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2023年宁夏银川市兴庆区北塔中学中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2023年宁夏银川市兴庆区北塔中学中考数学二模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年宁夏银川市兴庆区北塔中学中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 截止2020年4月24日，世界各国感染新冠状肺炎病毒患者累计确诊达到274万人，将数据274万用科学记数表示为( )
A. 2.74×102 B. 2.74×105 C. 2.74×106 D. 2.74×107
2. 我国古代数学家利用“牟合方盖”(如图甲)找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，图乙所示的几何体是形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是
A. B. C. D.
3. 生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为( )
A. 1.24米
B. 1.38米
C. 1.42米
D. 1.62米
4. 某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是( )
A. 10，15 B. 13，15 C. 13，20 D. 15，15
5. “绿水青山就是金山银山”.某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是( )
A. 60x−60(1+25%)x=30 B. 60(1+25%)x−60x=30
C. 60×(1+25%)x−60x=30 D. 60x−60×(1+25%)x=30
6. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|>|b|，则化简 a2−|a+b|的结果为( )
A. 2a+b B. −2a+b C. b D. 2a−b
7. 如图，AB、CD分别是⊙O的直径，连接BC、BD，如果弦DE//AB，且∠CDE=62°，则下列结论错误的是( )
A. CB⊥BD
B. ∠CBA=31°
C. AC=AE
D. BD=DE
8. 一次函数y=ax+b和反比例函数y=cx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 若xy=25，则x+yy= ______ ．
10. 4sin60°+20220− 12+(14)−1= ______ ．
11. 一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干题红色幸运星和15颗黄色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右，则摸到红色幸运星颗数约为______ 颗.
12. 已知二次函数y=kx2+2x−1与x轴有交点，则k的取值范围为______ ．
13. 如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为(−3,4)，顶点C在x轴的负半轴上，函数y=kx(x<0)的图象经过顶点B，则k的值为______．
14. 如图所示，若用半径为8，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，则这个圆锥的底面半径是______．
15. 如图，将边长为 3的正方形绕点B逆时针旋转30°，那么图中阴影部分的面积为______ ．
16. 如图所示的是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平线AE垂直，AB=154cm，∠A=30°，另一根辅助支架DE=78cm，∠E=60°.则水箱半径OD的长度为______ cm(结果保留一位小数.参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732).
三、解答题（本大题共10小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
△ABC在边长为1的正方形网格中如图所示．
(1)以点C为位似中心，在△ABC的一侧作出位似图形△A1B1C使它与△ABC的位似比为1：2．
(2)作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C.
18. (本小题6.0分)
解不等式(组)3x>4x−15x−12>x−2，并把它的解集在数轴上表示出来．
19. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(1+2a+1)÷a2+6a+9a+1，其中a= 3−3．
20. (本小题6.0分)
九年级某班为表彰优秀毕业生，班主任决定购买文具盒与钢笔作为奖品.已知购买3个文具盒、2支钢笔共需110元；5个文具盒、3支钢笔共需175元．
(1)每个文具盒、每支钢笔各多少元？
(2)在本次表彰活动，班主任决定购买文具盒和钢笔共10件作为奖品，若至少需要购买3个文具盒，本次活动老师最多需要花多少钱？
21. (本小题6.0分)
如图，AE//BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C．
(1)作∠ABF的平分线交AE于点D(尺规作图，保留痕迹，不写作法)；
(2)根据(1)中作图，连接CD，求证：四边形ABCD是菱形．
22. (本小题6.0分)
“2022卡塔尔世界杯”已正式拉开战幕，足球运动备受人们的关注，某中学对部分学生就足球运动的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅统计图．根据图中信息回答下列问题：
(1)接受问卷调查的学生共有______人，条形统计图中m的值为______；
(2)若该中学共有学生1500人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对足球知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为______人；
(3)若从足球运动达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人解说一场足球赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
23. (本小题8.0分)
如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C．
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)连接OP，若OP//BC，且OP=8，BC=2，求⊙O的面积．
24. (本小题8.0分)
篮球是学生非常喜爱的运动项目之一.篮圈中心距离地面的竖直高度是3.05m，小石站在距篮圈中心水平距离6.5m处的点A练习定点投篮，篮球从小石正上方出手到接触篮球架的过程中，其运行路线可以看作是抛物线的一部分.当篮球运行的水平距离是x(单位：m)时，球心距离地面的竖直高度是y(单位：m).在小石多次的定点投篮练习中，记录了如下两次训练：
