2023年江苏省泰州市海陵区海军中学中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年江苏省泰州市海陵区海军中学中考数学二模试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年江苏省泰州市海陵区海军中学中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 计算|−13|的结果等于(    )
A. 3 B. −13 C. 13 D. −3
2. 语句“x的2倍与−1的和是负数”可以表示为(    )
A. 2x+1<0 B. 2x−1<0 C. 2x+1≤0 D. 2x−1≤0
3. 下列说法正确的是(    )
A. 调查某品牌冰箱的使用寿命，宜采用全面调查
B. 没有水，种子不发芽
C. 天气预报说明天的降水概率为8%，意味着明天一定不下雨
D. 抛掷一枚硬币两次都是正面向上，说明抛掷硬币正面向上的概率是1
4. 下列各式运算结果与a2b4相同的是(    )
A. a2b⋅a2b2 B. a⋅(ab)2 C. (ab2)2 D. ab⋅a2b2
5. 反比例函数y=a−1x中，当x<0时，y随自变量x的增大而增大，那么a的取值范围为(    )
A. a<1 B. a>1 C. a<−1 D. a>−1
6. 已知抛物线y=x2−2bx+b2−2b+1(b为常数)的顶点不在抛物线y=x2+c(c为常数)上，则c应满足(    )
A. c≤2 B. c<2 C. c≥2 D. c>2
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
7. 4的算术平方根是______ ．
8. 肥皂泡沫的泡壁厚度大约是0.0007mm，则数据0.0007用科学记数法表示为______．
9. 若二次根式 2−x有意义，则x的取值范围是______．
10. 若圆锥底面圆的半径3，母线长是6，则该圆锥侧面的面积为______．
11. 若关于x的一元二次方程x2+5x−1=0的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2= ______ ．
12. 因式分解：a3−6a2+9a=______．
13. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D连接BC并延长，交AD的延长线于点E.若AB=5，BC=3，则CD= ______ ．


14. 已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示，点A、B、C、P均在格点上，有下列结论：①点P在∠ACB的角平分线上；②直线BP可以把△ABC分成面积相等的两部分；③点P是△ABC的外心；④点P是△ABC的重心.其中正确的有______ .(直接填写序号)


15. 如图，在x轴的上方作正方形OABC，其对角线交点G(a,b)在第一象限，双曲线y=kx(x>0)经过点A和G，则ab的值是______ ．


16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AC=4，点D是边AC上一动点，连接BD，以BD为斜边作Rt△BDE，使∠BDE=30°，∠BED=90°，连接CE.则△CDE面积的最大值是______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
(1)计算：−14+|2− 3|−(−13)−1+3tan30°；
(2)化简：x−2x2÷(1−2x)．
18. (本小题8.0分)
某电商平台统计了A、B两种品牌空气净化器7个月的销售情况，并将获得的数据绘制成折线统计图．

(1)根据折线统计图填写表：

平均数
中位数
方差
A
140
a
b
B
c
150
130007
则a= ______ ，b= ______ ，c= ______ ；
(2)结合上表中的数据及折线统计图，你会选择购买哪种品牌的空气净化器，并说明理由．
19. (本小题8.0分)
有2部不同的电影A、B，小明、小亮、小华分别从中任意选择1部观看．
(1)小明选择A部电影的概率是______ ；
(2)求小明、小亮、和小华选择同一部电影的概率(请用树状图的方法给出分析过程，并求出结果)．
20. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，点D为BC边上一点，∠BAC=90°，AB=AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F.求证：△ABE≌△CAF．

