2023年北京二中教育集团中考数学保温训练试卷（含解析）

这是一份2023年北京二中教育集团中考数学保温训练试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年北京二中教育集团中考数学保温训练试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 党的二十大报告中指出，2022年中国的科技实力实现了从跟跑到领跑的历史性跨越，研发经费持续增长，研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元，居世界第二位.将2800000000000用科学记数法表示为(    )
A. 0.28×1013 B. 2.8×1011 C. 2.8×1012 D. 28×1011
2. 如图是某几何体的三视图，该几何体是(    )


A. 三棱柱 B. 长方体 C. 圆锥 D. 圆柱
3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是(    )



A. |a|<|b| B. a−b>0 C. a+b<0 D. ab>0
4. 下列运算结果正确的是(    )
A. b3⋅b3=2b3 B. (−ab)2=−ab2 C. a5÷a2=a3 D. a2+a=a3
5. 掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则nm的值(    )
A. 一定是12
B. 一定不是12
C. 随着m的增大，越来越接近12
D. 随着m的增大，在12附近摆动，呈现一定的稳定性
6. 以下图形绕点O旋转一定角度后都能与原图形重合，其中旋转角最小的是(    )
A. B. C. D.
7. 已知3.52=12.25，3.62=12.96，3.72=13.69，3.82=14.44，那么 13精确到0.1的近似值是(    )
A. 3.5 B. 3.6 C. 3.7 D. 3.8
8. 下面三个问题中都有两个变量：
①如图1，货车匀速通过隧道(隧道长大于货车长)，货车在隧道内的长度y与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间x；
②如图2，实线是王大爷从家出发匀速散步行走的路线(圆心O表示王大爷家的位置)，他离家的距离y与散步的时间x；
③如图3，往一个圆柱形空杯中匀速倒水，倒满后停止，一段时间后，再匀速倒出杯中的水，杯中水的体积y与所用时间x
其中，变量y与x之间的函数关系大致符合图4的是(    )


A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 若代数式1x−3有意义，则实数x的取值范围为           ．
10. 方程2x+3=5x的解为______ ．
11. 方程组x−y=33x−8y=14的解为______ ．
12. 在平面直角坐标系xOy中，若点(1,y1)，(4,y2)在反比例函数的图象上，则y1______y2(填“>”，“=”或“<”)．
13. 如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠CAD=30°，∠ABD=50°，则∠ADC= ______ ．


14. 如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线AP交BC于点D.若AB：AC=2：3，△ABD的面积为4，则△ACD的面积为______ ．
15. 魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形ABCD，AFIJ和BFGH都是正方形.如果图中△BCE与△FDE的面积比为169，那么tan∠GFI的值为______ ．

16. 有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：

①左至右，按数字从小到大的顺序排列；
②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．
将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在了标注字母______ 的位置，标注字母e的卡片写有数字______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）
17. 计算：38+(13)−1−2cos30°+|1− 3|．
四、解答题（本大题共11小题，共63.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题5.0分)
解不等式式：2(x−3)≤x−81+x2>x−1．
19. (本小题5.0分)
下面是晓彤在证明“平行四边形的对角相等”这个性质定理时使用的三种添加辅助线的方法，请你选择其中一种，完成证明．
平行四边形性质定理：平行四边形的对角相等．
已知：如图，▱ABCD．
求证：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC．
方法一：
证明：如图，连接AC．

方法二：
证明：如图，延长BC至点E．

方法三：
证明：如图，连接AC、BD，AC与BD交于点O．



20. (本小题5.0分)
关于x的方程x2−2x+2m−1=0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
21. (本小题6.0分)
如图，将菱形ABCD的边AD和CD分别延长至点E和点F，且使DE=AD，DF=CD，连接AF，FE，EC，CA，BE．
(1)求证：四边形ACEF是矩形；
(2)若AD=2，∠ADC=60°，求BE的长．

