2023年广东省广州市海珠区南武中学中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年广东省广州市海珠区南武中学中考数学二模试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省广州市海珠区南武中学中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 实数|−2|，−1，0， 8中，最小的是(    )
A. |−2| B. 0 C. −1 D. 8
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )
A. B. C. D.
3. 某校举行“预防溺水，从我做起”演讲比赛，7位评委给选手甲的评分如下：85，88，90，92，93，93，95则这组数据的众数和中位数分别是(    )
A. 93，92 B. 93，93 C. 95，92 D. 95，93
4. 下列运算正确的是(    )
A. 2 2− 2=1 B. (a−1)2=a2+2a+1
C. (−a2)3=−a5 D. a2⋅2a3=2a5
5. 从1，2，3，4四个数中任意取出2个数做加法，其和为奇数的概率是(    )
A. 12 B. 13 C. 23 D. 34
6. 在下列二次根式中，x的取值范围是x>3的是(    )
A.    3−x B. x+3 C. x−3 D. 1x−3
7. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC=2，∠BAC=30°，则劣弧BC的长等于(    )
A. 23π
B. π
C. 2 33π
D. 3π
8. 已知抛物线的图象经过点(−1,10)、(2,3)、(5,10)，则这个抛物线的对称轴是(    )
A. x=6 B. x=2 C. x=4 D. x=8
9. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为(    )
A. 72
B. 52
C. 3
D. 4
10. 如图，在平面直角坐标系中，y轴的正半轴(坐标原点除外)上两点A(0,7)、B(0,3)，C为x轴的正半轴(坐标原点除外)上一动点.当∠ACB取最大值时，点C的横坐标为(    )
A. 5
B. 2
C. 21
D. 21
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 分解因式：3x2−9xy= ______ ．
12. 在▱ABCD中，若∠A+∠C=200°，则∠D=______．


13. 已知实数a在数轴上的对应点的位置如图，化简 (a−1)2+a= ______ ．

14. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，边AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接AD.若BD=6，则AC=        ．

15. 反比例函数y=kx的图象经过点(m,n)，其中m、n是一元二次方程x2+x−6=0的两个根，则k= ______ ．
16. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转使∠DPG=∠DAC，且过D作DG⊥PG于点G，连接CG，则CG最小值为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题4.0分)
解方程组：2x−y=−1x+y=7．
18. (本小题4.0分)
如图，AB=AD，AC平分∠BAD.求证：△ABC≌△ADC．

19. (本小题6.0分)
已知：P=m2−n2m2−mn÷(m+2mn+n2m).
(1)化简P；
(2)若函数y=3xm+n为反比例函数，求P的值．
20. (本小题6.0分)
为了宣传垃圾分类，普及垃圾分类知识，让学生知道更多的垃圾分类知识，学校举行了垃圾分类相关知识竞赛.为了解这次竞赛成绩情况，抽取部分学生成绩作为样本，并将结果分为A、B、C、D四类，其中60分及以下为D类，61～80分为C类，81～99分为B类，100分为A类，绘制了如下的条形统计图和扇形统计图，请结合此图回答下列问题．

(1)此次抽样调查的样本容量为______ ，竞赛成绩为B类的有______ 人，扇形统计图中竞赛成绩为C类所对应的圆心角为______ °；
(2)若这次竞赛成绩为A类或B类的学生可获奖，全校共1200名学生，请估计全校获奖学生人数．
21. (本小题8.0分)
从广州到某市，可乘坐普通大巴走高速公路，也可以乘坐高铁.已知普通大巴行驶的路程是300千米，高铁行驶的路程是普通大巴的1.2倍．
(1)求高铁行驶的路程；
(2)若高铁行驶的平均速度(千米/时)是普通大巴的平均速度(千米/时)的2.4倍，且乘坐高铁所需时间比普通大巴所需时间缩短1.5小时，求高铁平均速度．
22. (本小题10.0分)
如图，已知点A(−2,−2)在双曲线y=kx上，过点A的直线与双曲线的另一支交于点B(1,a)．
(1)求直线AB的解析式；
(2)过点B作BC⊥x轴于点C，连结AC，过点C作CD⊥AB于点D.求线段CD的长．

23. (本小题10.0分)
如图，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为圆O的切线，切点为C．
(1)尺规作图：作∠BDC的平分线分别交AC、BC于点E、F，并求sin∠CFE的值；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)所作的图形中，若AC=3，BC=4，求CF的长．

