2023年云南省红河州中考数学二模试卷(含解析)
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一、选择题(本大题共12小题,共36.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1. 下列几何体中,左视图为矩形的是( )
A. B. C. D.
2. 以下计算正确的是( )
A. 20230=0 B. 7+ 6= 13
C. (−3a2)3=−27a5 D. a7÷a3=a4
3. 如图,直线a//b,直线c,d与直线a相交于同一点,∠1=57°,∠2=61°,则∠3的度数为( )
A. 59°
B. 60°
C. 61°
D. 62°
4. 聚焦中国芯片产业,2022年中国先进工业产能、核心芯片能级、关键设备和基础材料配套支撑能力不断提升,14nm芯片先进工艺规模实现量产,中国芯片业终于走到了14nm的关键技术节点,已知1nm=0.0000001cm,则14nm用科学记数法表示为( )
A. 14×10−7cm B. 1.4×10−7cm C. 1.4×10−6cm D. 0.14×10−6cm
5. 如图,已知点A为反比例函数y=kx(x<0)的图象上一点,过点A作AB⊥y轴,垂足为B,若△OAB的面积为3,则k的值为( )
A. 3
B. −3
C. 6
D. −6
6. 如图,某段河流的两岸互相平行,为测量此段的河宽AB(AB与河岸垂直),测得AC两点的距离为m米,∠ACB=θ,则河宽AB的长为( )
A. m⋅tanθ B. m⋅sinθ C. m⋅cosθ D. mtanθ
7. 为建构德智体美劳“五育并举”的育人体系,云南对美术、音乐、体育学科进行了中考改革,其中每年定期安排艺术展演活动.某学校初二年级有5个班在艺术展演活动中选择了合唱,合唱分数如下表所示,表中5个数据的中位数为( )
1班
2班
3班
4班
5班
87.8
92.3
95.6
89
91.1
A. 89 B. 91.1 C. 93.3 D. 95.6
8. 一元二次方程x2−3x+94=0的根的情况为( )
A. 无实数根 B. 一个实数根
C. 两个相等的实数根 D. 两个不相等的实数根
9. 如图,△ADE∽△ACB,DE=5,S△ADE:S四边形BCED=9:16,则BC为( )
A. 8
B. 203
C. 253
D. 10
10. 将一个圆心角为120°,半径为6cm的扇形纸片围成一个圆锥,则该圆锥的底面圆的半径为( )
A. 1cm B. 2cm C. π cm D. 2πcm
11. 按一定规律排列的单项式:3a2,−5a4,7a6,−9a8,…,第13个单项式为( )
A. 27a26 B. −27a26 C. 25a26 D. −25a25
12. “五一劳动节”红河州某学校A,B两班学生参加植树造林活动.已知A班每小时比B班多植2棵树,B班植60棵树所用时间与A班植70棵树所用时间相同.如果设A班每小时植树x棵,那么根据题意列出方程正确的是( )
A. 60x+2=70x B. 60x=70x+2 C. 60x−2=70x D. 60x=70x−2
二、填空题(本大题共4小题,共8.0分)
13. −2023的绝对值是 .
14. 因式分解:3mn2−18mn+27m= ______ .
15. 某正多边形的内角为156°,则这个正多边形是______边形.
16. 如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,以A为圆心、一定长度为半径画圆弧,交AB,AC于点D,E,分别以点D,E为圆心、大于12DE长度为半径画圆弧,两条圆弧相交于点F,连接AF交BC于点M,BM=4,AC=9,则S△AMC为______ .
三、解答题(本大题共8小题,共56.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17. (本小题6.0分)
先化简,再求值:x+4x2−2x+1÷(1+5x−1),其中x=2.
18. (本小题6.0分)
如图,C是线段AB上一点,F为AD的中点,连接CF并延长至点E,使得DE//AB.求证:AC=DE.