(1)第一次训练时，篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m
0
1
2
3
4
5
6
竖直高度y/m
2.0
2.7
3.2
3.5
3.6
3.5
3.2
①结合表中数据，求y与x满足的函数解析式；
②小石第一次投篮练习能否投进，请说明理由；
(2)第二次训练时，小石通过调整出手高度的方式将球投进.篮球出手后运行路线的形状与第一次相同，篮球进框，则小石的出手高度是多少米？
25. (本小题8.0分)
性质探究
如图(1)，在等腰三角形ABC中，∠ACB=120°，则底边AB与腰AC的长度之比为______．
理解运用
(1)若顶角为120°的等腰三角形的周长为4+2 3，则它的面积为______；
(2)如图(2)，在四边形EFGH中，EF=EG=EH，在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN.若∠FGH=120°，EF=20，求线段MN的长．
类比拓展
顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为______.(用含α的式子表示)
26. (本小题8.0分)
如图：一次函数y=−34x+3的图象与坐标轴交于A、B两点，点P是函数y=−34x+6(0
(2)当△AOB与△OPM相似时，试确定点P的坐标；
(3)当AP为何值时，△OPM的面积最大？并求出最大值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：将数据274万用科学记数表示为2.74×106．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
此题主要考查了几何体的三视图；掌握主视图是从几何体正面看得到的平面图形是解决本题的关键．
根据主视图的定义，得出圆柱以及立方体的摆放即可得出主视图为3个正方形组合体，进而得出答案即可．
【解答】
解：利用圆柱直径等于立方体边长，得出此时摆放，圆柱主视图是正方形，
得出圆柱以及立方体的摆放的主视图为两列，左边一个正方形，右边两个正方形，
故选B．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．
根据雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，因为图中b为2米，即可求出a的值．
【解答】
解：∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，
∴ab≈0.618，
∵b为2米，
∴a≈0.618×2≈1.24米．
故选：A．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
此题考查了中位数和众数，将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．
根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
【解答】
解：把这组数据从小到大排列：10、13、15、15、20，
最中间的数是15，
则这组数据的中位数是15；
15出现了2次，出现的次数最多，则众数是15．
故选D．
5.【答案】C
【解析】解：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原来每天绿化的面积为x1+25%万平方米，
依题意得：60x1+25%−60x=30，即60×(1+25%)x−60x=30．
故选C．
设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合提前30天完成任务，即可得出关于x的分式方程．
考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
现根据数轴可知a<0，b>0，而|a|>|b|，那么可知a+b<0，再结合平方根的性质、绝对值的计算进行化简计算即可．
本题考查了平方根的化简、实数与数轴，解题的关键是注意开方结果是非负数、以及绝对值结果的非负性．
【解答】
解：根据数轴可知，a<0，b>0，
原式=−a−[−(a+b)]=−a+a+b=b．
故选：C．
7.【答案】D
【解析】解：如图，连接CE，
∵CD分别是⊙O的直径，
∴∠CBD=90°=∠CED，
∴CB⊥BD，
故A正确，不符合题意；
∵DE//AB，∠CDE=62°，
∴∠BOD=∠CDE=62°，
∴∠BCD=12∠BOD=31°，
∵OC=OB，
∴∠CBA=∠BCD=31°，
故B正确，不符合题意；
∵DE//AB
∴AE=BD，
∵∠AOC=∠BOD，
∴AC=BD，
∴AC=AE，
故C正确，不符合题意；
∵∠CED=90°，
∴∠ECD+∠CDE=90°，
∵∠CDE=62°，
∴∠ECD=28°，
∴∠ECD≠∠BCD，
∴BD≠DE，
故D不正确，符合题意；
故选：D．
根据圆周角定理、平行线的性质求解判断即可得解．
此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵一次函数y=ax+b经过第一、二、四象限，
∴a<0，b>0，
∵反比例函数y=cx的图象在第一、三象限，
∴c>0，
∵a<0，
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，
∵b>0，
∴二次函数y=ax2+bx+c的对称轴x=−b2a>0，
∵c>0，
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴的正半轴相交，
故选：C．
根据一次函数的图象的性质先确定出a、b的取值范围，然后根据反比例函数的性质确定出c的取值范围，最后根据二次函数的性质即可做出判断．
本题主要考查的是二次函数、一次函数和反比例函数的图象，掌握其相关图象特点是解题的关键．
9.【答案】75
【解析】解：∵xy=25，
∴x+yy=2+55=75；
故答案为：75．
根据比例的性质即可得到结论．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
10.【答案】5
【解析】解：4sin60°+20220− 12+(14)−1
=4× 32+1−2 3+4
=2 3+1−2 3+4
=5，
故答案为：5．
先计算特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，再根据实数的混合计算法则求解即可．
本题主要考查了实数的混合计算，特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，正确计算是解题的关键．
11.【答案】35
【解析】解：设袋中红色幸运星有x颗，
根据题意，得：x20+x+15=0.5，
解得：x=35，
经检验：x=35是原分式方程的解，
故答案为：35．
设袋中红色幸运星有x颗，根据“摸取到红色幸运星的概率稳定在0.5左右”列出关于x的方程，解之可得袋中红色幸运星的个数．
本题主要考查了已知概率求相关数量，正确列出方程是解题的关键．
12.【答案】k≥−1且k≠0
【解析】解：由二次函数y=kx2+2x−1与x轴有交点，得
