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2022-2023学年陕西省宝鸡市陈仓区八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年陕西省宝鸡市陈仓区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年陕西省宝鸡市陈仓区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如果x>y，那么下列不等式中一定成立的是( )
A. x+1−3y D. x2>y2
2. 下列四个图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 若分式x2−4x−2的值为0，则x的值为( )
A. ±2 B. 2 C. −2 D. 4
4. 如图，四边形ABCD中，AD=BC，点P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，若∠EPF=130°，则∠PEF的度数为( )
A. 25°
B. 30°
C. 35°
D. 50°
5. 点M(m−2,m+5)向左平移2个单位后恰好落在y轴上，则点M的坐标为( )
A. (−2,5) B. (−7,0) C. (2,9) D. (3,10)
6. 如图，△ABC的三边AB、BC、AC的长分别是9、12、15.其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于( )
A. 1：1：1 B. 1：2：3 C. 3：4：5 D. 2：3：4
7. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AB⊥AC，若AB=AC=4，则BD的长为( )
A. 8 B. 4 2 C. 2 5 D. 4 5
8. 如图，函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点B(2,0)，与函数y=2x的图象交于点A，点A的纵坐标为2，则不等式0
B. x<2
C. 0
9. 计算3abx⋅2x29ab2= ______ ．
10. 一个多边形的内角和是外角和的3倍，则它是______边形．
11. 如图．Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC′，若点C′在AB上，则AA′的长为______．
12. 小明准备用40元钱购买作业本和签字笔．已知每个作业本6元，每支签字笔2.2元，小明买了7支签字笔，他最多还可以买______个作业本．
13. 如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=135°，AD=4 2，AB=8，作对角线AC的垂直平分线EF，分别交对边AB、CD于点E和点F，则AE的长为______．
三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）
14. 解方程：1x−2+1=x+12−x．
四、解答题（本大题共12小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题5.0分)
因式分解：ab3−4ab2+4ab．
16. (本小题5.0分)
解下列不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上：5x+2≥4x−1x+44>x−32+1．
17. (本小题5.0分)
化简：(1−xx+1)÷x2−1x2+2x+1．
18. (本小题5.0分)
如图，已知平行四边形ABCD，将这个四边形折叠，使得点A和点C重合，请你用尺规作出折痕所在的直线．(保留作图痕迹，不写作法)
19. (本小题5.0分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=∠C.E是边BC上一点，且DE=DC.求证：AD=BE．
20. (本小题5.0分)
某城市的一种出租车起步价为10元(即行驶5千米以内都需付款10元车费)，达到或超过5千米后，每增加1千米加价1.2元(不足1千米按1千米计算)，现某人乘这种出租车由甲地到乙地，支付车费17.2元.求甲、乙两地的路程．
21. (本小题6.0分)
如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为(4,−1)．
(1)以原点O为旋转中心，将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出C1的坐标．
(2)计算△ABC的面积．
22. (本小题7.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t(s)．
(1)求BC边的长．
(2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
23. (本小题7.0分)
阅读以下材料：
因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1，
解：令(x+y)=A，则原式：=A2+2A+1=(A+1)2，
再将“A”还原，得原式=(x+y+1)2，
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)因式分解：1−2(x−y)+(x−y)2；
(2)当n为何值时，代数式(n2−2n−3)(n2−2n+5)+17有最小值？最小值为多少？
24. (本小题8.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作直线EF⊥AB，分别交AB，CD于点E，F．
(1)求证：OE=OF；
(2)若AC=18，EF=10，求AE的长．
25. (本小题8.0分)
在双减背景下，西安某中学为让学生们扔下繁重的作业负担，置身于丰富多彩的阅读中，计划开展以“我阅读，我快乐”为主题的阅读分享活动，学校图书室计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．
(1)甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？
(2)如果学校图书室计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？
26. (本小题10.0分)
问题提出
(1)如图1，P是锐角△ABC内一动点，把△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AP′C′，连接PP′，这样就可得出PA+PB+PC=BP+PP′+P′C′，请给出证明过程．