19. (本小题7.0分)
治愈系田园剧《去有风的地方》让云南大理的美景美食和丰富多彩的非遗项目再次走入观众视野,也带动了大理旅游的复苏.“跟着许红豆吃鲜花饼”,“今年一定要来云南旅游”等话题持续增高,云南美食鲜花饼、烤乳扇、包浆豆腐、烤饵块等特色美食搜索量持续增长.某数学兴趣小组在云南某社区就云南四种特色美食鲜花饼、烤乳扇、包浆豆腐、烤饵块的最喜爱情况进行了抽样调查.根据调查统计结果绘制了如图所示的统计图:
请根据以上信息,解答下列问题:
(1)补全条形统计图,并填写m= ______ ;
(2)在扇形统计图中“包浆豆腐”所对应的圆心角的度数是______ ;
(3)若全体社区居民有3000人,请估计该小区最喜欢吃烤乳扇的有多少人?
20. (本小题7.0分)
在一个不透明的黑色布袋中有四个除标有的数字外其他完全相同的小球,分别标有的数字为0,−1,2,− 2,小明先从黑色布袋中抽取一个小球,记录下小球的数字为x,不把小球放回袋子中,小明再从布袋中抽取一个小球,记录下小球的数字为y,设点A坐标为(x,y).
(1)请用列表法或树状图法列出点A的所有可能的坐标;
(2)求出点A在第四象限的概率.
21. (本小题7.0分)
如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点B作CD的垂线,垂足为点E,延长CD到点F,使CE=DF,连接AF.
(1)求证:四边形ABEF是矩形;
(2)若AD=13,AC=24,求AF的长.
22. (本小题7.0分)
2023年中考越来越近,班主任李老师打算在中考结束当天送班上每个同学一束花,李老师打算去斗南购买向日葵和香槟玫瑰组合的鲜花.已知买2支向日葵和1支香槟玫瑰共需花费14元,3支香槟玫瑰的价格比2支向日葵的价格多2元.
(1)求买一支向日葵和一支香槟玫瑰各需多少元?
(2)李老师准备每束花需向日葵和香槟玫瑰共15支,且向日葵的数量不少于6支,班上总共40个学生,设购买所有的鲜花所需费用为w元,每束花有香槟玫瑰x支,求w与x之间的函数关系式,并设计一种使费用最少的买花方案,并写出最少费用.
23. (本小题8.0分)
如图,在⊙O中,CD为⊙O的直径,过点C作射线CE,∠AOC=120°,点B为弧AC的中点,连接AB,OB,BC.点P为弧BC上的一个动点(不与B,C重合),连接PA,PB,PC,PD.
(1)若∠ECP=∠PDC,判断射线CE与⊙O的位置关系;
(2)求证:PA= 3PB+PC.
24. (本小题8.0分)
已知抛物线y=2x2+bx+c经过点(0,4),顶点坐标为(12,k),设r为抛物线y=2x2+bx+c与x轴的交点的横坐标,M=3r3−3r2r8−r7−r6−3r4−6r3+r.
(1)求b,c,k的值;
(2)试判断M与0的大小关系,并证明你的结论.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解:A.圆锥的左视图是三角形,因此选项A不符合题意;
B.圆柱体的左视图是矩形,因此选项B符合题意;
C.球体的左视图是圆,因此选项C不符合题意;
D.四棱锥的左视图是三角形,因此选项D不符合题意;
故选:B.
根据简单几何体三视图的画法画出它们的左视图即可.
本题考查简单几何体三视图,理解视图的定义,掌握简单几何体的三视图的形状和画法是正确解答的前提.
2.【答案】D
【解析】解:20230=1,选项A错误,不符合题意;
7与 6,不是同类二次根式,不能合并,选项B错误,不符合题意;
(−3a2)3=−27a6,选项C错误,不符合题意;
a7÷a3=a4,选项D计算正确,符合题意;
故选:D.
逐项计算判断出正确选项即可.
本题考查了与零指数幂、同类二次根式、幂的乘方、同底数幂相除相关的计算,掌握相关计算方法是解题关键.
3.【答案】D
【解析】解:根据平角的性质与平行线的性质可得,
∠3=180°−57°−61°=62°,
故选:D.
根据平角的性质和平行线的性质即可求解.
本题考查了平角的性质和平行线的性质,解题的关键是利用好数形结合的思想.
4.【答案】C
【解析】解:14nm=14×0.0000001cm=0.0000014cm,根据科学记数法要求0.0000014的1前面有6个0,从而用科学记数法表示为1.4×10−6,
故选:C.
用科学记数法表示较小的数时,一般形式为a×10−n,其中1≤|a|<10,n为整数,按要求表示即可.