22. (本小题5.0分)
已知点P(1,3)，Q(3,m)是函数y=kx(x>0)图象上两点．

(1)求k值和m的值．
(2)直线y=2x与y=kx(x>0)的图象交于A，直线y=k′x+b与直线y=2x平行，与x轴交于点B，且与y=kx(x>0)的图象交于点C.若线段OA，OB，BC及函数y=kx(x>0)图象在AC之间部分围成的区域内(不含边界)恰有2个整点，结合函数图象，直接写出b的取值范围.(注：横纵坐标均为整数的点称为整点)
23. (本小题5.0分)
门头沟区深挖区域绿水青山教育资源，以区域山水和历史人文资源为素材，开展跨学科实践活动.某校为调研学生的学习成效.举办“跨学科综合实践活动”成果作品比赛.十名评委对每组同学的参赛作品进行现场打分.对参加比赛的甲，乙，丙三组同学参赛作品得分(单位：分)的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a.甲.乙两组同学参赛作品得分的折线图：

b.丙组同学参赛作品得分：
9 4 9 9 10 9 10 8 8 10
c.甲，乙，丙三组同学参赛作品得分的平均数、众数、中位数如表：

平均数
众数
中位数
甲组
8.6
9
9
乙组
8.6
a
8.5
丙组
8.6
9
b
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中a= ______ ，b= ______ ；
(2)在参加比赛的小组中，如果某组同学参赛作品得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该组同学参赛作品的评价越一致.据此推断：在甲，乙两组同学中，评委对______ 组同学的参赛作品评价更一致(填“甲”或“乙”)
(3)如果每组同学的最后得分为去掉十名评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该组同学的参赛作品越优秀.据此推断：在甲，乙，丙三组同学中，参赛作品最优秀的是______ 组同学(填“甲”“乙”或“丙”)．
24. (本小题6.0分)
如图，AB为⊙O的直径，BC为弦，射线AM与⊙O相切于点A，过点O作OD//BC
交AM于点D，连接DC．
(1)求证：DC是⊙O的切线；
(2)过点B作BE⊥AB交DC的延长线于点E，连接AC交OD于点F，若AB=12，BE=4，求AF的长．

25. (本小题6.0分)
如图1，利用喷水头喷出的水对小区草坪进行喷灌作业是养护草坪的一种方法.如图2，点O处有一个喷水头，距离喷水头8m的M处有一棵高度是2.3m的树，距离这棵树10m的N处有一面高2.2m的围墙.建立如图所示的平面直角坐标系.已知某次浇灌时，喷水头喷出的水柱的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a<0)．
(1)某次喷水浇灌时，测得x与y的几组数据如下：
x
0
2
6
10
12
14
16
y
0
0.88
2.16
2.80
2.88
2.80
2.56
①根据上述数据.求这些数据满足的函数关系；
②判断喷水头喷出的水柱能否越过这棵树，并请说明理由．
(2)某次喷水浇灌时，已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=−0.04x2+bx.假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，下面有四个关于b的不等式：
(A)−0.04×82+8b>2.3；
(B)−0.04×182+18b>2.2；
(C)−0.04×182+18b<2.2；
(D)b2×0.04>13．
其中正确的不等式是______ .(填上所有正确的选项)
26. (本小题6.0分)
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2−2a2x−3(a≠0)．
(1)求该抛物线的对称轴(用含a的式子表示)；
(2)若a=1，当−2 (3)已知A(2a−1,y1)，B(a,y2)，C(a+2,y3)为该抛物线上的点，若(y1−y3)(y3−y2)>0，求a的取值范围．
27. (本小题7.0分)
如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点M为BC中点．点P为AB边上一动点，点D为BC边上一动点，连接DP，以点P为旋转中心，将线段PD逆时针旋转90°，得到线段PE，连接EC．

(1)当点P与点A重合时，如图2．
①根据题意在图2中完成作图；
②判断EC与BC的位置关系并证明．
(2)连接EM，写出一个BP的值，使得对于任意的点D总有EM=EC，并证明．


28. (本小题7.0分)
对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ，给出如下定义：若存在△PQR使得S△PQR=PQ2，则称△PQR为线段PQ的“等幂三角形”，点R称为线段PQ的“等幂点”．
(1)已知A(2,0)，若存在等腰△OAB是线段OA的“等幂三角形”，求点B的坐标；
(2)已知点C的坐标为C(2,−1)，点D在直线y=x−3上，记图形M为以点T(1,0)为圆心，2为半径的⊙T位于x轴上方的部分.若图形M上存在点E，使得线段CD的“等幂三角形”△CDE为锐角三角形，直接写出点D的横坐标xD的取值范围．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：将2800000000000用科学记数法表示应为2.8×1012．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