kx2+2x−1=0有实数根，
△=b2−4ac=4+4k≥0，
解得k≥−1，
故答案为：k≥−1且k≠0．
根据抛物线与x轴有交点，可得相应方程有实数根，根据根的判别式，可得答案．
本题考查了抛物线与x轴的交点，利用根的判别式得出不等式是解题关键．
13.【答案】−32
【解析】解：∵A(−3,4)，
∴OC= 32+42=5，
∴CB=OC=5，
则点B的横坐标为−3−5=−8，
故B的坐标为：(−8,4)，
将点B的坐标代入y=kx得，4=k−8，
解得：k=−32．
故答案是：−32．
根据点C的坐标以及菱形的性质求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出k的值即可．
本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是根据菱形的性质求出点B的坐标．
14.【答案】83
【解析】解：设圆锥的底面半径为r，
由题意得，120π×8180=2πr，
解得，r=83，
故答案为：83．
根据半径为8，圆心角为120°的扇形弧长，等于圆锥的底面周长，列方程求解即可．
本题考查弧长的计算方法，明确扇形的弧长与圆锥底面周长的关系是正确解答的关键．
15.【答案】3− 3
【解析】解：设AD，C′D′交于E，连接BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°，
由旋转的性质可得∠CBC′=30°，BC′=BC，∠C′=∠C=90°，
∴∠A=∠C′=90°，AB=C′B，
又∵BE=BE，
∴Rt△ABE≌Rt△C′BE(HL)，
∴∠ABE=∠C′BE=12∠ABC′=12(90°−∠CBC′)=30°，S△C′BE=S△ABE，
在Rt△ABE中，AE=AB⋅tan∠ABE=1，
∴S阴影=S正方形ABCD−S四边形ABC′E
= 3× 3−2×12×1× 3
=3− 3，
故答案为：3− 3．
设AD，C′D′交于E，连接BE，证明Rt△ABE≌Rt△C′BE得到∠ABE=30°，S△C′BE=S△ABE，解Rt△ABE得到AE=1，再根据S阴影=S正方形ABCD−S四边形ABC′E进行求解即可．
本题主要考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，解直角三角形等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
16.【答案】18.9
【解析】解：∵CD⊥AE，
∴△DCE、△ACO是直角三角形，
在Rt△CDE中，DE=78cm，∠E=60°，
∴CD=DE⋅sin60°=78× 32=39 3cm，
设OD=x cm，则OB=x cm，
∴AO=AB+BO=(154+x)cm，OC=CD+DO=(39 3+x)cm，
在Rt△ACO中，∠A=30°，
∴COAO=39 3+x154+x=12，
解得：x=154−78 3≈18.9cm，
即OD的长为18.9cm．
故答案为：18.9．
在Rt△CDE中，DE=78cm，∠E=60°，可得CD=DE⋅sin60°=39 3cm，设OD=x cm，则OB=xcm，AO=(154+x)cm，OC=(39 3+x)cm，在Rt△ACO中，∠A=30°，可得COAO=39 3+x154+x=12，解方程即可得到答案．
本题主要考查了解直角三角形及圆的基本性质的应用，熟练掌握解直角三角形的方法以及圆的性质是解题的关键．
17.【答案】解：(1)如图，△A1B1C为所作，A1(3,−3)；
(2)如图，△A2B2C为所作．
【解析】(1)延长CA到A1，使CA1=2CA，延长CB到B1，使CB1=2BC，则可得到△A1B1C；
(2)利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A2、B2，从而得到△A2B2C.
本题考查了作图−位似变换：掌握画位似图形的一般步骤(确定位似中心；分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形)是解决问题的关键．也考查了旋转变换．
18.【答案】解：解不等式3x>4x−1，得x<1，
解不等式5x−12>x−2，得x>−1，
故不等式组的解集是−1
．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示解集，掌握在数轴上表示解集的方法是解题的关键．
19.【答案】解：原式=(a+1a+1+2a+1)÷(a+3)2a+1
=a+3a+1⋅a+1(a+3)2
=1a+3，
当a= 3−3时，原式=1 3−3+3= 33．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】解：(1)设每个文具盒、每支钢笔分别为x元，y元，
由题意得，3x+2y=1105x+3y=175，
解得x=20y=25，
∴每个文具盒、每支钢笔分别为20元，25元；
(2)设购买文具盒m个，需要花费W元，
由题意得，W=20m+25(10−m)=−5m+250，
∵−5<0，
∴W随m增大而减小，
又∵3≤m≤10，
∴当m=3时，W最大，最大为−5×3+250=235，
∴本次活动老师最多需要花235元．
【解析】(1)设每个文具盒、每支钢笔各x元，y元，然后根据购买3个文具盒、2支钢笔共需110元；5个文具盒、3支钢笔共需175元列出方程组求解即可；
(2)设购买文具盒m个，需要花费W元，则购买(10−m)支钢笔，根据题意列出W关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的方程组和函数关系式是解题的关键．
21.【答案】(1)解：如图，射线BD为所求；
(2)证明：∵AE//BF，
∴∠DAC=∠ACB，
∵AC平分∠BAE，
∴∠DAC=∠BAC．
∴∠ACB=∠BAC，
∴AB=BC，
同理可证AB=AD，
∴AD=BC．
又∵AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形．
【解析】(1)利用基本作图作∠ABF的平分线；
(2)利用角平分线和平行线的性质证明∠ACB=∠BAC，则AB=BC，同理可证AB=AD，所以AD=BC，于是可判断四边形ABCD是平行四边形，然后利用AB=BC可判断四边形ABCD是菱形．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图(作已知角的角平分线).也考查了菱形的性质．
22.【答案】解：(1)50，7；
(2)990；
(3)由题意列树状图：
由树状图可知，所有等可能的结果有12种，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为812=23．
【解析】
【分析】
(1)用“基本了解”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数减去其他了解的人数，求出不了解的人数；
(2)用总人数1500乘以达到“非常了解”和“基本了解”程度的人数所占的比例即可；
(3)画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽到1个男生和1个女生的结果数，然后利用概率公式求解．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【解答】
