还剩21页未读，
继续阅读
2023年河南省信阳市光山县慧泉中学中考数学二模试卷（含解析）
展开
这是一份2023年河南省信阳市光山县慧泉中学中考数学二模试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省信阳市光山县慧泉中学中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各数中最大的是( )
A. −5 B. 5 C. 0 D. 15
2. 2023年3月17日，河南省统计局发布了今年前2个月全省经济运行情况，消费市场恢复向好.1至2月份，全省社会消费品零售总额4399.91亿元，同比增长7.4%，比上年12月份加快9.4个百分点.数据“4399.91亿”用科学记数法表示为( )
A. 4399.91×108 B. 0.439991×1012 C. 4.39991×1011 D. 4.39991×1012
3. 如图放置的正六棱柱，其俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
4. 下列运算正确的是( )
A. 4x−3x=1 B. (x−y)2=x2−y2
C. (−2x2)3=−6x6 D. 9x2÷3x=3x
5. 如图，l1⊥l3，l2//l4，l3，l4，l1交于一点，若∠1=37°，则∠2的度数为( )
A. 37° B. 53° C. 60° D. 63°
6. 若关于x的一元二次方程x2−x+1=m有两个实数根，则m的值可以为( )
A. 1 B. 0 C. −1 D. −2
7. 让数学历史走进课堂，让数学经典走进学生生活.在某学校一次数学史知识竞赛后，小明收集了本次竞赛成绩，并绘制了如下扇形统计图，则本次竞赛成绩的平均分为( )
A. 85分
B. 90分
C. 80分
D. 87.6分
8. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“相数”.如：8=32−12，16=52−32，24=72−52.下列各数中不是“相数”的是( )
A. 32 B. 34 C. 40 D. 48
9. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2,0)，点B在y轴上，分别以A，B两点为圆心，AB长为半径作弧，在AB右侧交于点C，若点C的纵坐标为3，则点B的坐标为( )
A. (0,6−2 3)
B. (0,2)
C. (0,2 3)
D. (0,4)
10. PTC是一种新型的半导体陶瓷材料，它有一个根据需要设定的温度，称为“居里点温度”，低于这个温度时，其电阻值随温度的升高而减小，高于这个温度时，电阻值则随温度的升高而增大.用PTC材料制成的电热器具有发热、控温双重功能，应用十分广泛.如图1是某款家用电灭蚊器，它的发热部分就使用了PTC发热材料，其电阻值R(kΩ)随温度T(℃)变化的关系图象如图2所示，发热部分的电功率P与电阻R和电压U的关系见图3.下列说法不正确的是( )
A. 由图2，可知该PTC发热材料的“居里点温度”是30℃
B. 当T=70℃时，该PTC发热材料的电阻值为12kΩ
C. 若电压保持不变，当T=30℃时，发热部分的电功率最大
D. 若电压保持不变，发热部分的电功率随温度的升高而增大
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 若式子 x+1x有意义，则x的取值范围是______．
12. 不等式组5−12x≤3x−623+x>4的解集是______ ．
13. 甲、乙、丙三人参加中考体育球类测试，分别从足球或篮球中随机选择一种，则三人选择的测试项目相同的概率为______ ．
14. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点B，D，F均在小正方形的顶点上，且点D在BF上，则图中阴影部分的面积为______ ．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，E为边AB上一点，F为BE的中点，将△ACE沿CE折叠得到△DCE、连接DF，当△DEF为直角三角形时，AE的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题10.0分)
(1)计算：3−8+( 2023−1)0+(12)−1；
(2)化简：(1−x2−2x2−1)÷1x2−2x+1．
17. (本小题9.0分)
某公司生产A，B两种型号的电冰箱，为了解它们的耗电量，工作人员从某月生产的A，B型电冰箱中各随机抽取10台，在完全相同的条件下试验，记录下它们耗电量的数据(单位：度)，并对数据进行整理、描述和分析(耗电量用x表示，共分为三个等级：合格：40
10台B型电冰箱中“良好”等级包含的所有数据：35，35，35，37，38．
抽取的A，B型电冰箱耗电量统计表
平均数
中位数
众数
优秀率
A
38.1
38.5
m
10%
B
35.5
n
35
20%
根据以上信息，解答下列问题：
(1)表中m= ______ ；n= ______ ；
(2)该公司这个月可生产B型电冰箱共1000台，估计该月B型电冰箱“合格”等级的台数；
(3)根据以上信息，你认为该公司生产的哪种型号的电冰箱更省电？请说明理由(写出一条即可)．
18. (本小题9.0分)
如图，在平面直角坐标系中，直线l⊥y轴于点A(0,2)，已知点B(4,0)，连接AB．
(1)尺规作图：作线段AB的垂直平分线，交直线l于点C；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，若反比例函数y1=kx(x>0)的图象经过点C，求k的值；
(3)在(1)(2)的条件下，画出反比例函数y1=kx(x>0)的图象，若线段AB的垂直平分线的解析式为y2=nx+b，当y1
19. (本小题9.0分)
望京楼又名崇本书楼，位于河南省卫辉市东北隅卫辉古城内.望京楼以其独特的建筑艺术、成为全国保存完整、规模最大、价值最高的建筑之一.某数学兴趣小组使用测角仪和卷尺测量望京楼AB的高度，如图，他们在望京楼正前方D处放置1.5m高的测角仪(MD)，测得望京楼最高处A的仰角为37°，沿DB方向前进10.5m到达C处，又测得望京楼最高处A的仰角为45°(测量点C，D与望京楼最低处B在同一水平线上).请根据以上数据计算出望京楼AB的高度.(结果保留整数参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
20. (本小题9.0分)
某学校因教学需要，现需购买一批教学用品、学校打算到甲，乙两家超市进行购买，两家超市针对教学用品有两种优惠方式：
甲超市：所有教学用品均八折出售；
乙超市：一次性购买教学用品总金额不超过500元，原价出售，若超过500元，则超过的部分六折出售．
设需要购买的教学用品的原价总金额为x元，按照甲超市的优惠方式实际支付金额为y1元，按照乙超市的优惠方式实际支付金额为y2元，其函数图象如图所示．
(1)图中折线OBC表示______ 的优惠方式.射线OC表示______ 的优惠方式；(填“甲超市”或“乙超市”)
(2)分别求出y1，x2与x的函数关系式及点C的坐标，并说明点C的实际意义；
(3)若学校需要购买原价总金额为1500元的教学用品，去哪家超市购买更合算？
21. (本小题9.0分)
古代纺纱工具——手摇纺车，据推测出现在战国时期，常见由木架、锭子、绳轮和手柄四部分组成，常见的手摇纺车是锭子在左，绳轮和手柄在右，中间用绳弦传动，称为卧式(如图1).另一种手摇纺车，则是把锭子安装在绳轮之上，也是用绳弦传动，称为立式(如图2).卧式由一人操作，而立式需要两人同时配合操作，因卧式更适合一家一户的农村副业之用，故一直沿习流传至今．