2.【答案】B 
【解析】解：根据所给出的三视图得出该几何体是长方体；
故选：B．
根据主视图和左视图都是宽度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，再根据俯视图的形状，可判断柱体是长方体．
本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥体，如果有两个矩形，该几何体一定柱体，其底面由第三个视图的形状决定．

3.【答案】C 
【解析】解：由数轴图可知，a<0，b>0，|a|>|b|，
|a|>|b|，A选项错误，该选项不符合题意；
a−b<0，B选项错误，该选项不符合题意；
a+b<0，C选项正确，该选项符合题意；
ab<0，D选项错误，该选项不符合题意；
故选：C．
利用数轴知识判断a、b的符号和绝对值，再判断选项正误．
本题考查了实数与数轴，绝对值，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义．

4.【答案】C 
【解析】解：b3⋅b3=b6，故A错误，
(−ab)2=a2b2，故B错误，
a5÷a2=a3，故C正确，
a2与a不是同类项，不能加减，故D错误．
故选：C．
根据同类项的定义、同底数幂的乘除法性质、积的乘方性质计算即可．
本题主要考查了同类项的定义、同底数幂的乘除法、积的乘方，熟练掌握各知识点并灵活运用是解决本题的关键．

5.【答案】D 
【解析】解：投掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，随着m的增加，nm的值会在12附近摆动，呈现出一定的稳定性，
故选：D．
利用频率估计概率求解即可．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．

6.【答案】D 
【解析】解：A、最小旋转角度=360°3=120°；
B、最小旋转角度=360°4=90°；
C、最小旋转角度=360°5=72°；
D、最小旋转角度=360°6=60°；
故选：D．
求出各旋转对称图形的最小旋转角度，继而可作出判断．
本题考查了旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度(小于360°)后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．求出各图形的最小旋转角度是解题关键．

7.【答案】B 
【解析】解：∵3.62=12.96，
∴ 13精确到0.1的近似值是3.6．
故选：B．
直接利用已知得出平方后最接近13的数，即可得出答案．
此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题关键．

8.【答案】D 
【解析】解：①根据题意可知货车进入隧道的时间x与货车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为：当货车开始进入时y逐渐变大，货车完全进入后一段时间内y不变，当货车开始出来时y逐渐变小，
∴反映到图象上应符合图4；
②根据题意可知，开始时y随x的增大而增大，在圆上部分y的值不变，最后y随x的增大而减小，
∴反映到图象上应符合图4；
③往一个圆柱形空杯中匀速倒水，y随x的增大而增大，中间一段时间，y的值不变，y的值不变，y随x的增大而减小，
∴反映到图象上应符合图4；
故选：D．
①根据货车进入隧道、货车完全进入入隧道以及货车开始出离开隧道三段时间判断即可；
②根据王大爷圆心，在圆上以及回家三段时间判断即可；
③往一个圆柱形空杯中匀速倒水，注满后停止一会以及匀速倒出杯中的水三段时间判断即可．
本题考查了函数的图象，注意看清楚因变量和自变量分别表示的含义．

9.【答案】x≠3 
【解析】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
(1)分式无意义⇔分母为零；
(2)分式有意义⇔分母不为零；
(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零．

10.【答案】x=−5 
【解析】解：方程两边同乘x(x+3)，得2x=5(x+3)，
即2x=5x+15，
解得x=−5，
经检验，x=−5是原方程的解，
故答案为：x=−5．
先将分式方程转化为整式方程，再解方程，检验即可．
本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．

11.【答案】x=2y=−1 
【解析】解：x−y=3①3x−8y=14②，
①×3得：3x−3y=9③，
②−③得：−5y=5，
解得：y=−1，
把y=−1代入①得：x+1=3，
解得：x=2，
故原方程组的解是：x=2y=−1．
故答案为：x=2y=−1．
利用加减消元法进行求解即可．
本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．

12.【答案】> 
【解析】解：∵k>0，
∴反比例函数y=(k>0)的图象在一、三象限，
∵4>1>0，
∴点A(1,y1)，B(4,y2)在第一象限，y随x的增大而减小，
∴y1>y2，
故答案为：>．
先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特征及函数的增减性解答．
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，比较简单．