24. (本小题12.0分)
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，且经过点A(0,32)，B(2,−12)．
(1)求b的值(用含a的代数式表示)；
(2)若二次函数y=ax2+bx+c在1≤x≤3时，y的最大值为1，求a的值；
(3)将线段AB向右平移2个单位得到线段AB′，若线段AB′与抛物线y1=ax2+bx+c+4a−1仅有一个交点，求a的取值范围．
25. (本小题12.0分)
如图，在菱形ABCD中，AB=AC，点E，F，G分别在边BC，CD上，BE=CG，AF平分∠EAG，点H是线段AF上一动点(与点A不重合)．
(1)求证：△AEH≌△AGH；
(2)当AB=12，BE=4时．
①求△DGH周长的最小值；
②若点O是AC的中点，是否存在直线OH将△ACE分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1：3.若存在，请求出AHAF的值；若不存在，请说明理由．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：由题意知，−13，故本选项正确；
故选：D．  
7.【答案】A 
【解析】解：连接OB，OC，

由圆周角定理得，∠BOC=2∠BAC=60°，
又∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC=2，
∴劣弧BC=60π×2180=2π3．
故选：A．
连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC=60°，得到△OBC是等边三角形，求出OB，根据弧长公式计算即可．
本题考查的是圆周角定理，等边三角形的判定和性质，弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键．

8.【答案】B 
【解析】解：∵抛物线的图象经过点(−1,10)、(5,10)，
∴对称轴为x=−1+52=2，
故选：B．
根据抛物线上函数值相等的点离对称轴的距离相等可求得答案．
本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线上函数值相等的点离对称轴的距离相等是解题的关键．

9.【答案】A 
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCE=90°，OD=OB，
∵DF=FE，
∴CF=FE=FD，
∵EC+EF+CF=18，EC=5，
∴EF+FC=13，
∴DC= DE2−EC2=12，
∴BC=CD=12，
∴BE=BC−EC=7，
∵OD=OB，DF=FE，
∴OF=12BE=72，
故选：A．
利用三角形中位线定理求出BE即可解决问题．
本题考查正方形的性质，三角形的中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

10.【答案】D 
【解析】解：如图，过A、B两点的⊙O′与x轴相切于C时，∠ACB最大，
作直径CD，连接BD，
∵⊙O′与x轴相切于C，
∴直径CD⊥OC，
∴∠BCO+∠BCD=90°，
∵CD是圆的直径，
∴∠CBD=90°，
∴∠D+∠BCD=90°，
∴∠BCO=∠D，
∵∠BAC=∠D，
∴∠BCO=∠BAC，
∵∠BOC=∠AOC，
∴△OCB∽△OAC，
∴OC：AO=OB：OC，
∵A的坐标是(0,7)，B的坐标是(0,3)，
∴OB=3，OA=7，
∴OC：7=3：OC，
∴OC= 21，
∴C的横坐标是 21．
故选：D．
过A、B两点的⊙O′与x轴相切于C时，∠ACB最大，由切线的性质得到∠BCO+∠BCD=90°，由圆周角定理得到∠D+∠BCD=90°，因此∠BCO=∠D，而∠BAC=∠D，又∠BOC=∠AOC，即可证明△OCB∽△OAC，得到OC：AO=OB：OC代入有关数据，即可求出OC长，得到C的横坐标．
本题考查坐标与图形的性质，切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，关键是明白过A、B两点的⊙O′与x轴相切于C时，∠ACB最大，由△OCB∽△OAC，求出OC的长，即可解决问题．

11.【答案】3x(x−3y) 
【解析】解：原式=3x(x−3y)．
故答案为：3x(x−3y)．
提公因式3x即可．
本题考查了提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

12.【答案】80° 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AB//CD，
∴∠A+∠D=180°，
又∵∠A+∠C=200°，
∴∠A=100°，∠D=80°．
故答案为：80°．
根据平行四边形的对角相等，对边平行；可得∠A=∠C，∠A+∠D=180°，又由∠A+∠C=200°，可得∠A=100°，∠D=80°．
此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对边平行．此题比较简单，解题时要细心．

13.【答案】1 
【解析】解：由题意可知：a0，在1≤x≤3时，y的最大值为1，
∴x=1时，y=1或x=3时，y=1，
∴1=a−(2a+1)+32或1=9a−3(2a+1)+32，
解得a=−12(舍弃)或a=56．
∴a=56．