某数学实践小组对卧式手摇铲车纺线时的场景进行了探究：纺线时(如图3)，木架水平放置.即绳轮⊙O与水平面DE相切于点E，线绳绕过绳轮汇聚于点D处放置的锭子上，即线绳CD与⊙O相切于点C，过切点E的直径与⊙O交于点A(图中点O、A、E、D、C在同一平面内)．
(1)求证：∠AOO=∠CDE；
(2)该小组在实践过程中发现，当纺车的绳轮半径OE为40cm，且圆心O与D处锭子之间的水平距离DE在70～120cm之间时，纺线较为舒适.若∠CDE=30°，OE=40cm，请判断该纺车纺线时是否舒适并说明理由.(参考数据： 3≈1.7)
22. (本小题10.0分)
已知二次函数y=a(x+1)(x−3)(a>0)的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C．
(1)若OC=OB，求a的值．
(2)点P(m,y1)，Q(m+1,y2)，T(2,y3)是二次函数y=a(x+1)(x−3)图象上三个不同的点．
①当y1=y2时，求m的值；
②当y1
综合与实践
如图1，在正方形ABCD中，AB=2，P是正方形内一点，连接PA，PB，且∠APB=90°，将△ABP绕点B顺时针旋转90°，得到△CBP′，延长AP交CP′于点T．
【问题发现】
(1)根据旋转的性质，易得四边形BPTP′是______ .(填特殊四边形的名称)
【深入探究】
(2)如图2，过点D作DQ⊥AP于点Q，连接QP′.请判断四边形CDQP′的形状，并说明理由．
【拓展应用】
(3)在(2)的条件下，若点Q是AP的三等分点，请直接写出线段CT的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵−5<0<15<5，
∴题中各数中最大的是5，
故选：B．
运用正数>0>负数的知识进行比较、求解．
此题考查了有理数大小比较的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
2.【答案】C
【解析】解：∵1亿=108，
∴4399.91亿=4399.91×108=4.39991×1011．
故选：C．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：由题图，可知该正六棱柱的主视图为：
．
故选：C．
找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
4.【答案】D
【解析】解：A、4x−3x=x，故A不符合题意；
B、(x−y)2=x2−2xy+y2，故B不符合题意；
C、(−2x2)3=−8x6，故C不符合题意；
D、9x2÷3x=3x，故D符合题意；
故选：D．
利用合并同类项的法则，完全平方公式，整式的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5.【答案】B
【解析】解：如图所示．
∵l1⊥l3，
∴∠1+∠3=90°．
∵∠1=37°，
∴∠3=53°．
∵l2//l4，
∴∠2=∠3=53°．
故选：B．
依据题意，根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”，将求∠2转化成求与它相等的角，再由余角的性质即可得解．
本题考查了平行线的性质及垂线的性质，解题时需要熟练掌握角的转化是本题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：方程化为一般式为x2−x+1−m=0，
根据题意得Δ=(−1)2−4(1−m)≥0，
解得m≥34，
即m的取值范围为m≥34，
所以m的值可以为1．
故选：A．
先把方程化为乙般式，再根据一元二次方程根的判别式的意义得到Δ=(−1)2−4(1−m)≥0，然后解不等式得到m的范围，从而可对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
7.【答案】D
【解析】解：由题意可知，本次竞赛成绩的平均分为：
100×25%+90×(1−25%−12%−25%)+80×25%+70×12%=87.6(分)．
故选：D．
根据加权平均数的定义列式计算即可．
本题考查扇形统计图，加权平均数．扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数(单位1)，用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．掌握加权平均数的定义是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：设两个连续奇数中较小的奇数为2n−1，则较大的奇数为2n+1，其中n为正整数．
∵(2n+1)2−(2n−1)2=(2n+1+2n−1)(2n+1−2n+1)=8n，
∴“相数”一定是8的倍数，
故选：B．
首先设连续的两个连续的奇数中较小的奇数为2n−1，则较大的奇数为2n+1，然后利用平方差公式计算∵(2n+1)2−(2n−1)2=8n，从而得出结论：“相数”一定是8的倍数，据此即可得出答案．
此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键熟练掌握应用平方差公式进行因式分解，难点是根据题意用两个代数式表示出两个连续奇数的．
9.【答案】A
【解析】解：过点A作AD⊥AB交BC的延长线于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，如图所示，
由题意得：∠BOA=∠BAD=∠AED=90°，
∵∠DAE+∠ADE=90°，∠BAO+∠DAE=90°，
∴∠BAO=∠ADE，
∴△BOA∽△AED，
∴AODE=ABDA．
由题意，知AB=AC=BC，
∴△ABC是等边三角形．
∴∠CBA=∠BAC=60°．
∴AODE=ABDA= 33．
∴AO=2，
∴DE=2 3．
∴∠CAD=∠CDA=30°，
∴CD=AC=BC，
∴C为BD的中点．
∵点C的纵坐标为3，点D的纵坐标为2 3，
∴点B的纵坐标为：3×2−2 3=6−2 3，
即点B的坐标为：(0,6−2 3)，
故选A．
过点A作AD⊥AB交BC的延长线于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，可求得△BOA∽△AED，则有AODE=ABDA.再由题意可得△ABC是等边三角形，可求得DE=2 3.∠CAD=∠CDA=30°，即可求点B的坐标．
本题主要考查坐标与图形性质，解答的关键是构造相应的三角相似．
10.【答案】D
【解析】解：由题图2，可知该PTC发热材料的“居里点温度”是30℃，故选项A说法正确，不符合题意；
由题图2，可知当T=70℃时，该PTC发热材料的电阻值为12kΩ，故选项B说法正确，不符合题意；
∵电压保持不变，且U>0，R>0，∴P随R的增大而减小，∴当R取得最小值时，P最大，由题图2，可知当R最小时，T=30℃，故选项C说法正确，不符合题意；
由题图2，可知当10℃≤7≤30℃时，R随T的增大而减小，当T>30℃时，R随T的增大而增大，
∴若电压保持不变，当10℃≤T≤30℃时，P随T的增大而增大，当T>30℃时，P随T的增大而减小，故选项D说法不正确，符合题意．
故选：D．
根据函数图象解答即可．
本题考查了函数的图象，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．
11.【答案】x≥−1且x≠0