13.【答案】100° 
【解析】解：∵∠ABD=50°，
∴∠ACD=50°，
∵∠CAD=30°，
∴∠ADC=180°−∠DAC−∠ACD=180°−30°−50°=100°．
故答案为：100°．
直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ADC=180°−∠DAC−∠ACD，进而得出答案．
此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，正确得出∠ABD度数是解题关键．

14.【答案】6 
【解析】解：由作法得AD平分∠BAC，
∴点D到AB、AC的距离相等，
∴S△ABD：S△ACD=AB：AC=2：3，
∴S△ACD=32S△ABD=32×4=6．
故答案为：6．
利用基本作图得到AD平分∠BAC，再根据角平分线的性质得到点D到AB、AC的距离相等，然后根据三角形面积公式得到S△ABD：S△ACD=AB：AC，从而可求出S△ACD．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．

15.【答案】47 
【解析】解：∵ABCD都是正方形，
∴∠FDC=90°=∠BCD，
∵∠FED=∠CEB，
∴△BCE∽△FDE，
∴S△BCES△FDE=(BCDF)2，
∵△BCE与△FDE的面积比为169，
∴BCDF=43，
设BC=4t=AD=AB，则DF=3t，
∴AF=AD+DF=7t，
在Rt△AFB中，
tan∠BFA=ABAF=4t7t=47，
由“青朱出入图”可知：∠GFI=90°−∠AFG=∠FBA，
∴tan∠GFI=tan∠BFA=47．
故答案为：47．
证明△BCE∽△FDE，可得S△BCES△FDE=(BCDF)2，而△BCE与△FDE的面积比为169，即得BCDF=43，设BC=4t=AD=AB，则DF=3t，在Rt△AFB中，有tan∠BFA=ABAF=4t7t=47，又∠GFI=90°−∠AFG=∠FBA，从而推导出tan∠GFI=tan∠BFA=47．
本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形性质和相似三角形的判定定理．

16.【答案】B  4 
【解析】解：第一行中B与第二行中c肯定有一张为白1，若第二行中c为白1，则左边不可能有2张黑卡片，
∴白卡片数字1摆在了标注字母B的位置，
∴黑卡片数字1摆在了标注字母A的位置，；
第一行中C与第二行中c肯定有一张为白2，若第二行中c为白2，则a，b只能是黑1，黑2，而A为黑1，矛盾，
∴第一行中C为白2；
第一行中F与第二行中c肯定有一张为白3，若第一行中F为白3，则D，E只能是黑2，黑3，此时黑2在白2右边，与规则②矛盾，
∴第二行中c为白3，
∴第二行中a为黑2，b为黑3；
第一行中F与第二行中e肯定有一张为白4，若第一行中F为白4，则D，E只能是黑3，黑4，与b为黑3矛盾，
∴第二行中e为白4．
故答案为：B；4．
根据排列规则依次确定白1，白2，白3，白4的位置，即可得出答案．
本题考查图形类规律探索，解题的关键是理解题意，根据所给规则依次确定出白1，白2，白3，白4的位置．

17.【答案】解：原式=2+3−2× 32+ 3−1
=2+3− 3+ 3−1
=4． 
【解析】根据立方根，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值计算即可．
本题考查了实数的运算，立方根，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值，掌握负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键．

18.【答案】解：2(x−3)≤x−8①1+x2>x−1②，
解不等式①得：x≤−2，
解不等式②得：x<3，
故不等式组的解集为x≤−2． 
【解析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可．
本题主要考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

19.【答案】证明：选择方法一：
如图，连接AC，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，AB//CD，
∴∠DAC=∠BCA，∠BAC=∠DCA，
∴∠BAC=∠DAC，
在△ADC与△BCA中，
AD=BC∠DAC=∠BCAAC=CA，
∴△ADC≌△BCA(SAS)，
∴∠B=∠D，
即平行四边形的对角相等． 
【解析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对边相等且平行．