21. (本小题10.0分)
已知关于x的一元二次方程x2−(m+3)x+2+m=0．
(1)试说明：对于任意实数m，该方程总有实数根；
(2)若这个一元二次方程的一根大于2，另一根小于2，求m的取值范围．
22. (本小题10.0分)
如图1是小丽使用手机自拍杆的图片.她眼睛望向手机屏幕上端A的仰角为α，测得手与肘部形成的“手肘角”β为46°，自拍时手机屏幕与手肘平行且手与自拍杆在同一条直线上.图2是其侧面简化示意图．
(1)∠ABC= ______ ；
(2)如图2，测得AD=70cm，仰角α的度数为22°，自拍时若小丽头顶与自拍杆端点B在同一水平线上，且肘部C正好落在小丽身体上.求自拍杆BC段的长度.(精确到0.1cm，参考数据：sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93)

23. (本小题10.0分)
(1)如图1，在△ABC中，AB>AC，请用无刻度的直尺和圆规在AB上确定一点P，使得△ACP∽△ABC.(保留作图痕迹，不要求写作法)
(2)在(1)的条件下，若AC=6，AB=8，则AP的长为______ ；
(3)在如图2的正方形网格中，△DEF的三个顶点均为格点，请用无刻度的直尺，在边DF上确定一点M，使得DE2=DM⋅DF.(保留作图痕迹，不要求写作法)


24. (本小题12.0分)
如图，已知点A是反比例函数y=kx(k≠0)图象上一点，点B是x轴正半轴上一点，一次函数y=mx+3(m>0)的图象经过点A．
(1)若点A(1,4)，
①则k= ______ ，m= ______ ；
②求不等式kx>mx+3的解集；
(2)若一次函数y=mx−2(m>0)的图象经过点B，且与一次函数y=mx+3(m>0)的图象之间的距离为4，求m的值．

25. (本小题12.0分)
在一次综合实践活动课上，数学老师给每位同学各发了一张圆形纸片，请同学们设计“通过一个三角板和直尺探究圆的半径”为主题的教学活动．
在经过一番思考和讨论交流后，老师选出三个小组的操作方法及问题进行探究．

(1)“实践”小组的同学进行了如下操作及问题：如图1，将三角板的直角顶点A放在圆上，角的两边与圆交于点B、C，量出AB=12cm、AC=5cm，即可求出该圆形纸片的半径.则圆形纸片的半径r= ______ ；“实践”小组解决问题的依据是______ ．
(2)“创新”小组的同学给出两种操作及问题：
①如图2，将三角板的直角顶点A放在圆内，使三角板的一条直角边AB经过圆心O，测得AB=9cm、AC=3cm，求⊙O的半径；
②如图3，将三角板的直角顶点A放在圆内，使三角板的一条直角边AB反向延长线经过圆心O，测得AB=2cm、AC=4cm，求⊙O的半径；
请你从“创新”小组的操作方法中任意选出一种，求⊙O的半径；
(3)“拓展”小组的同学给出操作及问题：
如图4，将三角板的直角顶点A放在圆内，直线AC与⊙O交于点D，测得AB=80cm、AC=40cm、AD=20cm，求⊙O的半径．
26. (本小题14.0分)
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−4ax+3a(a>0)与x轴相交于A，B(点A在点B的左边)，抛物线顶点为P．

(1)点A、B的坐标分别为______ 、______ ，顶点P的坐标为______ (用a表示)；
(2)如图1，点M为抛物线上任意一点(异于顶点P)，过点P作直线l//x轴，作MN⊥l于点N，若PN2=k⋅MN，求k的值(用含a的代数式表示)；
(3)当M点的横坐标为4时，
①如图2，连接PB、MB分别交MN、PN于点E、F，求证：FN=2PF．
②如图3，点Q为抛物线上点P至点M之间的一动点，连接PQ并延长交MN于点E，连接MQ并延长交PN于点F，当a=1时，FN(MN+EN)的值是否发生变化，若不变，求出该定值；若变化，请说明理由．
答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：|−13|=13．
故选：C．
根据绝对值的性质去绝对值符号即可．
本题考查了绝对值，解题的关键是熟记性质并灵活运用，如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数−a；
③当a是零时，a的绝对值是零．