【解析】
【分析】
此题主要考查了二次根式的意义和性质：概念：式子 a(a≥0)叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义；当分母中含字母时，还要考虑分母不等于零．根据二次根式及分式有意义的条件解答即可．
【解答】
解：根据二次根式的性质可知：x+1≥0，即x≥−1，
又因为分式的分母不能为0，
所以x的取值范围是x≥−1且x≠0，
故答案为x≥−1且x≠0．
12.【答案】x≥4
【解析】解：5−12x≤3x−62①3+x>4②，
解不等式①得：x≥4，
解不等式②得：x>1，
∴原不等式组的解集为：x≥4．
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
13.【答案】14
【解析】解：由题意，画树状图如下．
由树状图，可知共有8种等可能的结果，其中三人选择的测试项目相同的结果有2种，
∴P(三人选择的测试项目相同)=28=14，
故答案为：14．
画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】17π2−23
【解析】解：如图，圆心O是CF和EF的垂直平分线的交点，连接OC，OA，OB，
如图所示，则OB=OF= 32+52= 34，∠BOF=90°，
∴S扇形OFB=90π×( 34)2360=17π2，S△BOF=12BO⋅OF=17．
∵S△BDF=12×6×2=6，
∴S阴影=17π2−17−6=17π2−23．
故答案为：17π2−23．
先确定圆心O，再求半径和圆心角，根据S阴影=S扇形BOF−S△OFB−S△BDF即可求出答案．
本题考查扇形的面积、三角形的面积，解题的关键是理解题意，运用数形结合解决问题．
15.【答案】3− 3或2
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∵∠B=60°，
∴∠A=30°，
如解图1所示，由翻折可知：∠EDM=∠A=30°，
∴∠DME=60°．
∴∠CMB=60°，
∴△CMB为等边三角形，
∴MB=CM=CB=2，
∴AB=2BC=4，
∴CD=AC= 3CB=2 3，
∴DM=CD−CM=2 3−2，
∵∠EDM=30°，
∴EM=12DM= 3−1，
∴AE=AB−BM−EM=4−2− 3+1=3− 3；
②当∠DFE=90°时，如解图2所示，此时点F在线段CD上，
∴CF⊥AB．
∵∠A=30°，
∴∠ACF=60°，
∵∠ACE=∠DCE，
∴∠ACE=∠DCE=30°，
∴∠CEB=60°，
∴△CEB为等边三角形，
∴CE=BE=CB=2，
∴AE=AB−BE=2，
综上所述，当△DEF为直角三角形时，AE的长为3− 3或2．
故答案为：3− 3或2．
根据题意，需分以下两种情况讨论．①当∠DEF=90°时，设CD交AB于点M，②当∠DFE=90°时，如图2所示，易得此时点F在线段CD上，即CF⊥AB，利用等边三角形的性质即可解决问题．
本题考查折叠的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握折叠的性质．
16.【答案】解：(1)原式=−2+1+2=1；
(2)原式=(x2−1x2−1−x2−2x2−1)÷1(x−1)2
=1(x+1)(x−1)⋅(x−1)2
=x−1x+1．
【解析】(1)利用零指数幂的意义，三次根式的性质，负整数指数幂的意义化简运算即可；
(2)根据分式的运算法则化简即可．
本题主要考查了实数运算，分式的化简，掌握正确化简各数及进行分式运算是解题关键．
17.【答案】35 36
【解析】解：(1)10台A型电冰箱耗电量中，35出现的次数最多，故众数m=35；
由表格，可知抽取的10台B型电冰箱耗电量的优秀率为20%，
∴“优秀”等级的台数为2．
又∵“良好”等级的台数为5，
∴把10台B型电冰箱耗电量从小到大排列，排在中间的两个数分别是35，37，故中位数n=35+372=36，
故答案为：35，36；
(2)10台B型电冰箱耗电量，“合格”等级的有：10−2−5=3(台)，
1000×310=300(台)．
答：估计该月B型电冰箱“合格”等级的台数大约为300台；
(3)该公司生产的B型电冰箱更省电．
理由：B型电冰箱耗电量的优秀率为20%，大于A型电冰箱耗电量的优秀率10%，且B型电冰箱耗电量的平均数小于A型电冰箱耗电量的平均数，所以该公司生产的B型电冰箱更省电．(答案不唯一，理由合理即可)
(1)根据众数和中位数的定义解答即可；
(2)用1000乘样本中“合格”等级所占比例即可；
(3)根据抽取的A，B型电冰箱耗电量的平均数和优秀率解答即可．
本题考查用样本估计总体、中位数和众数，掌握中位数、众数的意义是正确解答的前提．
18.【答案】解：(1)作出的垂直平分线如解图1所示；
(2)过点C作CG⊥x轴于点G，连接BC，如解图2所示．
∵B(4,0)，
∴OB=4．
设点C的坐标为(m,2)，
则AC=OG=m，CG=2，GB=4−m．
由垂直平分线的性质，可知AC=BC=m．
在Rt△CGB中，由勾股定理，得GB2+CG2=BC2，即(4−m)2+22=m2，
解得m=2.5，
∴点C的坐标为(2.5,2)．
将点C(2.5,2)代入y1=kx中，得k=5；
(3)反比例函数y1=5x(x>0)的图象如解图3所示，
当y12.5．
【解析】(1)根要求作出图形即可；
(2)过点C作CG⊥x轴于点G，连接BC，设点C的坐标为(m,2)，则AC=OG=m，CG=2，GB=4−m.由垂直平分线的性质得到AC=BC=m.根据勾股定理得到关于m的方程，求出得到点C的坐标，即可求出k；
(3)根据图象即可得的答案．
本题是反比例函数综合题，考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，待定系数法求函数的解析式，正确地作出图形是解题的关键．
19.【答案】解：延长MN交AB于点E，
由题意得：EB=CN=MD=1.5m，MN=CD=10.5m，
设EN=x m，
∴ME=EN+MN=(x+10.5)m，
在Rt△AEN中，∠ANE=45°，
∴AE=EN⋅tan45°=x(m)，
在Rt△AEM中，∠AME=37°，
∴AE=EM⋅tan37°=0.75(x+10.5)m，
∴x=0.75(x+10.5)，
解得：x=31.5，
∴AB=AE+BE=31.5+1.5=33(m)，
答：望京楼AB的高度约为33m．
【解析】延长MN交AB于点E，根据题意可得：EB=CN=MD=1.5m，MN=CD=10.5m，然后设EN=x m，则ME=(x+10.5)m，在Rt△AEN中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，再在Rt△AEM中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20.【答案】乙超市 甲超市
【解析】解：(1)根据题意，折线OBC表示乙超市的优惠方式；射线OC表示甲超市的优惠方式；
故答案为：乙超市，甲超市；
(2)∵甲超市所有教学用品均八折出售，
∴y1=0.8x；
∵乙超市：一次性购买教学用品总金额不超过500元，原价出售，若超过500元，则超过的部分六折出售；
∴当0≤x≤500时，y2=x；
当x>500时，y2=500+(x−500)×0.6=0.6x+200；
∴y2=x(0≤x≤500)0.6x+200(x>500)；
由y=0.8xy=0.6x+200得x=1000y=800，
∴C(1000,800)，
C的实际意义为：当购买原价为1000的教学用品时，到甲超市和乙超市付款总金额都是800元；