20.【答案】解：∵关于x的方程x2−2x+2m−1=0有实数根，
∴b2−4ac=4−4(2m−1)≥0，
解得：m≤1，
∵m为正整数，
∴m=1，
∴x2−2x+1=0，
则(x−1)2=0，
解得：x1=x2=1． 
【解析】直接利用根的判别式得出m的取值范围，求出m的值，进而解方程得出答案．
此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键．

21.【答案】(1)证明：∵DE=AD，DF=CD，
∴四边形ACEF是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，
∴AD+DE=CD+DF，
即AE=CF，
∴平行四边形ACEF是矩形；
(2)解：如图，过B作BG⊥EC交EC的延长线于点G，

则∠BGC=90°，
由(1)可知，AE=2AD=4，四边形ACEF是矩形，
∴∠ACE=90°，
∴∠ACG=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=2，∠ABC=∠ADC=60°，
∴△ADC和△ABC是等边三角形，
∴AC=AD=2，∠ACB=60°，
∴CE= AE2−AC2= 42−22=2 3，
∵∠BCG=∠ACG−∠ACB=90°−60°=30°，
∴BG=12BC=1，
∴CG= BC2−BG2= 22−12= 3，
∴EG=CE+CG=2 3+ 3=3 3，
∴BE= BG2+EG2= 12+(3 3)2=2 7，
即BE的长为2 7． 
【解析】(1)先证四边形ACEF是平行四边形，再由菱形的性质得AD=CD，然后证AE=CF，即可得出结论；
(2)过B作BG⊥EC交EC的延长线于点G，由矩形的性质得∠ACE=90°，则∠ACG=90°，再证△ADC和△ABC是等边三角形，得AC=AD=2，∠ACB=60°，然后由勾股定理得CE=2 3，CG= 3，则EG=CE+CG=3 3，即可解决问题．
本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．

22.【答案】解：(1)∵函数y=kx(x>0)图象经过点P(1,3)，
∴3=k1，
∴k=3，
∴y=3x，
∵Q(3,m)是函数y=3x图象上的点，
∴m=33=1，
(2)∵直线y=k′x+b与直线y=2x平行，
∴k′=2，
∴y=2x+b，
由函数图象可知，若直线y=2x+b在直线y=2x的下方，
当x=2，其函数值y=2x+b<1，则满足题意，
即2×2+b<1，
∴b<−3；
若直线y=2x+b在直线y=2x的上方，
当x=0，其函数值2<2x+b≤3，则满足题意，
即2<2×0+b≤3，
∴2 综上，b的取值范围是：b<−3或2  
【解析】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，数形结合的思想，第(2)小题关键是根据关键点的函数值建立不等式进行解答．
(1)运用待定系数法，把两点坐标代入反比例函数的解析式，便可求得结果；
(2)观察图象，若直线y=2x+b在直线y=2x的下方，当x=2，其函数值y=2x+b<1时，才能满足“线段OA，OB，BC及函数y=kx(x>0)图象在AC之间部分围成的区域内(不含边界)恰有2个整点”这一条件；若直线y=2x+b在直线y=2x的上方，当x=0，其函数值2<2x+b≤3时，才能满足“线段OA，OB，BC及函数y=kx(x>0)图象在AC之间部分围成的区域内(不含边界)恰有2个整点”这一条件；据此解答便可．

23.【答案】8  9  乙  丙 
【解析】解：(1)由题意可知，乙组同学参赛作品得分中8出现的次数最多，故众数a=8；
丙组同学参赛作品得分的中位数b=9+92=9．
故答案为：8；9；
(2)甲组同学参赛作品得分在7至10分波动，乙甲组同学参赛作品得分在8至10分波动，所以乙甲组同学参赛作品得分的波动较小，即乙组同学参赛作品得分的10个数据的方差比甲小，所以在甲，乙两组同学中，评委对乙组同学的参赛作品评价更一致．
故答案为：乙；
(3)如果每组同学的最后得分为去掉十名评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，则：
甲组的平均数为18×(7+8+8+9+9+9+9+10)=8.625；
乙组的平均数为18×(8+8+8+8+9+9+9+9)=8.5；
丙组的平均数为18×(9+9+9+10+9+10+8+8)=9；
∵9>8.625>8.5，
∴参赛作品最优秀的是丙组同学．
故答案为：丙．
(1)根据众数和中位数的定义解答即可；
(2)根据方差的意义解答即可；
(3)根据题意分别求出甲，乙，丙三组同学参赛作品得分的平均数即可．
本题考查条形折线统计图、中位数、众数、平均数以及方差，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的关键．