2.【答案】B 
【解析】解：语句“x的2倍与−1的和是负数”可以表示为2x−1<0，
故选：B．
根据题意列出不等式即可．
此题考查了列不等式，读懂题意是解题的关键．

3.【答案】B 
【解析】解：A.调查某品牌冰箱的使用寿命，宜采用抽样调查，故选项错误，不符合题意；
B.没有水，种子不发芽，故选项正确，符合题意；
C.天气预报说明天的降水概率为8%，意味着明天下雨的可能性较小，故选项错误，不符合题意；
D.抛掷一枚硬币正面向上的概率为12，故选项错误，不符合题意．
故选：B．
根据普查和抽样调查、事件发生的可能性大小、概率等知识，进行判断即可．
此题考查了普查和抽样调查、事件发生的可能性大小、概率等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．

4.【答案】C 
【解析】解：A.a2b⋅a2b2=a4b3，故选项不符合题意；
B.a⋅(ab)2=a⋅a2b2=a3b2，故选项不符合题意；
C.(ab2)2=a2b4，故选项符合题意；
D.ab⋅a2b2=a3b3，故选项不符合题意．
故选：C．
按照单项式乘以单项式法则、积的乘方等知识分别计算后，即可得到答案．
此题考查了单项式乘单项式、积的乘方等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．

5.【答案】A 
【解析】解：∵反比例函数y=a−1x中，当x<0时，y随自变量x的增大而增大，
∴a−1<0，
解得a<1，
故选：A．
根据反比例函数的性质得到a−1<0，解不等式即可得到答案．
此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．

6.【答案】D 
【解析】解：由y=x2−2bx+b2−2b+1=(x−b)2−2b+1知，抛物线y=x2−2bx+b2−2b+1(b为常数)的顶点为(b,−2b+1)，
当顶点(b,−2b+1)在y=x2+c上时，则−2b+1=b2+c，则c=−b2−2b+1=−(b+1)2+2≤2，
∴抛物线y=x2−2bx+b2−2b+1(b为常数)的顶点不在抛物线y=x2+c(c为常数)上时，则c应满足c>2．
故选：D．
先求出抛物线y=x2−2bx+b2−2b+1(b为常数)的顶点为(b,−2b+1)，求出顶点(b,−2b+1)在y=x2+c上时，c的取值范围，即可得到顶点不在抛物线y=x2+c(c为常数)上时c的取值范围．
此题考查了二次函数的图象和性质，求出抛物线的顶点和准确计算是解题的关键．

7.【答案】2 
【解析】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2．
故答案为：2．
如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为 a，由此即可得到答案．
本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义．

8.【答案】7×10−4 
【解析】解：0.0007=7×10−4，
故答案为：7×10−4．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

9.【答案】x≤2 
【解析】
【分析】
根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
【解答】
解：由题意得，2−x≥0，
解得x≤2．
故答案为：x≤2．  
10.【答案】18π 
【解析】解：圆锥侧面积=12×2π×3×6=18π．
故答案为18π．
利用扇形的面积公式计算圆锥侧面积．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

11.【答案】−5 
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+5x−1=0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2=−51=−5，
故答案为：−5．
根据一元二次方程的根与系数关系进行求解即可．
此题考查了一元二次方程根与系数关系，熟练掌握内容是关键．

12.【答案】a(a−3)2 
【解析】解：原式=a(a2−6a+9)=a(a−3)2，
故答案为：a(a−3)2．
先提公因式a，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．

13.【答案】125 
【解析】解：连接AC、OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OC//AE，
∴∠E=∠OCB，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∴∠E=∠OBC，
∴AE=AB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ACE=90°，
在Rt△ABC中，
∵AB=5，BC=3，
∴AC= AB2−BC2=4，
∵AC⊥BE，
∴EC=BC=3，
∴S△ACE=12×CD×AE,S△ACE=12×AC×CE，
∵AB=AE=5，
∴12×CD×5=12×4×3，
∴CD=125，
故答案为：125．