(3)由(2)知，当购买原价为1000的教学用品时，到甲超市和乙超市付款总金额相同，
∵1500>1000，且超过1000元的部分，甲超市打八折，乙超市打六折，
∴学校需要购买原价总金额为1500元的教学用品，去乙超市购买更合算．
(1)根据题意，折线OBC表示乙超市的优惠方式；射线OC表示甲超市的优惠方式；
(2)由甲超市所有教学用品均八折出售，得y1=0.8x；根据乙超市：一次性购买教学用品总金额不超过500元，原价出售，若超过500元，则超过的部分六折出售；可得y2=x(0≤x≤500)0.6x+200(x>500)；联立解析式解得C(1000,800)，C的实际意义为当购买原价为1000的教学用品时，到甲超市和乙超市付款总金额都是800元；
(3)由购买原价为1000的教学用品时，到甲超市和乙超市付款总金额相同，超过1000元的部分，甲超市打八折，乙超市打六折，可知学校需要购买原价总金额为1500元的教学用品，去乙超市购买更合算．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
21.【答案】(1)证明：在四边形OCDE中，
∵∠OCD+∠OED=180°，
∵DC和DE为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，OE⊥DE．
∴∠OCD=∠OED=90°．
∴∠CDE+∠COE=180°．
又∵∠AOC+∠COE=180°，
∴∠AOC=∠CDE．
(2)解：该纺车纺线时不舒适．
理由如下：
过点C分别作CF⊥AE于点F，CG⊥DE于点G，如解图所示，则四边形EFCG是矩形．
∴CF=EG，EF=CG．
由题意，得OE=OC=40．
在Rt△OCF中，
∴CF=12CO=20，FO= 32CO=20 3．
∴CG=EF=40+20 3．
在Rt△CGD中，∠CDG=30°，
∴DG=CGtan30∘= 3×(40+20 3)=40 3+60．
∴DE=EG+GD=20+40 3+60=80+40 3≈148．
∵148>120，
∴该纺车纺线时不舒适．
【解析】(1)根据DC和DE为⊙O的切线，得出∠OCD=∠OED=90°，再根据∠CDE+∠COE=180°，∠AOC+∠COE=180°，解答即可；
(2)在Rt△OCF中，∠COF=∠CDE=30°，解出EG、DG的长即可解答．
本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，掌握直角三角形的性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)令a(x+1)(x−3)=0，
解得x1=−1，x2=3．
又∵点A在点B的左边，
∴点A(−1,0)，点B(3,0)．
∵OC=OB，且a>0，
∴点C的坐标为(0,−3)．
∴当x=0时，
−3a=−3，
解得a=1．
答：a的值为1．
(2)①由题意可知，抛物线的对称轴为直线x=−1+32=1，
∵y1=y2，
∴点P，Q关于直线x=1对称．
∴m+m+1=1×2，
解得m=12．
答：m的值为12．
②由题意可得点T(2,y3)关于对称轴直线x=1对称的点为(0,y3)，
结合函数图象，
∵y1
又∵y3
综上所述，当y1
(2)①由题意可知，抛物线的对称轴为直线x=−1+32=1，由y1=y2，得点P，Q关于直线x=1对称，列方程求解即可．
②由题意可得点T(2,y3)关于对称轴直线x=1对称的点为(0,y3)，根据二次函数的图象与性质求解即可．
本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．
23.【答案】正方形
【解析】解：(1)由旋转的性质，可知：∠PBP′=90°，∠BP′C=∠BPA=90°，PB=P′B，
∴∠BPT=∠BP′T=∠PBP′=90°，
∴四边形BPTP′是矩形．
又∵PB=P′B，
∴矩形BPTP′是正方形．
故答案为：正方形；
(2)四边形CDQP′是平行四边形，理由如下：
∵四边形BPTP′是正方形，
∴∠PTP′=90°．
∵DQ⊥AP，
∴∠PQD=90°，
∴∠PQD=∠PTP′，
∴DQ//CP′．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，AB=DA．
∵∠DAQ+∠PAB=90°，∠PAB+∠ABP=90°，
∴∠DAQ=∠ABP．
在△DAQ和△ABP中，
∠AQD=∠BPA=90°∠DAQ=∠ABPDA=AB，
∴△DAQ≌△ABP(AAS)，
∴DQ=AP．
由旋转的性质，可知：AP=CP′，
∴DQ=CP′，
∴四边形CDQP′是平行四边形；
(3)∵△DAQ≌△ABP，
∴AQ=BP．
∵BP=TP′，AP=CP′，
∴AQ=TP′，
∴CT=CP′−TP′=AP−AQ=PQ．
∵点Q是AP的三等分点，
∴分两种情况考虑：
①当AP=3PQ时，设PQ=x，则AP=3x，AQ=BP=2x．
在Rt△ABP中，有AP2+BP2=AB2，
∴(3x)2+(2x)2=22，
解得：x1=2 1313，x2=−2 1313(不符合题意，舍去)，
∴CT=2 1313；
②当AP=3AQ时，设AQ=y，则BP=y，AP=3y，PQ=2y．
在Rt△ABP中，有AP2+BP2=AB2，
∴(3y)2+y2=22，
解得：y1= 105，y2=− 105(不符合题意，舍去)，
∴CT=PQ=2y=2 105．
综上所述，当点Q是AP的三等分点时，线段CT的长为2 1313或2 105．
(1)利用旋转的性质，可得出∠PBP′=90°，∠BP′C=∠BPA=90°，PB=P′B，进而可得出∠BPT=∠BP′T=∠PBP′=90°，利用矩形的判定定理，可得出四边形BPTP′是矩形，再结合PB=P′B，即可得出矩形BPTP′是正方形；
(2)四边形CDQP′是平行四边形，利用正方形的性质及垂线的定义，可得出AB=DA，∠PTP′=90°=∠PQD，利用平行线的判定定义，可得出DQ//CP′，利用同角的余角相等，可得出∠DAQ=∠ABP，进而可证出△DAQ≌△ABP(AAS)，利用全等三角形的性质，可得出DQ=AP，结合旋转的性质，可得出DQ=CP′，结合DQ//CP′，可得出四边形CDQP′是平行四边形；
(3)由全等三角形的性质及各边间的关系，可得出CT=PQ，分AP=3PQ及AP=3AQ两种情况考虑，①当AP=3PQ时，设PQ=x，则AP=3x，AQ=BP=2x，在Rt△ABP中，利用勾股定理，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，可得出CT的长；②当AP=3AQ时，设AQ=y，则BP=y，AP=3y，PQ=2y，在Rt△ABP中，利用勾股定理，可得出关于y的一元二次方程，解之可得出y值，取其正值代入2y中，可得出CT的长．
本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、平行四边形的判定、正方形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：(1)利用正方形的判定定理，找出四边形BPTP′是正方形；(2)利用平行线的判定定理、全等三角形的性质及旋转的性质，找出DQ//CP′且DQ=CP′；(3)分AP=3PQ及AP=3AQ两种情况，利用勾股定理列出一元二次方程．
2023年河南省信阳市光山县慧泉中学中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各数中最大的是( )
A. −5 B. 5 C. 0 D. 15