问题解决
(2)图2所示的是一个锐角为30°的直角三角形公园(∠B=30°,∠C=90°)，其中顶点A、B、C为公园的出入口，AB=20km，工人师傅准备在公园内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离PA+PB+PC最小，求这个最小的距离．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵x>y，
∴x+1>y+1，
∴选项A不符合题意；
∵x>y，
∴x−5>y−5，
∴选项B不符合题意；
∵x>y，
∴−3x<−3y，
∴选项C不符合题意；
∵x>y，
∴x2>y2，
∴选项D符合题意．
故选：D．
根据x>y，应用不等式的基本性质，逐项判断即可．
此题主要考查了不等式的基本性质：(1)不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(2)不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变；(3)不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
2.【答案】A
【解析】解：选项B、C、D都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项A能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：A．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3.【答案】C
【解析】解：根据题意，得：
x2−4=0且x−2≠0，
解得：x=−2；
故选：C．
分式的值为零即：分子为0，分母不为0．
本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为0；(2)分母不为0.这两个条件缺一不可．
4.【答案】A
【解析】解：∵P、F分别是BD、CD的中点，
∴PF=12BC，
同理可得：PE=12AD，
∵AD=BC，
∴PF=PE，
∵∠EPF=130°，
∴∠PEF=∠PFE=12×(180°−130°)=25°，
故选：A．
根据三角形中位线定理得到PF=12BC，PE=12AD，进而证明PF=PE，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：点M(m−2,m+5)向左平移2个单位后恰好落在y轴上，
∴m−2−2=0，
∴m=4，
∴点M(2,9)，
故选：C．
根据题意列方程即可得到结论．
本题考查了坐标与图形变化−平移，正确地列出方程是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：过O点作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，
∵△ABC的三条角平分线交于点O，
∴OD=OE=OF，
在△ABC中，AB=9，BC=12，AC=15，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=(12AB⋅DO)：(12BC⋅EO)：(12AC⋅OF)=AB：BC：AC=9：12：15=3：4：5，
故选：C．
过O点作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，根据角平分线的性质可知：OD=OE=OF，利用三角形的面积公式计算可求解．
本题主要考查三角形的面积，角平分线的性质，利用角平分线的性质求得OD=OE=OF是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO=DO，AO=CO，
∵AB⊥AC，AB=AC=4，
∴AO=2，
∴BO= AB2+AO2= 42+22=2 5，
∴BD=2BO=4 5．
故选：D．
利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO的长，进而可求出BD的长
本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用；熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理求出BO是解决问题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：设A点坐标为(x,2)，
把A(x,2)代入y=2x，
得2x=2，解得x=1，
则A点坐标为(1,2)，
所以当x>1时，2x>kx+b，
∵函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点B(2,0)，
∴x<2时，kx+b>0，
∴不等式0
先利用正比例函数解析式确定A点坐标，然后观察函数图象得到，当x>1时，直线y=2x都在直线y=kx+b的上方，当x<2时，直线y=kx+b在x轴上方，于是可得到不等式0
9.【答案】2x3b
【解析】解：3abx⋅2x29ab2
=2x3b．
故答案为：2x3b．
根据分式的乘法法则计算，即可求解．
本题主要考查了分式的乘除法，熟练掌握分式的乘法法则是解题的关键．
10.【答案】八
【解析】解：设这个多边形的边数为n，
由题意得，(n−2)×180°=360°×3，
解得n=8，
则这个多边形的边数为8．
故答案为：八．
设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理和外角和定理列出方程，解方程即可．
本题考查的是内角与外角的计算，多边形内角和定理：(n−2)⋅180 (n≥3且n为整数)，多边形的外角和等于360度．
11.【答案】2 5
【解析】解：∵∠C=90°，BC=3，AC=4，
∴AB= AC2+BC2= 42+32=5，
由旋转得：AC=A′C′=4，BC=BC′=3，∠C=∠BC′A′=90°，
∴AC′=AB−BC′=5−3=2，∠AC′A′=180°−∠BC′A′=90°，
∴AA′= AC′2+A′C′2= 22+42=2 5，
故答案为：2 5．
先根据勾股定理求出AB的长，再利用旋转的性质可得AC=A′C′=4，BC=BC′=3，∠C=∠BC′A′=90°，从而求出A′C的长，然后在Rt△A′C′A中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
12.【答案】4
【解析】解：设还可以买x个作业本，
依题意，得：2.2×7+6x≤40，
解得：x≤4110．
又∵x为正整数，
∴x的最大值为4．
故答案为4．