根据切线的性质得到及平行线的性质得到AE=AB，再利用圆周角的性质及勾股定理得到AC=4，最后利用等腰三角形的性质即可解答．
本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角是90°，勾股定理，直角三角形的面积，平行线的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．

14.【答案】①②④ 
【解析】解：①取BC、AC的中点E、F，连接PE、PF、PC，则点A，P，E三点共线，点B，P，F三点共线，

由图可知，AC= 42+22=2 5,BC= 42+22=2 5，
∴AC=BC，
∵E、F分别是BC、AC的中点，
∴FC=EC，
又∵PE=PF，PC=PC，
∴△PEC≌△PFC(SSS)，
∴∠PCE=∠PCF，
∴PC平分∠ACB，
∴点P在∠ACB的角平分线上，故①正确；
②∵F是AC的中点，点B，P，F三点共线，
∴BF是△ABC的中线，
即直线BP把△ABC分成面积相等的两个部分，故②正确；
③∵AP=2,PC= 22+22=2 2，
∴AP≠CP，
∴点P不在AC的垂直平分线上，
∴点P不是△ABC三边垂直平分线的交点，
∴点P不是△ABC的外心，故③错误；
④∵E、F分别是BC、AC的中点，
∴AE、BF分别是△ABC的中线，
∴点P是△ABC的重心，故④正确，
故答案为：①②④．
①取BC、AC的中点E、F，连接PE、PF、PC，根据勾股定理解得AC、BC的长，再证明△PEC≌△PFC，由全等三角形对应角相等解得∠PCE=∠PCF，据此解题即可；
②根据中线的性质，即可解题；③根据题意可得AP≠CP，从而得到点P不在AC的垂直平分线上，即可；④由三角形的重心定义结合中线的性质解题即可．
本题考查了三角形的重心、角平分线的性质、圆周角定理以及三角形的外接圆与外心等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

15.【答案】 5−12 
【解析】解：过点C作x轴的垂线垂足为点N，过点A作x轴的垂线垂足为点P，过点B作y轴的垂线，得到四边形MNPQ，过点G作GE⊥x轴于点E.连接GN、GP，

∵四边形OABC为正方形，
∴BC=OC，∠OCB=90°，
∵∠MCB+∠NCO=90°，∠MCB+∠MBC=90°，
∴∠NCO=∠MBC，
∵∠M=∠CNO=90°，
∴△NCO≌△MBC(AAS)，
∴MC=NO，CN=BM，
同理可得：MC=NO=AP=BQ，CN=BM=AQ=OP，
∴MN=NP=PQ=QM，即四边形MNPQ为正方形，
设点M、C、N的横坐标为x^1，点A、P、Q的横坐标为x2，点M、B、Q的纵坐标为y1，点N、E、P的纵坐标为0，
∵正方形OABC对角线交点G(a,b)，
∴a=x1+x22,b=y1+02=y12，
∴点G(a,b)是正方形MNPQ对角线交点，
∴△GNP，△GNE，△GPE为等腰直角三角形，
∴OE=a，GE=PE=NE=b，则OP=OE+EP=a+b，ON=AP=NE−OE=b−a，
∴A(a+b,b−a)，
把点A(a+b,b−a)，G(a,b)代入y=kx得：
k=ab=(a+b)(b−a)，
整理得：a2+ab−b2=0，
两边同时除以b2得：a2b2+ab−1=0，
令ab=T，则T2+T−1=0，
解得：T1= 5−12，T2=− 5−12(舍)，
∴ab= 5−12．
故答案为： 5−12．
构造四边形MNPQ，通过证明MC=NO=AP=BQ，CN=BM=AQ=OP，得出四边形MNPQ为正方形，则点G(a,b)是正方形MNPQ对角线交点，得出A(a+b,b−a)，根据k=ab=(a+b)(b−a)，即可求解．
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，得出点A的坐标．