解：(1)接受问卷调查的学生共有29÷58%=50(人)，
不了解的人数有：50−4−29−10=7(人)，
故答案为：50，7；
(2)根据题意得：
1500×4+2950=990(人)，
答：估计出该学校学生中对足球知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为990人；
故答案为：990；
(3)见答案．
23.【答案】(1)证明：连接OB，如图所示：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠C+∠BAC=90°，
∵OA=OB，OB为半径，
∴∠BAC=∠OBA，
∵∠PBA=∠C，
∴∠PBA+∠OBA=90°，
即PB⊥OB，
∵OB为半径，
∴PB是⊙O的切线；
(2)解：∵OP//BC，
∴∠CBO=∠BOP，
∵OC=OB，
∴∠C=∠CBO，
∴∠C=∠BOP，
又∵∠ABC=∠PBO=90°，
∴△ABC∽△PBO，
∴BCOB=ACOP，
即2OB=AC8，
∵AC=2OB，
∴BO=2 2．
⊙O的面积=π×(2 2)2=8π．
【解析】(1)连接OB，由圆周角定理得出∠ABC=90°，得出∠C+∠BAC=90°，再由OA=OB，得出∠BAC=∠OBA，证出∠PBA+∠OBA=90°，即可得出结论；
(2)证明△ABC∽△PBO，得出对应边成比例，即可求出BO的长．
本题考查了切线的判定、圆周角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握圆周角定理、切线的判定是解决问题的关键．
24.【答案】解：(1)①根据表格数据知，点A为坐标原点，水平地面为x轴建立坐标系，
∵当x=3和x=5时，纵坐标都是3.5，
∴抛物线的对称轴为3+52=4，
∴抛物线的顶点为(4,3.6)，
∴设抛物线解析式为y=a(x−4)2+3.6，
把(0,2)代入解析式得：2=a(0−4)2+3.6，
解得a=−0.1，
∴y与x满足的函数解析式为y=−0.1(x−4)2+3.6；
②当x=6.5时，y=−0.1×(6.5−4)2+3.6=−0.625+3.6=2.975<3.05，
∴小石第一次投篮练习没能投进；
(2)根据题意可知，第二次篮球运行的抛物线相当于第一次篮球运行的抛物线向上平移m个单位，
则第二次篮球运行的抛物线解析式为y=−0.1(x−4)2+3.6+m，
∵第二次篮球运行的抛物线经过(6.5,3.05)，
∴3.05=−0.1×(6.5−4)2+3.6+m，
解得m=0.075，
2+m=2.075，
答：小石的出手高度是2.075米．
【解析】(1)①根据表格数据设抛物线解析式为y=a(x−4)2+3.6，然后由待定系数法求出函数解析式；
②当x=6.5时求出y的值与3.05比较即可；
(2)根据题意第二次篮球运行的抛物线相当于第一次篮球运行的抛物线向上平移m个单位，然后把(6.5,3.05)代入解析式求出m即可．
本题考查二次函数的应用；关键是根据表格数据求出抛物线解析式．
25.【答案】 3：1 3 2sinα：1
【解析】解：性质探究：如图1中，过点C作CD⊥AB于D．
∵CA=CB，∠ACB=120°，CD⊥AB，
∴∠A=∠B=30°，AD=BD，
∴AB=2AD=2AC⋅cos30°= 3AC，
∴AB：AC= 3：1．
故答案为 3：1．
理解运用：(1)设CA=CB=m，则AB= 3m，
由题意2m+ 3m=4+2 3，
∴m=2，
∴AC=CB=2，AB=2 3，
∴AD=DB= 3，CD=AC⋅sin30°=1，
∴S△ABC=12⋅AB⋅CD= 3．
故答案为 3．
(2)如图2中，连接FH．
∵∠FGH=120°，EF=EG=EH，
∴∠EFG=∠EGF，∠EHG=∠EGH，
∴∠EFG+∠EHG=∠EGF+∠EGH=∠FGH=120°，
∵∠FEH+∠EFG+∠EHG+∠FGH=360°，
∴∠FEH=360°−120°−120°=120°，
∵EF=EH，
∴△EFH是顶角为120°的等腰三角形，
∴FH= 3EF=20 3，
∵FM=MG.GN=GH，
∴MN=12FH=10 3．
类比拓展：如图1中，过点C作CD⊥AB于D．
∵CA=CB，∠ACB=2α，CD⊥AB，
∴∠A=∠B=90°−α，AD=BD，∠ACD=∠BCD=α
∴AB=2AD=2AC⋅sinα
∴AB：AC=2sinα：1．
故答案为2sinα：1．
性质探究：如图1中，过点C作CD⊥AB于D.解直角三角形求出AB(用AC表示)即可解决问题．
理解运用：①利用性质探究中的结论，设CA=CB=m，则AB= 3m，构建方程求出m即可解决问题．
②如图2中，连接FH.求出FH，利用三角形中位线定理解决问题即可．
类比拓展：利用等腰三角形的性质求出AB与AC的关系即可．
本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题，学会构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型．
26.【答案】解(1)设P(m,−34m+6)，
∵△OPM为等腰直角三角形，
∴OM=PM，
∴m=−34m+6，
解得m=247，
∴P(247,247).
(2)设P(a,−34a+6)，
∵一次函数y=−34x+3的图象与坐标轴交于A、B两点，
∴A(0,6)，B(8,0)，
∴OA=6，OB=8，
当△PMO∽△AOB时，
∴PMOA=OMOB，
∴−34a+66=a8
解得a=4，
∴点P的坐标为(4,3)，
当△PMO∽△BOA时，
∴PMOB=OMOA，
∴−34a+68=a6，
解得a=7225，
∴点P的坐标为(7225,9625)，
综上所述，点P的坐标为(4,3)或(7225,9625)，
(3)设(n,−34n+6)，
∴OM=n，PM=−34n+6，
∴S△OPM=12OM⋅PM
=12n(−34n+6)
=−38(n−4)2+6，
∵−38<0，
∴当n=4时，S△OPM有最大值6，
∴此时点P的坐标为(4,3)，
∴AP= (4−0)2+(3−6)2=5，
∴当AP=5时，△OPM的面积最大，最大值为6．
【解析】(1)设P(m,−34m+6)，由OM=PM可得m=−34m+6，解方程即可．
(2)设P(a,−34a+6)，求出A(0,6)，B(8,0)，则OA=6，OB=8，然后分两种情况利用三角形相似的性质建立方程求解即可．
(3)设P(n,−34n+6)，则OM=n，PM=−34n+6，即可得S△OPM=−38(n−4)2+6，由此利用二次函数的性质求解即可．
本题主要考查一次函数与几何综合，二次函数与几何综合，相似三角形的性质，勾股定理等，灵活运用所学知识解题是关键．
2023年宁夏银川市兴庆区北塔中学中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 截止2020年4月24日，世界各国感染新冠状肺炎病毒患者累计确诊达到274万人，将数据274万用科学记数表示为( )
A. 2.74×102 B. 2.74×105 C. 2.74×106 D. 2.74×107
2. 我国古代数学家利用“牟合方盖”(如图甲)找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，图乙所示的几何体是形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是