(3)∵线段AB向右平移2个单位得到线段A′B′，
∴A′(2,32)，B′(4,−12)，
∴直线A′B′的解析式为y=−x+72，
∵抛物线y=ax2−(2a+1)x+12+4a在2≤x≤4的范围内仅有一个交点，
∴即方程ax2−(2a+1)x+12+4a=−x+72在2≤x≤4的范围内仅有一个根，
整理得ax2−2ax+4a−3=0在2≤x≤4的范围内只有一个解，
即抛物线y=ax2−2ax+4a−3在2≤x≤4的范围内与x轴只有一个交点，

观察图象可知，x=2时，y≤0，x=4时，y≥0，
∴4a−4a+4a−3≤016a−8a+4a−3≥0，
解得，14≤a≤34，
∴14≤a≤34．
当方程ax2−(2a+1)x+12+4a=−x+72有等根时，Δ=0，
∴ax2−2ax+4a−3=0，
∴4a2−4a(4a−3)=0，
解得a=1或0(舍弃)，
当a=1时，交点的横坐标为1，不符合题意，舍弃．
∴14≤a≤34． 
【解析】(1)把A，B代入抛物线的解析式，构建方程组，可得结论．
(2)由题意，x=1或x=3时，y取得最大值1，由此构建方程求解即可．
(3)把问题转化为不等式组，可得结论．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，二次函数的最值问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，把问题转化为方程或不等式组解决，属于中考压轴题．

25.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵AB=AC，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠BCD=120°，
∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴∠ACD=12∠BCD=60°=∠ABC，
∵BE=CG，
∴△ABE≌△ACG(SAS)，
∴AE=AG，
∵AF平分∠EAG，
∴∠EAF=∠GAF，
∵AH=AH，
∴△AEH≌△AGH(SAS)；

(2)①如图1，

过点D作DM⊥BC交BC的延长线于M，连接DE，
∵AB=12，BE=4，
∴CG=4，
∴CE=DG=12−4=8，
由(1)知，△AEH≌△AGH，
∴EH=HG，
∴l△DGH=DH+GH+DG=DH+HE+8，
要是△DGH的周长最小，则EH+DH最小，最小为DE，
在Rt△DCM中，∠DCM=180°−120°=60°，CD=AB=12，
∴CM=6，
∴DM= 3CM=6 3，
在Rt△DME中，EM=CE+CM=14，
根据勾股定理得，DE= EM2+DM2= 142+(6 3)2=4 19，
∴△DGH周长的最小值为4 19+8；

②Ⅰ、当OH与线段AE相交时，交点记作点N，如图2，连接CN，

∴点O是AC的中点，
∴S△AON=S△CON=12S△ACN，
∵三角形的面积与四边形的面积比为1：3，
∴S△AONS△AEC=14，
∴S△CEN=S△ACN，
∴AN=EN，
∵点O是AC的中点，
∴ON//CE，
∴AHAF=12；
Ⅱ、当OH与线段CE相交时，交点记作Q，如图3，

连接AQ，FG，∵点O是AC的中点，
∴S△AOQ=S△COQ=12S△ACQ，
∵三角形的面积与四边形的面积比为1：3，
∴S△COQS△ACE=14，
∴S△AEQ=S△ACQ，
∴CQ=EQ=12CE=12(12−4)=4，
∵点O是AC的中点，
∴OQ//AE，设FQ=x，
∴EF=EQ+FQ=4+x，CF=CQ−FQ=4−x，
由(1)知，AE=AG，
∵AF是∠EAG的角平分线，
∴∠EAF=∠GAF，
∵AF=AF，
∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴FG=EF=4+x，
过点G作GP⊥BC交BC的延长线于P，
在Rt△CPG中，∠PCG=60°，CG=4，
∴CP=12CG=2，PG= 3CP=2 3，
∴PF=CF+CP=4−x+2=6−x，
在Rt△FPG中，根据勾股定理得，PF2+PG2=FG2，
∴(6−x)2+(2 3)2=(4+x)2，
∴x=85，
∴FQ=85，EF=4+85=285，
∵OQ//AE，
∴AHAF=EQEF=4285=57，
即AHAF的值为12或57． 
【解析】(1)先判断出△ABC是等边三角形，进而判断出∠ACD=∠ABC，判断出△ABE≌△ACG，即可得出结论；
(2)①先判断出EH+DH最小时，△DGH的周长最小，在Rt△DCM中，求出CM=6，DM=6 3，在Rt△DME中，根据勾股定理得，DE=4 19，即可得出结论；
②分两种情况：Ⅰ、当OH与线段AE相交时，判断出点N是AE的中点，即可得出结论；
Ⅱ、当OH与CE相交时，判断出点Q是CE的中点，再构造直角三角形，即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的定义，判断出点N是AE的中点和点Q是CE的中点是解本题的关键．