16.【答案】 32 
【解析】解：过点E作EM⊥AC，交AC的延长线于M，
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴BCAB=12，
∵∠BDE=30°，∠BED=90°，
∴△ACB∽△DEB，∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC=60°，
∴BEBC=BDAB，∠ABD=∠CBE，
∴BEBD=BCAB，
∴△ADB∽△CEB，
∴CEAD=BCAB=12，∠BAD=∠BCE=30°，
∴AD=2CE，
∴∠ECM=60°，
∴∠CEM=30°，
∴CE=2CM，
∴EM= CE2−EM2= 3CM，
∴AD=2CE=4CM，
∴CD=(4−4CM)，
∴S△CDE=12CD×EM=12×(4−4CM)× 3CM=−2 3(CM2−CM)=−2 3(CM−12)2+ 32，
∴△CDE面积的最大值是 32．
故答案为： 32．

过点E作EM⊥AC，交AC的延长线于M根据题意得到△ACB∽△DEB，△ADB∽△CEB，进而得到S△CDE=−2 3(CM−12)2+ 32即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．

17.【答案】解：(1)−14+|2− 3|−(−13)−1+3tan30°
=−1+2− 3+3+3× 33
=−1+2− 3+3+ 3
=4
(2)x−2x2÷(1−2x)
=x−2x2÷(xx−2x)
=x−2x2÷x−2x
=x−2x2×xx−2
=1x． 
【解析】(1)先计算乘方、绝对值、负整数指数幂、代入特殊角的三角函数值，再进行混合运算即可；
(2)先计算括号内的减法，再计算除法即可．
此题考查了实数的混合运算、分式的混合运算等知识，熟练掌握运算法则和特殊角的三角函数值是解题的关键．

18.【答案】140 30007 9507 
【解析】解：(1)A种品牌空气净化器7个月的销量为：100，140，170，160，130，140，140，
从小到大排列为：100，130，140，140，140，160，170，故中位数为140，即a=140，
b=(100−140)2+(130−140)2+3(140−140)2+(160−140)2+(170−140)27=30007，
B种品牌空气净化器7个月的销售量为：60，90，120，150，160，170，200，
∴c=60+90+120+150+160+170+2007=9507，
故答案为：140，30007，9507．
(2)选择购买A种品牌的空气净化器，理由如下：
A种品牌的平均数高于B种品牌，说明销量大，A种品牌的方差低于B种品牌的方差，说明A种品牌的销量稳定，所以选择购买A种品牌的空气净化器．
(1)分别列出A、B种品牌空气净化器7个月的销量，根据中位数、方差、平均数的定义进行求解即可；
(2)分别比较统计量的大小，即可得到结论．
此题考查了方差、平均数、中位数、折线统计图等知识，熟练掌握个统计量的求法是解题的关键．

19.【答案】12 
【解析】解：(1)∵有2部不同的电影A、B，
∴明选择A部电影的概率是12，
故答案为：12；
(2)画树状图如下：

由树状图知，共有8种等可能的结果，其中小明、小亮、和小华选择同一部电影的结果有2种，
∴小明、小亮、和小华选择同一部电影的概率为28=14．
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有8种等可能的结果，其中小明、小亮、和小华选择同一部电影的结果有2种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

20.【答案】证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠AEB=90°，∠AFC=90°，
∴∠BAE+∠ABE=∠FAC+∠AFC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠FAC=90°，
∴∠BAE=∠ACF，
∴在△ABE和△AFC中，
∠AEB=∠AFC=90°∠BAE=∠ACFAB=AC，
∴△ABE≌△AFC(AAS)， 
【解析】根据直角三角形的两锐角互余得到∠BAE=∠ACF即可解答．
本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定，掌握直角三角形的性质是解题的关键．