2. 2023年3月17日，河南省统计局发布了今年前2个月全省经济运行情况，消费市场恢复向好.1至2月份，全省社会消费品零售总额4399.91亿元，同比增长7.4%，比上年12月份加快9.4个百分点.数据“4399.91亿”用科学记数法表示为( )
A. 4399.91×108 B. 0.439991×1012 C. 4.39991×1011 D. 4.39991×1012
3. 如图放置的正六棱柱，其俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
4. 下列运算正确的是( )
A. 4x−3x=1 B. (x−y)2=x2−y2
C. (−2x2)3=−6x6 D. 9x2÷3x=3x
5. 如图，l1⊥l3，l2//l4，l3，l4，l1交于一点，若∠1=37°，则∠2的度数为( )
A. 37° B. 53° C. 60° D. 63°
6. 若关于x的一元二次方程x2−x+1=m有两个实数根，则m的值可以为( )
A. 1 B. 0 C. −1 D. −2
7. 让数学历史走进课堂，让数学经典走进学生生活.在某学校一次数学史知识竞赛后，小明收集了本次竞赛成绩，并绘制了如下扇形统计图，则本次竞赛成绩的平均分为( )
A. 85分
B. 90分
C. 80分
D. 87.6分
8. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“相数”.如：8=32−12，16=52−32，24=72−52.下列各数中不是“相数”的是( )
A. 32 B. 34 C. 40 D. 48
9. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2,0)，点B在y轴上，分别以A，B两点为圆心，AB长为半径作弧，在AB右侧交于点C，若点C的纵坐标为3，则点B的坐标为( )
A. (0,6−2 3)
B. (0,2)
C. (0,2 3)
D. (0,4)
10. PTC是一种新型的半导体陶瓷材料，它有一个根据需要设定的温度，称为“居里点温度”，低于这个温度时，其电阻值随温度的升高而减小，高于这个温度时，电阻值则随温度的升高而增大.用PTC材料制成的电热器具有发热、控温双重功能，应用十分广泛.如图1是某款家用电灭蚊器，它的发热部分就使用了PTC发热材料，其电阻值R(kΩ)随温度T(℃)变化的关系图象如图2所示，发热部分的电功率P与电阻R和电压U的关系见图3.下列说法不正确的是( )
A. 由图2，可知该PTC发热材料的“居里点温度”是30℃
B. 当T=70℃时，该PTC发热材料的电阻值为12kΩ
C. 若电压保持不变，当T=30℃时，发热部分的电功率最大
D. 若电压保持不变，发热部分的电功率随温度的升高而增大
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 若式子 x+1x有意义，则x的取值范围是______．
12. 不等式组5−12x≤3x−623+x>4的解集是______ ．
13. 甲、乙、丙三人参加中考体育球类测试，分别从足球或篮球中随机选择一种，则三人选择的测试项目相同的概率为______ ．
14. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点B，D，F均在小正方形的顶点上，且点D在BF上，则图中阴影部分的面积为______ ．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，E为边AB上一点，F为BE的中点，将△ACE沿CE折叠得到△DCE、连接DF，当△DEF为直角三角形时，AE的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题10.0分)
(1)计算：3−8+( 2023−1)0+(12)−1；
(2)化简：(1−x2−2x2−1)÷1x2−2x+1．
17. (本小题9.0分)
某公司生产A，B两种型号的电冰箱，为了解它们的耗电量，工作人员从某月生产的A，B型电冰箱中各随机抽取10台，在完全相同的条件下试验，记录下它们耗电量的数据(单位：度)，并对数据进行整理、描述和分析(耗电量用x表示，共分为三个等级：合格：40
10台B型电冰箱中“良好”等级包含的所有数据：35，35，35，37，38．
抽取的A，B型电冰箱耗电量统计表
平均数
中位数
众数
优秀率
A
38.1
38.5
m
10%
B
35.5
n
35
20%
根据以上信息，解答下列问题：
(1)表中m= ______ ；n= ______ ；
(2)该公司这个月可生产B型电冰箱共1000台，估计该月B型电冰箱“合格”等级的台数；
(3)根据以上信息，你认为该公司生产的哪种型号的电冰箱更省电？请说明理由(写出一条即可)．
18. (本小题9.0分)
如图，在平面直角坐标系中，直线l⊥y轴于点A(0,2)，已知点B(4,0)，连接AB．
(1)尺规作图：作线段AB的垂直平分线，交直线l于点C；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，若反比例函数y1=kx(x>0)的图象经过点C，求k的值；
(3)在(1)(2)的条件下，画出反比例函数y1=kx(x>0)的图象，若线段AB的垂直平分线的解析式为y2=nx+b，当y1
19. (本小题9.0分)
望京楼又名崇本书楼，位于河南省卫辉市东北隅卫辉古城内.望京楼以其独特的建筑艺术、成为全国保存完整、规模最大、价值最高的建筑之一.某数学兴趣小组使用测角仪和卷尺测量望京楼AB的高度，如图，他们在望京楼正前方D处放置1.5m高的测角仪(MD)，测得望京楼最高处A的仰角为37°，沿DB方向前进10.5m到达C处，又测得望京楼最高处A的仰角为45°(测量点C，D与望京楼最低处B在同一水平线上).请根据以上数据计算出望京楼AB的高度.(结果保留整数参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
20. (本小题9.0分)
某学校因教学需要，现需购买一批教学用品、学校打算到甲，乙两家超市进行购买，两家超市针对教学用品有两种优惠方式：
甲超市：所有教学用品均八折出售；
乙超市：一次性购买教学用品总金额不超过500元，原价出售，若超过500元，则超过的部分六折出售．
设需要购买的教学用品的原价总金额为x元，按照甲超市的优惠方式实际支付金额为y1元，按照乙超市的优惠方式实际支付金额为y2元，其函数图象如图所示．
(1)图中折线OBC表示______ 的优惠方式.射线OC表示______ 的优惠方式；(填“甲超市”或“乙超市”)
(2)分别求出y1，x2与x的函数关系式及点C的坐标，并说明点C的实际意义；
(3)若学校需要购买原价总金额为1500元的教学用品，去哪家超市购买更合算？
21. (本小题9.0分)
古代纺纱工具——手摇纺车，据推测出现在战国时期，常见由木架、锭子、绳轮和手柄四部分组成，常见的手摇纺车是锭子在左，绳轮和手柄在右，中间用绳弦传动，称为卧式(如图1).另一种手摇纺车，则是把锭子安装在绳轮之上，也是用绳弦传动，称为立式(如图2).卧式由一人操作，而立式需要两人同时配合操作，因卧式更适合一家一户的农村副业之用，故一直沿习流传至今．
某数学实践小组对卧式手摇铲车纺线时的场景进行了探究：纺线时(如图3)，木架水平放置.即绳轮⊙O与水平面DE相切于点E，线绳绕过绳轮汇聚于点D处放置的锭子上，即线绳CD与⊙O相切于点C，过切点E的直径与⊙O交于点A(图中点O、A、E、D、C在同一平面内)．
(1)求证：∠AOO=∠CDE；