本题考查科学记数法,按照定义,确定a与n的值是解决问题的关键.
5.【答案】D
【解析】解:∵AB⊥y轴,设A点坐标为(x,y)(x<0),
∴S△OAB=12·x·y=12k,
∴12|k|=3,
∵k<0,
∴k=−6.
故选:D.
再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到12|k|=3,然后去绝对值即可得到满足条件的k的值.
本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义:在反比例函数y=kx图象中任取一点,过这一个点向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.
6.【答案】A
【解析】解:在Rt△ABC中,
∵tanθ=ABAC=ABm,
∴AB=m⋅tanθ,
故选:A.
根据直角三角形中,三角函数中的边角关系即可得解.
本题考查了锐角三角函数的边角关系的应用,掌握三角函数的边角关系是解题关键.
7.【答案】B
【解析】解:将数据从小到大排序:87.8,89,91.1,92.3,95.6,中间的数据为91.1,
∴表中5个数据的中位数为91.1,
故选:B.
先将这五个数按照从小到大的顺序排列,根据中位数的定义直接求解即可得到答案.
本题考查求中位数,熟记中位数的定义是解决问题的关键.
8.【答案】C
【解析】解:∵Δ=b2−4ac=(−3)2−4×1×94=0,
∴方程有两个相等的实数根.
故选:C.
计算判别式Δ=b2−4ac的值,然后与零比较大小进行判断即可.
本题考查了一元二次方程根的判别.解题的关键在于明确一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系:当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程没有实数根.
9.【答案】C
【解析】解:∵S△ADE:S四边形BCED=9:16,
∴S△ADE:S△ACB=9:25,
∴相似比为k=3:5,即DEBC=35,5BC=35,
∴BC=253;
故选:C.
根据S△ADE:S四边形BCED的比,可得S△ADE:S△ACB的比,利用面积比是相似比的平方,可得DEBC,从而可得答案.
本题考查了形似三角形的性质,解题的关键是掌握面积比是相似比的平方.
10.【答案】B
【解析】解:设圆锥的底面圆的半径为r,
根据题意可得:120×2π×6360=2π×r,
解得r=2,
故选:B.
根据圆锥的底面圆周长等于侧面展开扇形的弧长关系,结合圆周长公式计算即可.
本题考查圆锥的计算,圆锥的侧面展开图是一个扇形,此扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系,列方程求解是解题关键.
11.【答案】A
【解析】解:观察这列单项式,可以发现系数的绝对值是从3开始的奇数,可表示为:(−1)n+1⋅(2n+1),
字母a的指数为连续的偶数,可表示为:a2n,
因此第n个单项式为:(−1)n+1⋅(2n+1)a2n,
∴第13个单项式为:27a26,
故选:A.
分别从系数,次数方面找出单项式的变化规律即可.
本题考查数字变化类规律探究,发现系数和字母的指数的变化与序号的关系是解题的关键.
12.【答案】C
【解析】解:∵A班每小时植树x棵,A班每小时比B班多植2棵树,
∴B班每小时植树(x−2)棵,
∴B班工作时间为60x−2,A班工作时间为70x,
由题意可列方程为:60x−2=70x,
故选:C.
根据A班每小时植树x棵,可得到B班工作时间为60x−2,A班工作时间为70x,然后列出分式方程即可.
本题考查了由实际问题抽象出分式方程,找准等量关系,正确列出分式方程是解题的关键.
13.【答案】2023
【解析】
【分析】
本题主要考查了求一个数的绝对值,熟知正数和0的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数是解题的关键.
根据绝对值的定义进行求解即可.
【解答】
解:−2023的绝对值是2023,
故答案为:2023.
14.【答案】3m(n−3)2
【解析】解:3mn2−18mn+27m
=3m(n2−6n+9)
=3m(n−3)2.
故答案为:3m(n−3)2.
原式提取公因式,再利用完全平方公式分解即可.
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
15.【答案】正十五
【解析】解:180°−156°=24°,
360°÷24°=15.
故答案为:正十五
由多边形的每一个内角都是156°先求得它的每一个外角是24°,然后根据正多边形的每个内角的度数×边数=360°求解即可.
本题主要考查的是多边形的内角与外角,明确正多边形的每个内角的度数×边数=360°是解题的关键.