21.【答案】(1)证明：∵关于x的一元二次方程x2−(m+3)x+2+m=0，
∴Δ=(m+3)2−4×1×(2+m)=(m+1)2≥0，
∴对于任意实数m，该方程总有实数根；
(2)解：设方程的两个实数根为x1、x2，
∵x=m+3±(m+1)2，
∴x1=m+2，x2=1，
∵这个一元二次方程的一根大于2，另一根小于2，
∴m+2>2，
解得：m>0，
∴m的取值范围m>0． 
【解析】(1)根据一元二次方程判别式为(m−1)2≥0即可解答；
(2)解方程，求得x1=m+2，x2=1，根据题意得到m+2>2，解不等式即可．
本题考查了根的判别式及解一元二次方程，正确运用判别式是解题的关键．

22.【答案】134° 
【解析】解：(1)由题意得：AB//CD，∠BCD=46°，
∴∠ABC=180°−∠BCD=134°，
故答案为：134；
(2)过点D作DE⊥AB，交AB的延长线于点E，过点B作BF⊥CD，交CD的延长线于点F，

由题意得：BF=DE，
 在Rt△ADE中，∠ADE=α=22°，AD=70cm，
∴DE=AD⋅cos22°≈70×0.93=65.1(cm)，
∴BF=DE=65.1cm，
在Rt△BFC中，∠BCD=46°，
∴BC=BFsin46∘≈65.10.72≈90.4(cm)，
∴自拍杆BC段的长度约为90.4cm．
(1)根据题意可得：AB//CD，∠BCD=46°，然后利用平行线的性质，进行计算即可解答；
(2)过点D作DE⊥AB，交AB的延长线于点E，过点B作BF⊥CD，交CD的延长线于点F，根据题意可得：BF=DE，然后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，从而求出BF的长，再在Rt△BFC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

23.【答案】92 
【解析】解：(1)如图，点P满足要求，

∵∠ACP=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ACP∽△ABC．
(2)∵△ACP∽△ABC．
∴ACAB=APAC，
∵AC=6，AB=8，
∴AP=AC2AB=628=92，
故答案为：92
(3)如图，点M即为所求，

如图，取FN=3，DQ=2，连接QN交DF于点M，
∵DQ//NF，
∴∠QDM=∠NFM，∠DQM=∠FNM，
∴△QDM∽△NFM，
∴DMMF=DQFN=23，
∵DF= 32+42=5，
∴DM=25DF=2，
∵DE= 12+32= 10，
∴DE2=( 10)2=10=DE⋅DF，
∴点M满足要求．
(1)以点C为顶点，作∠ACP=∠ABC，点P在线段AC上，则点P即为所求；
(2)利用△ACP∽△ABC得到ACAB=APAC，代入数值即可得到答案；
(3)在网格中取FN=3，DQ=2，连接DN交DF于点M，则M点即为所求．
本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、基本作图等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．

24.【答案】4  1 
【解析】解：(1)①∵点A是反比例函数y=kx(k≠0)图象上一点，A(1,4)，
∴k=4，
∵一次函数y=mx+3(m>0)的图象经过点A(1,4)，
∴m=1，
故答案为：4、1；
②∵k=4，m=1，
∴反比例函数解析式为y=4x，一次函数解析式为y=x+3，
∴当4x=x+3时，解得：x1=−4，x1=1，
∴由图象可知：当4x>x+3时，x<−4或x>1，
∴不等式kx>mx+3的解集：x<−4或x>1．
(2)过点C作CE⊥BD于点E，

∴CE=4，
∵一次函数y=mx−2(m>0)的图象经过点B，一次函数y=mx+3(m>0)的图象经过点C，
∵C(0,3)，D(0,−2)，
∴CD=5，
DE= CD2−CE2=3，
∵OD=2，
∵∠CED=∠BOD=90°，∠CDE=∠OBD，
∴△CED∽△BOD，
∴CEOB=DEOD，
∴OB=83，
∴B(83,0)，
∵一次函数y=mx−2(m>0)的图象经过点B，
∴m=34．
(1)①根据利用待定系数法将点A(1,4)代入反比例函数与一次函数的解析式即可解答；②根据函数的交点坐标及图象即可解答；
(2)连接CE⊥BD，根据勾股定理及相似三角形得到OB=83，进而得到点B(83,0)即可解答．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，勾股定理，掌握函数与方程、不等式之间的关系是解题的关键．

