−6t．
∴油箱剩余油量Q与汽车行驶时间t之间的关系式是Q=50−6t．
故答案为：Q=50−6t．
(3)当Q=2时，有2=50−6t，解得t=8．
∴行驶8小时汽车将会自动提示加油．
(1)当t=0时，Q的值即汽车出发时油箱的油量；根据表格中数据的变化规律：汽车行驶时间每增加1h，油箱剩余油量就会减少6L.所以，当汽车行驶5h时，油箱的剩余油量比4h时减少6L；
(2)根据表格中数据，汽车行驶时间每增加1h，油箱剩余油量就会减少6L，由此得到油箱剩余油量Q与汽车行驶时间t之间的关系式；
(3)由第(2)中Q与t的关系式，求出当Q=2时t的值即可．
本题考查函数关系式，比较简单，根据数据变化规律直接可以得到两个变量之间的函数关系．
21.【答案】解：(1)如图所示；
(2)设∠A=α，
∵AE=BE，
∴∠A=∠ABE=α，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=α，
∴∠ABC=2α，
∵AB=AC，
∴∠ABC=C=2α，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴α+2α+2α=180°，
∴α=36°，
∴∠A=36°．
【解析】(1)根据作一个角的平分线的作法即可得到结论；
(2)设∠A=α，根据等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理即可得到结论．
本题考查了作图−基本作图，角平分线的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
22.【答案】(a−b)2=(a+b)2−4ab 28 20
【解析】解：(1)图1的阴影部分面积=(a+b)2−4ab，图1的阴影部分面积=(a−b)2，
∴(a−b)2=(a+b)2−4ab，
故答案为：(a−b)2=(a+b)2−4ab；
(2)∵x+y=6，xy=4，
∴(x+y)2=36=x2+y2+2xy，
∴x2+y2=36−2xy=36−8=28，
∵(x−y)2=(x+y)2−4xy，
∴(x−y)2=36−16=20，
故答案为：28，20；
(3)∵长方形的周长为12，面积为8.5，
∴m+n=6，m⋅n=8.5，
∵S1+S2+S3=(5−m)2+(n+m−5)2+(5−n)2=25+m2−10m+1+25+n2−10n=m2+n2−10(m+n)+51=(m+n)2−2mn+60−51=36−17+9=28，
∴S1+S2+S3=28．
(1)由图1的阴影部分的面积的两种不同表示，可求解；
(2)由完全平方公式可求解；
(3)由面积和差关系和完全平方公式可求解．
本题考查了完全平方公式的应用，掌握公式变形是解题的关键．
23.【答案】2 DE=BD+CE
【解析】解：(1)∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵DE//BC，
∴∠DAB=∠ABC=45，∠EAC=∠ACB=45°，
又∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴AD=BD=1，AE=CE，
∵∠BDA=∠CEA=90°，∠BAD=∠CAE=45°，AB=AC，
∴△ABD≌△ACE(AAS)，
∴BD=CE=AE=1，
∴DE=2，
故答案为：2；
(2)在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
∠ABD=∠CAE∠BDA=∠AECAB=AC，
∴△ABD≌△CAE(AAS)；
∴CE=AD，BD=AE，
∴DE=AE+AD=BD+CE．
(3)DE=BD−CE.理由如下：
在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
∠ABD=∠CAE∠BDA=∠AECAB=AC，
∴△ABD≌△CAE(AAS)；
∴CE=AD，BD=AE，
∴DE=AE−AD=BD−CE；
(3)如图2，∵BD=a，CE=b，
∴DE=a+b，
∴四边形BDEC=12(a+b)(a+b)=12(a+b)2，
如图3，∵BD=a，CE=b，
∴DE=a−b，
∴四边形BDCE=12(a−b)(a+b)=12(a2−b2)，
∴以点B、D、C、E为顶点的四边形的面积为12(a+b)2或12(a2−b2).
(1)由“AAS”可证△ABD≌△ACE，可得BD=CE=1，即可求解；
(2)由AAS即可得出△ABD≌△CAE，可得AD=CE，BD=AE，进而解答即可；
(3)由AAS即可得出△ABD≌△CAE，可得AD=CE，BD=AE，进而解答即可；
(4)分两种情况讨论，由梯形的面积公式可求解．
本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，梯形的面积公式，证明三角形全等是解题的关键．
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