A. B. C. D.
3. 生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为( )
A. 1.24米
B. 1.38米
C. 1.42米
D. 1.62米
4. 某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是( )
A. 10，15 B. 13，15 C. 13，20 D. 15，15
5. “绿水青山就是金山银山”.某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是( )
A. 60x−60(1+25%)x=30 B. 60(1+25%)x−60x=30
C. 60×(1+25%)x−60x=30 D. 60x−60×(1+25%)x=30
6. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|>|b|，则化简 a2−|a+b|的结果为( )
A. 2a+b B. −2a+b C. b D. 2a−b
7. 如图，AB、CD分别是⊙O的直径，连接BC、BD，如果弦DE//AB，且∠CDE=62°，则下列结论错误的是( )
A. CB⊥BD
B. ∠CBA=31°
C. AC=AE
D. BD=DE
8. 一次函数y=ax+b和反比例函数y=cx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 若xy=25，则x+yy= ______ ．
10. 4sin60°+20220− 12+(14)−1= ______ ．
11. 一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干题红色幸运星和15颗黄色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右，则摸到红色幸运星颗数约为______ 颗.
12. 已知二次函数y=kx2+2x−1与x轴有交点，则k的取值范围为______ ．
13. 如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为(−3,4)，顶点C在x轴的负半轴上，函数y=kx(x<0)的图象经过顶点B，则k的值为______．
14. 如图所示，若用半径为8，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，则这个圆锥的底面半径是______．
15. 如图，将边长为 3的正方形绕点B逆时针旋转30°，那么图中阴影部分的面积为______ ．
16. 如图所示的是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平线AE垂直，AB=154cm，∠A=30°，另一根辅助支架DE=78cm，∠E=60°.则水箱半径OD的长度为______ cm(结果保留一位小数.参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732).
三、解答题（本大题共10小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
△ABC在边长为1的正方形网格中如图所示．
(1)以点C为位似中心，在△ABC的一侧作出位似图形△A1B1C使它与△ABC的位似比为1：2．
(2)作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C.
18. (本小题6.0分)
解不等式(组)3x>4x−15x−12>x−2，并把它的解集在数轴上表示出来．
19. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(1+2a+1)÷a2+6a+9a+1，其中a= 3−3．
20. (本小题6.0分)
九年级某班为表彰优秀毕业生，班主任决定购买文具盒与钢笔作为奖品.已知购买3个文具盒、2支钢笔共需110元；5个文具盒、3支钢笔共需175元．
(1)每个文具盒、每支钢笔各多少元？
(2)在本次表彰活动，班主任决定购买文具盒和钢笔共10件作为奖品，若至少需要购买3个文具盒，本次活动老师最多需要花多少钱？
21. (本小题6.0分)
如图，AE//BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C．
(1)作∠ABF的平分线交AE于点D(尺规作图，保留痕迹，不写作法)；
(2)根据(1)中作图，连接CD，求证：四边形ABCD是菱形．
22. (本小题6.0分)
“2022卡塔尔世界杯”已正式拉开战幕，足球运动备受人们的关注，某中学对部分学生就足球运动的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅统计图．根据图中信息回答下列问题：
(1)接受问卷调查的学生共有______人，条形统计图中m的值为______；
(2)若该中学共有学生1500人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对足球知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为______人；
(3)若从足球运动达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人解说一场足球赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
23. (本小题8.0分)
如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C．
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)连接OP，若OP//BC，且OP=8，BC=2，求⊙O的面积．
24. (本小题8.0分)
篮球是学生非常喜爱的运动项目之一.篮圈中心距离地面的竖直高度是3.05m，小石站在距篮圈中心水平距离6.5m处的点A练习定点投篮，篮球从小石正上方出手到接触篮球架的过程中，其运行路线可以看作是抛物线的一部分.当篮球运行的水平距离是x(单位：m)时，球心距离地面的竖直高度是y(单位：m).在小石多次的定点投篮练习中，记录了如下两次训练：
(1)第一次训练时，篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m
0
1
2
3
4
5
6
竖直高度y/m
2.0
2.7
3.2
3.5
3.6
3.5
3.2
①结合表中数据，求y与x满足的函数解析式；
②小石第一次投篮练习能否投进，请说明理由；
(2)第二次训练时，小石通过调整出手高度的方式将球投进.篮球出手后运行路线的形状与第一次相同，篮球进框，则小石的出手高度是多少米？
25. (本小题8.0分)
性质探究