25.【答案】132cm  90°的圆周角所对的弦是直径和勾股定理 
【解析】解：(1)连接BC，

∵∠BAC=90°，
∴BC是⊙O的直径，BC= AB2+AC2= 122+52=13(cm)，
∴圆形纸片的半径r=BC2=132cm，
解决问题的依据是：90°的圆周角所对的弦是直径和勾股定理．
故答案为：132cm；90°的圆周角所对的弦是直径和勾股定理；
(2)①连接BC，过点O作OH⊥BC于点H，

则∠OHB=90°,BH=CH=12BC，
∵∠BAC=90°，AB=9cm、AC=3cm，
∴BC= AB2+AC2= 92+32=3 10(cm)，
∴BH=CH=12BC=3 102cm，
∵∠BAC=∠OHB=90°，∠ABC=∠HBO，
∴△ABC∽△HBO，
∴OHAC=BHAB，
∴OH3=3 1029，
∴OH= 102，
∴OB= OH2+BH2=5cm，
即⊙O的半径是5cm；
②连接BC，OC，过点O作OP⊥BC于点P，

则∠OPC=∠OPB=90°,BP=CP=12BC，
∵∠BAC=90°，AB=2cm、AC=4cm，
∴BC= AB2+AC2= 22+42=2 5(cm)，
∴BP=CP=12BC= 5cm，
∵∠ACB+∠ABC=90°，∠BOP+∠ABC=90°，
∴∠ACB=∠BOP，
∵∠ABC=∠PBO，
∴△ABC∽△PBO，
∴ABBP=ACOP，
∴2 5=4OP，
∴OP=2 5(cm)，
∴OB= BP2+OP2= ( 5)2+(2 5)2=5(cm)，
⊙O的半径为5cm；
(3)设圆心为点O，连接OB、OC，作OP⊥AC于点P，作OQ⊥AB于点Q，

∵∠BAC=∠AQO=∠APO=90°，
∴四边形AQOP是矩形，
∵AC=40cm，AD=20cm，
∴CD=AC+AD=60cm，
∴CP=12CD=30cm,AP=QO=AC−PC=10cm，
设⊙O的半径是R，
则OP=AQ= OC2−PC2= R2−302,BQ= OB2−OQ2= R2−102，
∵AB=80cm，
∴AQ+BQ= R2−302+ R2−102=AB=80cm，
解得R=5 85cm．
即⊙O的半径是5 85cm．
(1)由∠BAC=90°，得到BC是⊙O的直径，BC= AB2+AC2=13cm，即可得到圆形纸片的半径，根据解答过程写出解决问题的依据即可；
(2)①连接BC，过点O作OH⊥BC于点H，则∠OHB=90°,BH=CH=12BC，先求出BC=3 10cm，则BH=CH=12BC=3 102，再证△ABC∽△HBO，则OHAC=BHAB，求得OH= 102，由勾股定理得到OB= OH2+BH2=5；
②连接BC，OC，过点O作OP⊥BC于点P，则∠OPC=∠OPB=90°,BP=CP=12BC，由勾股定理先求BC=2 5cm，BP=CP=12BC= 5，先证明△ABC∽△PBO，ABBP=ACOP，则OP=2 5，由勾股定理得OB=5；
(3)设圆心为点O，连接OB、OC，作OP⊥AC于点P，作OQ⊥AB于点Q，证明四边AQOP是矩形，由AC=40cm，AD=20cm得到CD=AC+AD=60cm，即可得到CP=12CD=30cm,AP=QO=AC−PC=10cm，⊙O的半径是R，由勾股定理得到OP=AQ= R2−302，BQ= R2−102则 R2−302+ R2−102=80cm，解得R即可．
此题主要考查了相似三角形的判定和性质、垂径定理、勾股定理、矩形的判定和性质、圆周角定理等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．