16.【答案】18
【解析】解:由题可知,AF平分∠BAC,如图,
过M作MN⊥AC于点N,
根据角平分线性质得BM=MN=4,
故S△AMC=12AC⋅MN=12AC⋅MN=12×4×9=18,
故答案为:18.
利用基本作图得到AF平分∠BAC,利用角平分线的性质得到M点到AC的距离为4,然后根据三角形面积公式计算△AMC的面积.
本题考查了角平分线的尺规作图和性质,熟练掌握角平分线的性质是解题关键.
17.【答案】解:原式=x+4(x−1)2÷(x−1x−1+5x−1)
=x+4(x−1)2⋅x−1x+4
=1x−1.
当x=2时,
原式=12−1=1.
【解析】根据分式混合运算法则计算即可.
本题考查了分式的混合运算,掌握完全平方公式,异分母分式加减法、除一个数等于乘以这个数的倒数是解题的关键.
18.【答案】解:∵F为AD的中点,
∴AF=DF,
∵DE//AB,
∴∠A=∠EDF,
在△ACF和△DEF中,
∠A=∠EDFAF=DF∠AFC=∠DFE,
∴△ACF≌△DEF(ASA),
∴AC=DE.
【解析】根据条件可利用ASA方法证明△ACF≌△DEF,然后由全等三角形性质即可得解.
本题考查了平行线的性质、全等三角形判定与性质,掌握ASA方法证明三角形全等是解题关键.
19.【答案】12 72°
【解析】解:(1)总人数:80÷32%=250(人),
包浆豆腐人数:250×20%=50(人),
补全条形统计图如图2所示.
m=100−36−32−20=12,
故答案为:12;
(2)包浆豆腐对应的圆心角度数:360°×20%=72°.
故答案为:72°;
(3)3000×12%=360(人),
答:估计该小区最喜欢吃烤乳扇的大约有360人.
(1)用“鲜花饼”的人数除以它所占百分比可得样本容量,再用样本容量乘“包浆豆腐”所占百分比可得其人数,进而补全条形统计图;用“1”分别减去其他三部分所占百分比可得m的值;
(2)用360°乘“包浆豆腐”所占百分比可得答案;
(3)用3000乘样本中最喜欢吃烤乳扇所占百分比即可.
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.
20.【答案】解:(1)列表如下:
y
x
0
−1
2
− 2
0
---
(−1,0)
(2,0)
(− 2,0)
−1
(0,−1)
---
(2,−1)
(− 2,−1)
2
(0,2)
(−1,2)
---
(− 2,2)
− 2
(0,− 2)
(−1,− 2)
(2,− 2)
---
根据表格得:共12种等可能的结果;
(2)点A在第四象限上的有(2,−1),(2,− 2),共2种,
∴P(点A在第四象限上)=212=16.
【解析】(1)根据题意列表确定出A所有可能的坐标即可;
(2)找出A点坐标在第四象限的情况数,即可求出所求概率.
此题考查了列表法与树状图法,概率的求法,以及点的坐标,概率=所求情况数与总情况数之比.
21.【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB//CD,AB=CD,
∵CE=DF,
∴CE+DE=DF+DE,即DC=EF,
∴AB=EF,
又∵AB//EF,
∴四边形ABEF是平行四边形,
∵BE⊥CD,
∴∠BEF=90°,
∴四边形ABEF是矩形;
(2)解:∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=CD=13,AC⊥BD,OA=OC=12AC=12×24=12,BD=2OD,
∴∠AOD=90°,
在Rt△AOD中,由勾股定理得:OD= AD2−OA2= 132−122=5,
∴BD=2OD=2×5=10,
∵S菱形ABCD=12AC⋅BD=CD⋅AF,
∴12×24×10=13×AF,
解得:AF=12013.
【解析】(1)先证AB=EF,再证四边形ABEF是平行四边形,然后由矩形的判定即可得出结论;
(2)由菱形的性质得AD=CD=13,AC⊥BD,OA=OC=12AC=12,BD=2OD,再由勾股定理得OD=5,则BD=10,然后由菱形面积即可得出结论.
本题考查了菱形的性质、矩形的判定、平行四边形的判定以及勾股定理等知识,熟练掌握菱形的性质和矩形的判定是解题的关键.