如图(1)，在等腰三角形ABC中，∠ACB=120°，则底边AB与腰AC的长度之比为______．
理解运用
(1)若顶角为120°的等腰三角形的周长为4+2 3，则它的面积为______；
(2)如图(2)，在四边形EFGH中，EF=EG=EH，在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN.若∠FGH=120°，EF=20，求线段MN的长．
类比拓展
顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为______.(用含α的式子表示)
26. (本小题8.0分)
如图：一次函数y=−34x+3的图象与坐标轴交于A、B两点，点P是函数y=−34x+6(0
(2)当△AOB与△OPM相似时，试确定点P的坐标；
(3)当AP为何值时，△OPM的面积最大？并求出最大值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：将数据274万用科学记数表示为2.74×106．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
此题主要考查了几何体的三视图；掌握主视图是从几何体正面看得到的平面图形是解决本题的关键．
根据主视图的定义，得出圆柱以及立方体的摆放即可得出主视图为3个正方形组合体，进而得出答案即可．
【解答】
解：利用圆柱直径等于立方体边长，得出此时摆放，圆柱主视图是正方形，
得出圆柱以及立方体的摆放的主视图为两列，左边一个正方形，右边两个正方形，
故选B．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．
根据雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，因为图中b为2米，即可求出a的值．
【解答】
解：∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，
∴ab≈0.618，
∵b为2米，
∴a≈0.618×2≈1.24米．
故选：A．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
此题考查了中位数和众数，将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．
根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
【解答】
解：把这组数据从小到大排列：10、13、15、15、20，
最中间的数是15，
则这组数据的中位数是15；
15出现了2次，出现的次数最多，则众数是15．
故选D．
5.【答案】C
【解析】解：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原来每天绿化的面积为x1+25%万平方米，
依题意得：60x1+25%−60x=30，即60×(1+25%)x−60x=30．
故选C．
设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合提前30天完成任务，即可得出关于x的分式方程．
考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
现根据数轴可知a<0，b>0，而|a|>|b|，那么可知a+b<0，再结合平方根的性质、绝对值的计算进行化简计算即可．
本题考查了平方根的化简、实数与数轴，解题的关键是注意开方结果是非负数、以及绝对值结果的非负性．
【解答】
解：根据数轴可知，a<0，b>0，
原式=−a−[−(a+b)]=−a+a+b=b．
故选：C．
7.【答案】D
【解析】解：如图，连接CE，
∵CD分别是⊙O的直径，
∴∠CBD=90°=∠CED，
∴CB⊥BD，
故A正确，不符合题意；
∵DE//AB，∠CDE=62°，
∴∠BOD=∠CDE=62°，
∴∠BCD=12∠BOD=31°，
∵OC=OB，
∴∠CBA=∠BCD=31°，
故B正确，不符合题意；
∵DE//AB
∴AE=BD，
∵∠AOC=∠BOD，
∴AC=BD，
∴AC=AE，
故C正确，不符合题意；
∵∠CED=90°，
∴∠ECD+∠CDE=90°，
∵∠CDE=62°，
∴∠ECD=28°，
∴∠ECD≠∠BCD，
∴BD≠DE，
故D不正确，符合题意；
故选：D．
根据圆周角定理、平行线的性质求解判断即可得解．
此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵一次函数y=ax+b经过第一、二、四象限，
∴a<0，b>0，
∵反比例函数y=cx的图象在第一、三象限，
∴c>0，
∵a<0，
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，
∵b>0，
∴二次函数y=ax2+bx+c的对称轴x=−b2a>0，
∵c>0，
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴的正半轴相交，
故选：C．
根据一次函数的图象的性质先确定出a、b的取值范围，然后根据反比例函数的性质确定出c的取值范围，最后根据二次函数的性质即可做出判断．
本题主要考查的是二次函数、一次函数和反比例函数的图象，掌握其相关图象特点是解题的关键．
9.【答案】75
【解析】解：∵xy=25，
∴x+yy=2+55=75；
故答案为：75．
根据比例的性质即可得到结论．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
10.【答案】5
【解析】解：4sin60°+20220− 12+(14)−1
=4× 32+1−2 3+4
=2 3+1−2 3+4
=5，
故答案为：5．
先计算特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，再根据实数的混合计算法则求解即可．
本题主要考查了实数的混合计算，特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，正确计算是解题的关键．
11.【答案】35
【解析】解：设袋中红色幸运星有x颗，
根据题意，得：x20+x+15=0.5，
解得：x=35，
经检验：x=35是原分式方程的解，
故答案为：35．
设袋中红色幸运星有x颗，根据“摸取到红色幸运星的概率稳定在0.5左右”列出关于x的方程，解之可得袋中红色幸运星的个数．
本题主要考查了已知概率求相关数量，正确列出方程是解题的关键．
12.【答案】k≥−1且k≠0
【解析】解：由二次函数y=kx2+2x−1与x轴有交点，得
kx2+2x−1=0有实数根，
△=b2−4ac=4+4k≥0，
解得k≥−1，
故答案为：k≥−1且k≠0．
根据抛物线与x轴有交点，可得相应方程有实数根，根据根的判别式，可得答案．
本题考查了抛物线与x轴的交点，利用根的判别式得出不等式是解题关键．