26.【答案】(1,0)  (3,0)  (2,−a) 
【解析】解：(1)∵抛物线y=ax2−4ax+3a(a>0)与x轴相交于A，B(点A在点B的左边)，抛物线顶点为P，
令y=0，得ax2−4ax+3a=0(a>0)，
∴x2−4x+3=0，
解得x1=1，x2=3，
∴对称轴直线x=x1+x22=1+32=2，
∴y=4a−8a+3a=−a，
∴P(2,−a)，
故答案为：(1,0)，(3,0)，(2,−a)．
(2)∵抛物线y=ax2−4ax+3a(a>0)，点M为抛物线上任意一点(异于顶点P)，且P(2,−a)，
∴设M(n,an2−4an+3a)，则N(n,−a)，
∴MN=an2−4an+3a−(−a)=a(n−2)2，PN=(n−2)，
∵PN2=k⋅MN，
∴(n−2)2=ka(n−2)2，
∵点M为抛物线上任意一点，异于顶点P，
∴n≠2，
∴1=ka，
解得：k=1a．
(3)∵M点的横坐标为4时，∴M(4,3a)，N(4,−a)，
①设直线MB的解析式为y=kx+b，
3k+b=04k+b=3a，
解得k=3ab=−9a，
∴y=3ax−9a，
当y=−a，
∴−a=3ax−9a，
解得x=83，
∴F(83,−a)，
∴PF=83−2=23，FN=4−83=43，
∴FN=2PF．
②FN(MN+EN)的值不变，为8.理由如下：
∵M点的横坐标为4，a=1时，
∴y=x2−4x+3，M(4,3)，N(4,−1)，P(2,−1)，
MN=3−(−1)=4，
设Q(t,t2−4t+3)，
∵点Q为抛物线上点P至点M之间的一动点，
∴2 设直线MQ的解析式为y=px+q，
∴4p+q=3tp+q=t2−4t+3，
解得p=tq=3−4t，
∴y=tx+3−4t，
当y=−1，
∴−1=tx+3−4t，
解得x=4t−4t，
∴F(4t−4t,−1)，
∴FN=4−4t−4t=4t，
设直线PQ的解析式为y=mx+n，
∴2m+n=−1tm+n=t2−4t+3，
解得m=t−2n=3−2t，
∴y=(t−2)x+3−2t，
当x=4，
∴y=(t−2)×4+3−2t，
解得y=2t−5，
∴E(4,2t−5)，
∴EN=2t−5−(−1)=2t−4，
∴FN(MN+EN)=4t×(4+2t−4)=8．
故FN(MN+EN)的值不变，且为8．
(1)令y=0，得ax2−4ax+3a=0(a>0)，解方程x2−4x+3=0即可，后利用对称轴直线x=x1+x22，得到顶点的横坐标，继而计算顶点即可．
(2)设M(n,an2−4an+3a)，则N(n,−a)，则MN=an2−4an+3a−(−a)=a(n−2)2，
PN=(n−2)，代入PN2=k⋅MN计算即可．
(3)当M点的横坐标为4时，M(4,3a)，N(4,−a)，
①设直线MB的解析式为y=kx+b，求得y=3ax−9a，当y=−a，确定F(83,−a)，分别计算FN，PF的大小，计算即可．
②当M点的横坐标为4，a=1时，则M(4,3)，N(4,−1)，P(2,−1)，
MN=3−(−1)=4，设Q(t,t2−4t+3)，分别求得F(4t−4t,−1)，E(4,2t−5)，计算FN，EN，化简计算FN(MN+EN)即可．
本题考查了抛物线的顶点坐标，待定系数法，抛物线的对称性，平行x轴或y轴直线上的两点间的距离，熟练掌握抛物线的性质，待定系数法，两点之间的距离公式是解题的关键．