22.【答案】解:(1)设一支向日葵需a元,一支香槟玫瑰需b元,
由题可得:2a+b=143b−2a=2,解得:a=5b=4.
答:一支向日葵需5元,一支香槟玫瑰需4元.
(2)设每束花有香槟玫瑰x支,向日葵(15−x)支.
由题意得:w=40[5(15−x)+4x]=−40x+3000,
∵15−x≥6,解得x≤9,
又∵−40<0,w随x的增大而减少,
∴当x=9时,w最少=−40×9+3000=2640,此时向日葵又:15−9=6.
答:每束花有香槟玫瑰9支,向日葵6支,总的购买费用最少为2640元.
【解析】(1)设一支向日葵需a元,一支香槟玫瑰需b元,根据题意列出关系式即可得出结论.
(2)每束花有香槟玫瑰x支,向日葵(15−x)支,根据题意列出w的函数关系式再根据x的取值范围即可得出结论.
本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组以及一次函数的性质,正确梳理题意列出关系式是解题的关键.
23.【答案】(1)解:CE与⊙O相切,理由如下:
∵CD为⊙O的直径,
∴∠CPD=90°,
∵∠PDC+∠PCD=90°,
∵∠ECP=∠PDC,
∴∠ECP+∠PCD=90°,
∴∠ECD=90°,
∴直径CD⊥CE,
∴CE为⊙O的切线.
(2)证明:在AP上截取AQ=PC,连接BQ,
∵点B为弧AC的中点,∠AOC=120°,
∴AB=BC,
∴∠AOB=∠BOC=60°,AB=BC,
∵∠BCP=∠BAP,
∴△BAQ≌△BCP(SAS),
∴BQ=BP,
∵∠BPQ=12∠AOB=30°,
∴∠BQP=∠QPB=30°,
∴PQ= 3PB,
∵AP=AQ+PQ,AQ=PC,
∴PA= 3PB+PC.
【解析】(1)由圆周角定理得到∠CPD=90°,因此∠PDC+∠PCD=90°,又∠ECP=∠PDC,得到∠ECP+∠PCD=90°,于是直径CD⊥CE,即可证明CE为⊙O的切线.
(2)在AP上截取AQ=PC,连接BQ,由圆心角、弧、弦的关系得到AB=BC,又∠BCP=∠BAP,即可证明△BAQ≌△BCP(SAS),得到BQ=BP,由圆周角定理推出∠BQP=∠QPB=30°,于是得到PQ= 3PB,即可证明问题.
本题考查切线的判定,全等三角形的判定和性质,圆周角定理,圆心角、弧、弦的关系,关键是通过作辅助线构造全等三角形.
24.【答案】解:(1)将(0,4),代入y=2x2+bx+c得c=4,
∵−b2a=−b2×2=12,
∴b=−2,
∴k=4ac−b24a=4×2×4−(−2)24×2=72,
故答案为:b=−2,c=4,k=72;
(2)M<0,理由如下:
∵由(1)得y=2x2−2x+4,r为抛物线y=2x2+bx+c与x轴的交点的横坐标,
∴令y=0,则2r2−2r+4=0,
∴r2−r+2=0,
∴r2−r=−2,
∴M的分子:3r3−3r2=3r(r2−r)=3r×(−2)=−6r,
∴M的分母:
r8−r7−r6−3r4−6r3+r
=r3(r5−r4−r3−3r−6)+r
=r3[r3(r2−r−1)−3r−6]+r
=r3(−3r3−3r−6)+r
=r3[−3r(r2+1)−6]+r
=r3[−3r(r−2+1)−6]+r
=r3(−3r2+3r−6)+r
=r3[−3(r2−r)−6]+r
=r3[−3×(−2)−6]+r
=r3(6−6)+r
=r,
∴M=3r3−3r2r8−r7−r6−3r4−6r3+r=−6rr=−6,
∴M<0.
故答案为:M<0.
【解析】(1)根据抛物线经过(0,4)求出c值,再根据顶点坐标(−b2a,4ac−b24a)即可求出b和k值;
(2)根据已知条件推出r2−r=−2,从而得到M分子为−6r,再利用r2−r=−2将M分母变形为r,从而求出M与零的大小.
本题考查了二次函数的图象和性质,二次函数与x轴交点,找出有关r的方程,利用整体思想进行式子变形是解题的关键.
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