13.【答案】−32
【解析】解：∵A(−3,4)，
∴OC= 32+42=5，
∴CB=OC=5，
则点B的横坐标为−3−5=−8，
故B的坐标为：(−8,4)，
将点B的坐标代入y=kx得，4=k−8，
解得：k=−32．
故答案是：−32．
根据点C的坐标以及菱形的性质求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出k的值即可．
本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是根据菱形的性质求出点B的坐标．
14.【答案】83
【解析】解：设圆锥的底面半径为r，
由题意得，120π×8180=2πr，
解得，r=83，
故答案为：83．
根据半径为8，圆心角为120°的扇形弧长，等于圆锥的底面周长，列方程求解即可．
本题考查弧长的计算方法，明确扇形的弧长与圆锥底面周长的关系是正确解答的关键．
15.【答案】3− 3
【解析】解：设AD，C′D′交于E，连接BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°，
由旋转的性质可得∠CBC′=30°，BC′=BC，∠C′=∠C=90°，
∴∠A=∠C′=90°，AB=C′B，
又∵BE=BE，
∴Rt△ABE≌Rt△C′BE(HL)，
∴∠ABE=∠C′BE=12∠ABC′=12(90°−∠CBC′)=30°，S△C′BE=S△ABE，
在Rt△ABE中，AE=AB⋅tan∠ABE=1，
∴S阴影=S正方形ABCD−S四边形ABC′E
= 3× 3−2×12×1× 3
=3− 3，
故答案为：3− 3．
设AD，C′D′交于E，连接BE，证明Rt△ABE≌Rt△C′BE得到∠ABE=30°，S△C′BE=S△ABE，解Rt△ABE得到AE=1，再根据S阴影=S正方形ABCD−S四边形ABC′E进行求解即可．
本题主要考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，解直角三角形等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
16.【答案】18.9
【解析】解：∵CD⊥AE，
∴△DCE、△ACO是直角三角形，
在Rt△CDE中，DE=78cm，∠E=60°，
∴CD=DE⋅sin60°=78× 32=39 3cm，
设OD=x cm，则OB=x cm，
∴AO=AB+BO=(154+x)cm，OC=CD+DO=(39 3+x)cm，
在Rt△ACO中，∠A=30°，
∴COAO=39 3+x154+x=12，
解得：x=154−78 3≈18.9cm，
即OD的长为18.9cm．
故答案为：18.9．
在Rt△CDE中，DE=78cm，∠E=60°，可得CD=DE⋅sin60°=39 3cm，设OD=x cm，则OB=xcm，AO=(154+x)cm，OC=(39 3+x)cm，在Rt△ACO中，∠A=30°，可得COAO=39 3+x154+x=12，解方程即可得到答案．
本题主要考查了解直角三角形及圆的基本性质的应用，熟练掌握解直角三角形的方法以及圆的性质是解题的关键．
17.【答案】解：(1)如图，△A1B1C为所作，A1(3,−3)；
(2)如图，△A2B2C为所作．
【解析】(1)延长CA到A1，使CA1=2CA，延长CB到B1，使CB1=2BC，则可得到△A1B1C；
(2)利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A2、B2，从而得到△A2B2C.
本题考查了作图−位似变换：掌握画位似图形的一般步骤(确定位似中心；分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形)是解决问题的关键．也考查了旋转变换．
18.【答案】解：解不等式3x>4x−1，得x<1，
解不等式5x−12>x−2，得x>−1，
故不等式组的解集是−1
．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示解集，掌握在数轴上表示解集的方法是解题的关键．
19.【答案】解：原式=(a+1a+1+2a+1)÷(a+3)2a+1
=a+3a+1⋅a+1(a+3)2
=1a+3，
当a= 3−3时，原式=1 3−3+3= 33．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】解：(1)设每个文具盒、每支钢笔分别为x元，y元，
由题意得，3x+2y=1105x+3y=175，
解得x=20y=25，
∴每个文具盒、每支钢笔分别为20元，25元；
(2)设购买文具盒m个，需要花费W元，
由题意得，W=20m+25(10−m)=−5m+250，
∵−5<0，
∴W随m增大而减小，
又∵3≤m≤10，
∴当m=3时，W最大，最大为−5×3+250=235，
∴本次活动老师最多需要花235元．
【解析】(1)设每个文具盒、每支钢笔各x元，y元，然后根据购买3个文具盒、2支钢笔共需110元；5个文具盒、3支钢笔共需175元列出方程组求解即可；
(2)设购买文具盒m个，需要花费W元，则购买(10−m)支钢笔，根据题意列出W关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的方程组和函数关系式是解题的关键．
21.【答案】(1)解：如图，射线BD为所求；
(2)证明：∵AE//BF，
∴∠DAC=∠ACB，
∵AC平分∠BAE，
∴∠DAC=∠BAC．
∴∠ACB=∠BAC，
∴AB=BC，
同理可证AB=AD，
∴AD=BC．
又∵AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形．
【解析】(1)利用基本作图作∠ABF的平分线；
(2)利用角平分线和平行线的性质证明∠ACB=∠BAC，则AB=BC，同理可证AB=AD，所以AD=BC，于是可判断四边形ABCD是平行四边形，然后利用AB=BC可判断四边形ABCD是菱形．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图(作已知角的角平分线).也考查了菱形的性质．
22.【答案】解：(1)50，7；
(2)990；
(3)由题意列树状图：
由树状图可知，所有等可能的结果有12种，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为812=23．
【解析】
【分析】
(1)用“基本了解”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数减去其他了解的人数，求出不了解的人数；
(2)用总人数1500乘以达到“非常了解”和“基本了解”程度的人数所占的比例即可；