(2)该小组在实践过程中发现，当纺车的绳轮半径OE为40cm，且圆心O与D处锭子之间的水平距离DE在70～120cm之间时，纺线较为舒适.若∠CDE=30°，OE=40cm，请判断该纺车纺线时是否舒适并说明理由.(参考数据： 3≈1.7)
22. (本小题10.0分)
已知二次函数y=a(x+1)(x−3)(a>0)的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C．
(1)若OC=OB，求a的值．
(2)点P(m,y1)，Q(m+1,y2)，T(2,y3)是二次函数y=a(x+1)(x−3)图象上三个不同的点．
①当y1=y2时，求m的值；
②当y1
综合与实践
如图1，在正方形ABCD中，AB=2，P是正方形内一点，连接PA，PB，且∠APB=90°，将△ABP绕点B顺时针旋转90°，得到△CBP′，延长AP交CP′于点T．
【问题发现】
(1)根据旋转的性质，易得四边形BPTP′是______ .(填特殊四边形的名称)
【深入探究】
(2)如图2，过点D作DQ⊥AP于点Q，连接QP′.请判断四边形CDQP′的形状，并说明理由．
【拓展应用】
(3)在(2)的条件下，若点Q是AP的三等分点，请直接写出线段CT的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵−5<0<15<5，
∴题中各数中最大的是5，
故选：B．
运用正数>0>负数的知识进行比较、求解．
此题考查了有理数大小比较的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
2.【答案】C
【解析】解：∵1亿=108，
∴4399.91亿=4399.91×108=4.39991×1011．
故选：C．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：由题图，可知该正六棱柱的主视图为：
．
故选：C．
找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
4.【答案】D
【解析】解：A、4x−3x=x，故A不符合题意；
B、(x−y)2=x2−2xy+y2，故B不符合题意；
C、(−2x2)3=−8x6，故C不符合题意；
D、9x2÷3x=3x，故D符合题意；
故选：D．
利用合并同类项的法则，完全平方公式，整式的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5.【答案】B
【解析】解：如图所示．
∵l1⊥l3，
∴∠1+∠3=90°．
∵∠1=37°，
∴∠3=53°．
∵l2//l4，
∴∠2=∠3=53°．
故选：B．
依据题意，根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”，将求∠2转化成求与它相等的角，再由余角的性质即可得解．
本题考查了平行线的性质及垂线的性质，解题时需要熟练掌握角的转化是本题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：方程化为一般式为x2−x+1−m=0，
根据题意得Δ=(−1)2−4(1−m)≥0，
解得m≥34，
即m的取值范围为m≥34，
所以m的值可以为1．
故选：A．
先把方程化为乙般式，再根据一元二次方程根的判别式的意义得到Δ=(−1)2−4(1−m)≥0，然后解不等式得到m的范围，从而可对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
7.【答案】D
【解析】解：由题意可知，本次竞赛成绩的平均分为：
100×25%+90×(1−25%−12%−25%)+80×25%+70×12%=87.6(分)．
故选：D．
根据加权平均数的定义列式计算即可．
本题考查扇形统计图，加权平均数．扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数(单位1)，用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．掌握加权平均数的定义是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：设两个连续奇数中较小的奇数为2n−1，则较大的奇数为2n+1，其中n为正整数．
∵(2n+1)2−(2n−1)2=(2n+1+2n−1)(2n+1−2n+1)=8n，
∴“相数”一定是8的倍数，
故选：B．
首先设连续的两个连续的奇数中较小的奇数为2n−1，则较大的奇数为2n+1，然后利用平方差公式计算∵(2n+1)2−(2n−1)2=8n，从而得出结论：“相数”一定是8的倍数，据此即可得出答案．
此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键熟练掌握应用平方差公式进行因式分解，难点是根据题意用两个代数式表示出两个连续奇数的．
9.【答案】A
【解析】解：过点A作AD⊥AB交BC的延长线于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，如图所示，
由题意得：∠BOA=∠BAD=∠AED=90°，
∵∠DAE+∠ADE=90°，∠BAO+∠DAE=90°，
∴∠BAO=∠ADE，
∴△BOA∽△AED，
∴AODE=ABDA．
由题意，知AB=AC=BC，
∴△ABC是等边三角形．
∴∠CBA=∠BAC=60°．
∴AODE=ABDA= 33．
∴AO=2，
∴DE=2 3．
∴∠CAD=∠CDA=30°，
∴CD=AC=BC，
∴C为BD的中点．
∵点C的纵坐标为3，点D的纵坐标为2 3，
∴点B的纵坐标为：3×2−2 3=6−2 3，
即点B的坐标为：(0,6−2 3)，
故选A．
过点A作AD⊥AB交BC的延长线于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，可求得△BOA∽△AED，则有AODE=ABDA.再由题意可得△ABC是等边三角形，可求得DE=2 3.∠CAD=∠CDA=30°，即可求点B的坐标．
本题主要考查坐标与图形性质，解答的关键是构造相应的三角相似．
10.【答案】D
【解析】解：由题图2，可知该PTC发热材料的“居里点温度”是30℃，故选项A说法正确，不符合题意；
由题图2，可知当T=70℃时，该PTC发热材料的电阻值为12kΩ，故选项B说法正确，不符合题意；
∵电压保持不变，且U>0，R>0，∴P随R的增大而减小，∴当R取得最小值时，P最大，由题图2，可知当R最小时，T=30℃，故选项C说法正确，不符合题意；
由题图2，可知当10℃≤7≤30℃时，R随T的增大而减小，当T>30℃时，R随T的增大而增大，
∴若电压保持不变，当10℃≤T≤30℃时，P随T的增大而增大，当T>30℃时，P随T的增大而减小，故选项D说法不正确，符合题意．
故选：D．
根据函数图象解答即可．
本题考查了函数的图象，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．
11.【答案】x≥−1且x≠0
【解析】
【分析】
此题主要考查了二次根式的意义和性质：概念：式子 a(a≥0)叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义；当分母中含字母时，还要考虑分母不等于零．根据二次根式及分式有意义的条件解答即可．
【解答】
解：根据二次根式的性质可知：x+1≥0，即x≥−1，
又因为分式的分母不能为0，
所以x的取值范围是x≥−1且x≠0，
故答案为x≥−1且x≠0．
12.【答案】x≥4