24.【答案】(1)证明：如图，连接OC，
∵AM与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AD
∵OD//BC，
∴∠BCO=∠DOC，∠B=∠AOD，
∵OC=OB，
∴∠B=∠BCO，
∴∠DOC=∠AOD，
又∵OC=OA，OD=OD，
∴△DOC≌△DOA(SAS)，
∴∠OCD=∠OAD=90°，即OC⊥DC，
又∵OC是⊙O的半径，
∴DC是⊙O的切线．
(2)解：如图，连接OE，
∵BE⊥AB，
∴BE为⊙O的切线，
∵EC也为⊙O的切线，
∴EC=EB，
又∵OC=OB，
∴OE⊥BC，
∵AB是⊙O的直径，AB=12，
∴OA=OB=6，∠ACB=90°，即AC⊥BC，
∴OE//AC，
∴∠EOB=∠FAO，
∵OD//BC，
∴AC⊥OD于点F，
∴∠AFO=90°，
在Rt△OBE中，∠OBE=90°，OB=6，BE=4，
∴OE= OB2+BE2=2 13，
∴cos∠EOB=OBOE=62 13=3 1313，
在Rt△AFO中，∠AFO=90°，OA=6，
∴cos∠FAO=AFAO=AF6=3 1313，
∴AF=18 1313． 
【解析】(1)连接OC，先证△DOC≌△DOA，从而求出∠OCD=∠OAD=90°，进而可证DC是⊙O的切线；
(2)连接OE，得出∠AFO=90°，再根据三角函数求得AF的长．
本题主要考查了切线的判定和性质，三角形全等的判定，三角函数的应用，平行线的判定和性质，勾股定理等，本题是一道综合性较强的题目．

25.【答案】A、C 
【解析】解：(1)①根据抛物线过原点，设抛物线解析式为y=ax2+bx，
把x=2，y=0.88和x=6，y=2.16代入y=ax2+bx得：
4a+2b=0.8836a+6b=2.16，
解得a=−0.02b=0.48，
∴抛物线解析式为y=−0.02x2+0.48x；
②当x=8时，y=−0.02×82+0.48×8=2.56，
∵2.56>2.3，
∴喷水头喷出的水柱能越过这棵树；
(2)∵喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，
∴当x=8时，y>2.3，
即−0.04×82+8b>2.3，
故A正确，符合题意；
∵喷水头喷出的水柱不会浇到墙外，
∴当x=18时，y<2.2，
解−0.04×182+18b<2.2，
故B不正确，不符合题，C正确，符合题意；
抛物线对称轴为x=−b2×(−0.04)=b2×0.04，
∵喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，
∴b2×0.04<182=9，
故D不正确，不符合题意．
故答案为：A、C．
(1)①由表格中数据，用待定系数法求出函数解析式即可；
②把x=8代入①中解析式求出y的值与2.3比较即可；
(2)根据题意可知当x=8时y>2.3，当x=18时y<2.2以及对称轴直线x<9即可判断．
本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求出函数解析式和函数性质的应用．

26.【答案】解：(1)∵y=ax2−2a2x−3，
∴抛物线对称轴为直线x=−−2a22a=a；
(2)当a=1时，y=x2−2x−3，
抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
x=−2比x=3距离对称轴远，
∴x=1时，y1=1−2−3=−4为函数最小值，
当x=−2时，y1=4+4−3=5为函数最大值，
∴当−2 (3)∵对称轴为直线x=a，
∴当a>0时，抛物线开口向上，函数有最小值y2，
∴y3−y2>0，
∵(y1−y3)(y3−y2)>0，
∴y1−y3>0，即y1>y3，
∴|2a−1−a|>|a+2−a|，
解得a>3，
当a<0时，抛物线开口向下，函数有最大值y2，
∴y3−y2<0，
∵(y1−y3)(y3−y2)>0，
∴y1−y3<0，即y1 ∴|2a−1−a|>|a+2−a|，
解得−1 ∴a的取值范围是a>3或−1 【解析】(1)由抛物线对称轴为直线x=−b2a求解；
(2)根据−2 (3)根据题意可知：B(a,y2)为抛物线的顶点，分两种情况讨论：a>0时，函数有最小值y2，则y3−y2>0，因为(y1−y3)(y3−y2)>0，则y1−y3>0，即y1>y3，得出|2a−1−a|>|a+2−a|，解得a>3，当a<0时，函数有最大值y2，则y3−y2<0，由(y1−y3)(y3−y2)>0，得出y1|a+2−a|，解得−1 本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．