(3)画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽到1个男生和1个女生的结果数，然后利用概率公式求解．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【解答】
解：(1)接受问卷调查的学生共有29÷58%=50(人)，
不了解的人数有：50−4−29−10=7(人)，
故答案为：50，7；
(2)根据题意得：
1500×4+2950=990(人)，
答：估计出该学校学生中对足球知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为990人；
故答案为：990；
(3)见答案．
23.【答案】(1)证明：连接OB，如图所示：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠C+∠BAC=90°，
∵OA=OB，OB为半径，
∴∠BAC=∠OBA，
∵∠PBA=∠C，
∴∠PBA+∠OBA=90°，
即PB⊥OB，
∵OB为半径，
∴PB是⊙O的切线；
(2)解：∵OP//BC，
∴∠CBO=∠BOP，
∵OC=OB，
∴∠C=∠CBO，
∴∠C=∠BOP，
又∵∠ABC=∠PBO=90°，
∴△ABC∽△PBO，
∴BCOB=ACOP，
即2OB=AC8，
∵AC=2OB，
∴BO=2 2．
⊙O的面积=π×(2 2)2=8π．
【解析】(1)连接OB，由圆周角定理得出∠ABC=90°，得出∠C+∠BAC=90°，再由OA=OB，得出∠BAC=∠OBA，证出∠PBA+∠OBA=90°，即可得出结论；
(2)证明△ABC∽△PBO，得出对应边成比例，即可求出BO的长．
本题考查了切线的判定、圆周角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握圆周角定理、切线的判定是解决问题的关键．
24.【答案】解：(1)①根据表格数据知，点A为坐标原点，水平地面为x轴建立坐标系，
∵当x=3和x=5时，纵坐标都是3.5，
∴抛物线的对称轴为3+52=4，
∴抛物线的顶点为(4,3.6)，
∴设抛物线解析式为y=a(x−4)2+3.6，
把(0,2)代入解析式得：2=a(0−4)2+3.6，
解得a=−0.1，
∴y与x满足的函数解析式为y=−0.1(x−4)2+3.6；
②当x=6.5时，y=−0.1×(6.5−4)2+3.6=−0.625+3.6=2.975<3.05，
∴小石第一次投篮练习没能投进；
(2)根据题意可知，第二次篮球运行的抛物线相当于第一次篮球运行的抛物线向上平移m个单位，
则第二次篮球运行的抛物线解析式为y=−0.1(x−4)2+3.6+m，
∵第二次篮球运行的抛物线经过(6.5,3.05)，
∴3.05=−0.1×(6.5−4)2+3.6+m，
解得m=0.075，
2+m=2.075，
答：小石的出手高度是2.075米．
【解析】(1)①根据表格数据设抛物线解析式为y=a(x−4)2+3.6，然后由待定系数法求出函数解析式；
②当x=6.5时求出y的值与3.05比较即可；
(2)根据题意第二次篮球运行的抛物线相当于第一次篮球运行的抛物线向上平移m个单位，然后把(6.5,3.05)代入解析式求出m即可．
本题考查二次函数的应用；关键是根据表格数据求出抛物线解析式．
25.【答案】 3：1 3 2sinα：1
【解析】解：性质探究：如图1中，过点C作CD⊥AB于D．
∵CA=CB，∠ACB=120°，CD⊥AB，
∴∠A=∠B=30°，AD=BD，
∴AB=2AD=2AC⋅cos30°= 3AC，
∴AB：AC= 3：1．
故答案为 3：1．
理解运用：(1)设CA=CB=m，则AB= 3m，
由题意2m+ 3m=4+2 3，
∴m=2，
∴AC=CB=2，AB=2 3，
∴AD=DB= 3，CD=AC⋅sin30°=1，
∴S△ABC=12⋅AB⋅CD= 3．
故答案为 3．
(2)如图2中，连接FH．
∵∠FGH=120°，EF=EG=EH，
∴∠EFG=∠EGF，∠EHG=∠EGH，
∴∠EFG+∠EHG=∠EGF+∠EGH=∠FGH=120°，
∵∠FEH+∠EFG+∠EHG+∠FGH=360°，
∴∠FEH=360°−120°−120°=120°，
∵EF=EH，
∴△EFH是顶角为120°的等腰三角形，
∴FH= 3EF=20 3，
∵FM=MG.GN=GH，
∴MN=12FH=10 3．
类比拓展：如图1中，过点C作CD⊥AB于D．
∵CA=CB，∠ACB=2α，CD⊥AB，
∴∠A=∠B=90°−α，AD=BD，∠ACD=∠BCD=α
∴AB=2AD=2AC⋅sinα
∴AB：AC=2sinα：1．
故答案为2sinα：1．
性质探究：如图1中，过点C作CD⊥AB于D.解直角三角形求出AB(用AC表示)即可解决问题．
理解运用：①利用性质探究中的结论，设CA=CB=m，则AB= 3m，构建方程求出m即可解决问题．
②如图2中，连接FH.求出FH，利用三角形中位线定理解决问题即可．
类比拓展：利用等腰三角形的性质求出AB与AC的关系即可．
本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题，学会构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型．
26.【答案】解(1)设P(m,−34m+6)，
∵△OPM为等腰直角三角形，
∴OM=PM，
∴m=−34m+6，
解得m=247，
∴P(247,247).
(2)设P(a,−34a+6)，
∵一次函数y=−34x+3的图象与坐标轴交于A、B两点，
∴A(0,6)，B(8,0)，
∴OA=6，OB=8，
当△PMO∽△AOB时，
∴PMOA=OMOB，
∴−34a+66=a8
解得a=4，
∴点P的坐标为(4,3)，
当△PMO∽△BOA时，
∴PMOB=OMOA，
∴−34a+68=a6，
解得a=7225，
∴点P的坐标为(7225,9625)，
综上所述，点P的坐标为(4,3)或(7225,9625)，
(3)设(n,−34n+6)，
∴OM=n，PM=−34n+6，
∴S△OPM=12OM⋅PM
=12n(−34n+6)
=−38(n−4)2+6，
∵−38<0，
∴当n=4时，S△OPM有最大值6，
∴此时点P的坐标为(4,3)，
∴AP= (4−0)2+(3−6)2=5，
∴当AP=5时，△OPM的面积最大，最大值为6．
【解析】(1)设P(m,−34m+6)，由OM=PM可得m=−34m+6，解方程即可．
(2)设P(a,−34a+6)，求出A(0,6)，B(8,0)，则OA=6，OB=8，然后分两种情况利用三角形相似的性质建立方程求解即可．
(3)设P(n,−34n+6)，则OM=n，PM=−34n+6，即可得S△OPM=−38(n−4)2+6，由此利用二次函数的性质求解即可．
本题主要考查一次函数与几何综合，二次函数与几何综合，相似三角形的性质，勾股定理等，灵活运用所学知识解题是关键．
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