【解析】解：5−12x≤3x−62①3+x>4②，
解不等式①得：x≥4，
解不等式②得：x>1，
∴原不等式组的解集为：x≥4．
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
13.【答案】14
【解析】解：由题意，画树状图如下．
由树状图，可知共有8种等可能的结果，其中三人选择的测试项目相同的结果有2种，
∴P(三人选择的测试项目相同)=28=14，
故答案为：14．
画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】17π2−23
【解析】解：如图，圆心O是CF和EF的垂直平分线的交点，连接OC，OA，OB，
如图所示，则OB=OF= 32+52= 34，∠BOF=90°，
∴S扇形OFB=90π×( 34)2360=17π2，S△BOF=12BO⋅OF=17．
∵S△BDF=12×6×2=6，
∴S阴影=17π2−17−6=17π2−23．
故答案为：17π2−23．
先确定圆心O，再求半径和圆心角，根据S阴影=S扇形BOF−S△OFB−S△BDF即可求出答案．
本题考查扇形的面积、三角形的面积，解题的关键是理解题意，运用数形结合解决问题．
15.【答案】3− 3或2
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∵∠B=60°，
∴∠A=30°，
如解图1所示，由翻折可知：∠EDM=∠A=30°，
∴∠DME=60°．
∴∠CMB=60°，
∴△CMB为等边三角形，
∴MB=CM=CB=2，
∴AB=2BC=4，
∴CD=AC= 3CB=2 3，
∴DM=CD−CM=2 3−2，
∵∠EDM=30°，
∴EM=12DM= 3−1，
∴AE=AB−BM−EM=4−2− 3+1=3− 3；
②当∠DFE=90°时，如解图2所示，此时点F在线段CD上，
∴CF⊥AB．
∵∠A=30°，
∴∠ACF=60°，
∵∠ACE=∠DCE，
∴∠ACE=∠DCE=30°，
∴∠CEB=60°，
∴△CEB为等边三角形，
∴CE=BE=CB=2，
∴AE=AB−BE=2，
综上所述，当△DEF为直角三角形时，AE的长为3− 3或2．
故答案为：3− 3或2．
根据题意，需分以下两种情况讨论．①当∠DEF=90°时，设CD交AB于点M，②当∠DFE=90°时，如图2所示，易得此时点F在线段CD上，即CF⊥AB，利用等边三角形的性质即可解决问题．
本题考查折叠的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握折叠的性质．
16.【答案】解：(1)原式=−2+1+2=1；
(2)原式=(x2−1x2−1−x2−2x2−1)÷1(x−1)2
=1(x+1)(x−1)⋅(x−1)2
=x−1x+1．
【解析】(1)利用零指数幂的意义，三次根式的性质，负整数指数幂的意义化简运算即可；
(2)根据分式的运算法则化简即可．
本题主要考查了实数运算，分式的化简，掌握正确化简各数及进行分式运算是解题关键．
17.【答案】35 36
【解析】解：(1)10台A型电冰箱耗电量中，35出现的次数最多，故众数m=35；
由表格，可知抽取的10台B型电冰箱耗电量的优秀率为20%，
∴“优秀”等级的台数为2．
又∵“良好”等级的台数为5，
∴把10台B型电冰箱耗电量从小到大排列，排在中间的两个数分别是35，37，故中位数n=35+372=36，
故答案为：35，36；
(2)10台B型电冰箱耗电量，“合格”等级的有：10−2−5=3(台)，
1000×310=300(台)．
答：估计该月B型电冰箱“合格”等级的台数大约为300台；
(3)该公司生产的B型电冰箱更省电．
理由：B型电冰箱耗电量的优秀率为20%，大于A型电冰箱耗电量的优秀率10%，且B型电冰箱耗电量的平均数小于A型电冰箱耗电量的平均数，所以该公司生产的B型电冰箱更省电．(答案不唯一，理由合理即可)
(1)根据众数和中位数的定义解答即可；
(2)用1000乘样本中“合格”等级所占比例即可；
(3)根据抽取的A，B型电冰箱耗电量的平均数和优秀率解答即可．
本题考查用样本估计总体、中位数和众数，掌握中位数、众数的意义是正确解答的前提．
18.【答案】解：(1)作出的垂直平分线如解图1所示；
(2)过点C作CG⊥x轴于点G，连接BC，如解图2所示．
∵B(4,0)，
∴OB=4．
设点C的坐标为(m,2)，
则AC=OG=m，CG=2，GB=4−m．
由垂直平分线的性质，可知AC=BC=m．
在Rt△CGB中，由勾股定理，得GB2+CG2=BC2，即(4−m)2+22=m2，
解得m=2.5，
∴点C的坐标为(2.5,2)．
将点C(2.5,2)代入y1=kx中，得k=5；
(3)反比例函数y1=5x(x>0)的图象如解图3所示，
当y1
【解析】(1)根要求作出图形即可；
(2)过点C作CG⊥x轴于点G，连接BC，设点C的坐标为(m,2)，则AC=OG=m，CG=2，GB=4−m.由垂直平分线的性质得到AC=BC=m.根据勾股定理得到关于m的方程，求出得到点C的坐标，即可求出k；
(3)根据图象即可得的答案．
本题是反比例函数综合题，考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，待定系数法求函数的解析式，正确地作出图形是解题的关键．
19.【答案】解：延长MN交AB于点E，
由题意得：EB=CN=MD=1.5m，MN=CD=10.5m，
设EN=x m，
∴ME=EN+MN=(x+10.5)m，
在Rt△AEN中，∠ANE=45°，
∴AE=EN⋅tan45°=x(m)，
在Rt△AEM中，∠AME=37°，
∴AE=EM⋅tan37°=0.75(x+10.5)m，
∴x=0.75(x+10.5)，
解得：x=31.5，
∴AB=AE+BE=31.5+1.5=33(m)，
答：望京楼AB的高度约为33m．
【解析】延长MN交AB于点E，根据题意可得：EB=CN=MD=1.5m，MN=CD=10.5m，然后设EN=x m，则ME=(x+10.5)m，在Rt△AEN中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，再在Rt△AEM中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20.【答案】乙超市 甲超市
【解析】解：(1)根据题意，折线OBC表示乙超市的优惠方式；射线OC表示甲超市的优惠方式；
故答案为：乙超市，甲超市；
(2)∵甲超市所有教学用品均八折出售，
∴y1=0.8x；
∵乙超市：一次性购买教学用品总金额不超过500元，原价出售，若超过500元，则超过的部分六折出售；
∴当0≤x≤500时，y2=x；
当x>500时，y2=500+(x−500)×0.6=0.6x+200；
∴y2=x(0≤x≤500)0.6x+200(x>500)；
由y=0.8xy=0.6x+200得x=1000y=800，
∴C(1000,800)，
C的实际意义为：当购买原价为1000的教学用品时，到甲超市和乙超市付款总金额都是800元；
(3)由(2)知，当购买原价为1000的教学用品时，到甲超市和乙超市付款总金额相同，
∵1500>1000，且超过1000元的部分，甲超市打八折，乙超市打六折，
∴学校需要购买原价总金额为1500元的教学用品，去乙超市购买更合算．
(1)根据题意，折线OBC表示乙超市的优惠方式；射线OC表示甲超市的优惠方式；