27.【答案】解：(1)①图形如图2中所示：


②结论：EC⊥BC．
理由：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵∠EAD=∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠B=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
∴EC⊥BC．

(2)当BP=23时，总有EM=EC．

理由：如图3中，作PS⊥BC于S，作PN⊥PS，并使得PN=PS，连接NE，延长NE交BC于Q，连接EM，EC．
∵PD=PE，∠DPE=∠SPN=90°，
∴∠DPS=∠EPN，
∵∠PSD=∠N=90°，
∴△DPS≌△EPN(AAS)，
∴PH=PS，∠PSD=∠N=90°，
∵∠PEQ=//PSQ=∠SPN=90°，
∴四边形PNQS是矩形，
∵PS=PN，
∴四边形PNQS是正方形，
∵BP=23，∠B=45°，AB=2，
∴BS=PS=3 24，BC=2 2，
∴BQ=2BS=3 22，QC= 22，
∵M是BC的中点，
∴MC= 2，
∴MQ=QC= 22，
∵EQ⊥CM，
∴NQ是CM的垂直平分线，
∴EM=EC． 
【解析】(1)①根据要求画出图形即可．
②结论：EC⊥BC.证明△BAD≌△CAE，推出∠ACE=∠B=45°即可解决问题．
(2)当BP=23时，总有EM=EC.如图3中，作PS⊥BC于S，作PN⊥PS，并使得PN=PS，连接NE，延长NE交BC于Q，连接EM，EC.通过计算证明QM=QC，利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可．
本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

28.【答案】解：(1)如图，

∵△OAB 是线段 OA 的“等幂三角形”，
∴S△OAB=OA2，
∵点A(2,0)，
设△OAB 中OA边上的高为h，
S△OAB=12×OA×h=12×2×h=4，
∴h=4，
∴点B 在直线y=4或y=−4上，
又∵△OAB是等腰三角形，
∴点B在半径为2的⊙O上，或在半径为2的⊙A上，或线段OA的垂直平分线上，
综上，点B的坐标为(1,4)或(1,−4)；
(2)如图，

第一个临界点，当点E1和E2在⊙T上，等幂三角形刚好是直角三角形，E1(1,2)，E2(−1,0)，
∴E1E2平行于直线y=x−3，过点E1，E2作直线的垂线D1D2，设CD1=a，D1E1=2a，
在Rt△E1D1C中，CD12+D1E12=CE12，
即a2+(2a)2=( 10)2，
解得a= 2，则CD1= 2，
根据对称性可知CD2= 2，
作CM//x轴，D1M//y轴，则∠D1CM=45°，
∴CM= 22CD1=1，
∴xD1=xM=3，
同理可得xD2=1，
如图，

第二个临界点，E3E4平行于直线y=x−3，与相切于点E5，等幂三角形刚好是直角三角形，CE5=2+ 2，
则E3E5=12CE5=2+ 22，
∴CE3=E3E5=2+ 22，
则xD3=xC+ 22CD1= 2+52，
同理可得xD4=3− 22，
结合图象可知：3− 22 【解析】(1)设△OAB 中OA边上的高为h，根据“等幂三角形”的定义知，h=4，从而得出点B的坐标；
(2)找出△CDE为直角三角形的第一个临界点，当点E1和E2在⊙T上，等幂三角形刚好是直角三角形，E1(1,2)，E2(−1,0)，第二个临界点，E3E4平行于直线y=x−3，与相切于点E5，等幂三角形刚好是直角三角形，CE5=2+ 2，分别画出图形，从而解决问题．
本题是圆的综合题，主要考查了“等幂三角形”的定义，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，圆的相关性质等知识，读懂定义，找到△△CDE为直角三角形时点D的坐标是解决问题(2)的关键．