(2)由甲超市所有教学用品均八折出售，得y1=0.8x；根据乙超市：一次性购买教学用品总金额不超过500元，原价出售，若超过500元，则超过的部分六折出售；可得y2=x(0≤x≤500)0.6x+200(x>500)；联立解析式解得C(1000,800)，C的实际意义为当购买原价为1000的教学用品时，到甲超市和乙超市付款总金额都是800元；
(3)由购买原价为1000的教学用品时，到甲超市和乙超市付款总金额相同，超过1000元的部分，甲超市打八折，乙超市打六折，可知学校需要购买原价总金额为1500元的教学用品，去乙超市购买更合算．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
21.【答案】(1)证明：在四边形OCDE中，
∵∠OCD+∠OED=180°，
∵DC和DE为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，OE⊥DE．
∴∠OCD=∠OED=90°．
∴∠CDE+∠COE=180°．
又∵∠AOC+∠COE=180°，
∴∠AOC=∠CDE．
(2)解：该纺车纺线时不舒适．
理由如下：
过点C分别作CF⊥AE于点F，CG⊥DE于点G，如解图所示，则四边形EFCG是矩形．
∴CF=EG，EF=CG．
由题意，得OE=OC=40．
在Rt△OCF中，
∴CF=12CO=20，FO= 32CO=20 3．
∴CG=EF=40+20 3．
在Rt△CGD中，∠CDG=30°，
∴DG=CGtan30∘= 3×(40+20 3)=40 3+60．
∴DE=EG+GD=20+40 3+60=80+40 3≈148．
∵148>120，
∴该纺车纺线时不舒适．
【解析】(1)根据DC和DE为⊙O的切线，得出∠OCD=∠OED=90°，再根据∠CDE+∠COE=180°，∠AOC+∠COE=180°，解答即可；
(2)在Rt△OCF中，∠COF=∠CDE=30°，解出EG、DG的长即可解答．
本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，掌握直角三角形的性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)令a(x+1)(x−3)=0，
解得x1=−1，x2=3．
又∵点A在点B的左边，
∴点A(−1,0)，点B(3,0)．
∵OC=OB，且a>0，
∴点C的坐标为(0,−3)．
∴当x=0时，
−3a=−3，
解得a=1．
答：a的值为1．
(2)①由题意可知，抛物线的对称轴为直线x=−1+32=1，
∵y1=y2，
∴点P，Q关于直线x=1对称．
∴m+m+1=1×2，
解得m=12．
答：m的值为12．
②由题意可得点T(2,y3)关于对称轴直线x=1对称的点为(0,y3)，
结合函数图象，
∵y1
又∵y3
综上所述，当y1
(2)①由题意可知，抛物线的对称轴为直线x=−1+32=1，由y1=y2，得点P，Q关于直线x=1对称，列方程求解即可．
②由题意可得点T(2,y3)关于对称轴直线x=1对称的点为(0,y3)，根据二次函数的图象与性质求解即可．
本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．
23.【答案】正方形
【解析】解：(1)由旋转的性质，可知：∠PBP′=90°，∠BP′C=∠BPA=90°，PB=P′B，
∴∠BPT=∠BP′T=∠PBP′=90°，
∴四边形BPTP′是矩形．
又∵PB=P′B，
∴矩形BPTP′是正方形．
故答案为：正方形；
(2)四边形CDQP′是平行四边形，理由如下：
∵四边形BPTP′是正方形，
∴∠PTP′=90°．
∵DQ⊥AP，
∴∠PQD=90°，
∴∠PQD=∠PTP′，
∴DQ//CP′．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，AB=DA．
∵∠DAQ+∠PAB=90°，∠PAB+∠ABP=90°，
∴∠DAQ=∠ABP．
在△DAQ和△ABP中，
∠AQD=∠BPA=90°∠DAQ=∠ABPDA=AB，
∴△DAQ≌△ABP(AAS)，
∴DQ=AP．
由旋转的性质，可知：AP=CP′，
∴DQ=CP′，
∴四边形CDQP′是平行四边形；
(3)∵△DAQ≌△ABP，
∴AQ=BP．
∵BP=TP′，AP=CP′，
∴AQ=TP′，
∴CT=CP′−TP′=AP−AQ=PQ．
∵点Q是AP的三等分点，
∴分两种情况考虑：
①当AP=3PQ时，设PQ=x，则AP=3x，AQ=BP=2x．
在Rt△ABP中，有AP2+BP2=AB2，
∴(3x)2+(2x)2=22，
解得：x1=2 1313，x2=−2 1313(不符合题意，舍去)，
∴CT=2 1313；
②当AP=3AQ时，设AQ=y，则BP=y，AP=3y，PQ=2y．
在Rt△ABP中，有AP2+BP2=AB2，
∴(3y)2+y2=22，
解得：y1= 105，y2=− 105(不符合题意，舍去)，
∴CT=PQ=2y=2 105．
综上所述，当点Q是AP的三等分点时，线段CT的长为2 1313或2 105．
(1)利用旋转的性质，可得出∠PBP′=90°，∠BP′C=∠BPA=90°，PB=P′B，进而可得出∠BPT=∠BP′T=∠PBP′=90°，利用矩形的判定定理，可得出四边形BPTP′是矩形，再结合PB=P′B，即可得出矩形BPTP′是正方形；
(2)四边形CDQP′是平行四边形，利用正方形的性质及垂线的定义，可得出AB=DA，∠PTP′=90°=∠PQD，利用平行线的判定定义，可得出DQ//CP′，利用同角的余角相等，可得出∠DAQ=∠ABP，进而可证出△DAQ≌△ABP(AAS)，利用全等三角形的性质，可得出DQ=AP，结合旋转的性质，可得出DQ=CP′，结合DQ//CP′，可得出四边形CDQP′是平行四边形；
(3)由全等三角形的性质及各边间的关系，可得出CT=PQ，分AP=3PQ及AP=3AQ两种情况考虑，①当AP=3PQ时，设PQ=x，则AP=3x，AQ=BP=2x，在Rt△ABP中，利用勾股定理，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，可得出CT的长；②当AP=3AQ时，设AQ=y，则BP=y，AP=3y，PQ=2y，在Rt△ABP中，利用勾股定理，可得出关于y的一元二次方程，解之可得出y值，取其正值代入2y中，可得出CT的长．
本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、平行四边形的判定、正方形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：(1)利用正方形的判定定理，找出四边形BPTP′是正方形；(2)利用平行线的判定定理、全等三角形的性质及旋转的性质，找出DQ//CP′且DQ=CP′；(3)分AP=3PQ及AP=3AQ两种情况，利用勾股定理列出一元二次方程．
相关试卷
2023年河南省信阳市光山县孙铁铺中学中考数学三模试卷（含解析）： 这是一份2023年河南省信阳市光山县孙铁铺中学中考数学三模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省新乡市辉县市冠英中学、百泉中学中考数学二模试卷（含解析）： 这是一份2023年河南省新乡市辉县市冠英中学、百泉中学中考数学二模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省新乡市辉县市冠英中学、百泉中学中考数学二模试卷（含解析）： 这是一份2023年河南省新乡市辉县市冠英中学、百泉中学中考数学二模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