设还可以买x个作业本，根据总价=单价×数量结合总价不超过40元，即可得出关系x的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
13.【答案】203
【解析】解：如图，连接CE，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，
∵平行四边形ABCD中，∠ABC=135°，AD=4 2，
∴∠CBH=45°，BC=4 2，
又∵∠H=90°，
∴∠BCH=45°，
∴CH=BH=4，
设AE=x，则BE=8−x，
∵EF垂直平分AC，
∴CE=AE=x，
∵在Rt△CEH中，CH2+EH2=EC2，
∴42+(8−x+4)2=x2，
解得x=203，
∴AE的长为203．
故答案为：203．
连接CE，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，设AE=x，则BE=8−x，CE=AE=x，再根据勾股定理，即可得到x的值．
本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理以及线段垂直平分线的的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求解．
14.【答案】解：去分母得：1+x−2=−x−1，
解得：x=0，
经检验x=0是分式方程的解．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
15.【答案】解：ab3−4ab2+4ab
=ab(b2−4b+4)
=ab(b−2)2．
【解析】先提公因式ab，再利用完全平方公式进行计算即可．
本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2．
16.【答案】解：解不等式5x+2≥4x−1得：x≥−3，
解不等式x+44>x−32+1得：x<6．
故不等式组的解集为−3≤x<6．
数轴表示为：
【解析】分别解两个不等式，求出解集的公共部分即可．
本题考查解一元一次不等式组，解题关键是熟知求不等式组解集的方法．
17.【答案】解：原式=x+1−xx+1⋅x2+2x+1x2−1
=1x+1⋅(x+1)2(x+1)(x−1)
=1x−1．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】解：如图所示，直线EF即为所求．
【解析】根据轴对称的性质作出线段AC的垂直平分线即可得．
本题主要考查作图−轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质和线段中垂线的尺规作图．
19.【答案】证明：∵DE=DC，
∴∠DEC=∠C，
∵∠B=∠C，
∴∠B=∠DEC，
∴AB//DE，
∵AD//BC，
∴四边形ABED是平行四边形．
∴AD=BE．
【解析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理和性质定理的运用．
根据等边对等角的性质求出∠DEC=∠C，在由∠B=∠C得∠DEC=∠B，所以AB//DE，得出四边形ABED是平行四边形，进而得出结论．
20.【答案】解：设甲乙两地的路程为x千米，
依题意得10+1.2(x−5)≤17.2，
解得x≤11，
又因为不足1千米也按1千米收费，
所以10
解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出不等式，再求解．
21.【答案】解：(1)所作图形如图所示：
C1(−1,−4)．
(2)S△ABC=12×4×3=6．
【解析】(1)分别作出点A、B、C绕点O顺时针方向旋转90°后得到的点，然后顺次连接，写出C1的坐标；
(2)利用三角形面积公式即可求得．
本题考查了根据旋转变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点，然后顺次连接．
22.【答案】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，AC=6cm，
∴BC= AB2−AC2= 102−62=8，
当AP=BP时，如图1，则AP=t，PC=BC−BP=8−t，
在Rt△ACP中，AC2+CP2=AP2，
∴62+(8−t)2=t2，
解得t=254；
当AB=BP时，如图2，则BP=t=10；
当AB=AP时，如图3，则BP=2BC；
∴t=2×8=16，
综上，t的值为254或10或16．
【解析】利用勾股定理求解BC的长，再分3中情况讨论：当AP=BP时，当AB=BP时，当AB=AP时，分别计算可求解．
本题主要考查等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．
23.【答案】解：(1)将“x−y”看成整体，令x−y=A，
则原式=1−2A+A2=(1−A)2，
再将“A”还原，得：
原式=(1−x+y)2；
(2)将“n2−2n”看成整体，令n2−2n=A，
原式=(A−3)(A+5)+17=A2+2A+2=(A+1)2+1，
将“A”还原，得：
原式=(n2−2n+1)2+1=(n−1)4+1；
∵(n−1)4≥0，
∴(n−1)4+1≥1，
∴当n=1时，代数式(n2−2n−3)(n2−2n+5)+17有最小值，最小值为1．
【解析】(1)将“x−y”看成整体，令x−y=A，则原式=1−2A+A2=(1−A)2，再将“A”还原，得原式=(1−x+y)2；
(2)将“n2−2n”看成整体，令n2−2n=A，则原式=(n2−2n+1)2+1=(n−1)4+1，根据偶次方的非负性即可求解．
本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
24.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，OA=OC，
∴∠FCO=∠OAE，
∵EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∴∠CFO=∠AEO=90°，
∴△FCO≌△EAO(AAS)，
∴OE=OF；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=9，
∵OE=OF，
∴OE=5，
∴AE= OA2−OE2= 92−52=2 14．
【解析】(1)根据平行四边形的性质得出AB//CD，OA=OC，利用全等三角形的判定和性质解答即可；
(2)根据平行四边形的性质和勾股定理解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质和勾股定理解答．
25.【答案】解：(1)设乙图书每本价格为x元，则甲图书每本价格是2.5x元，
根据题意可得：800x−8002.5x=24，
解得：x=20，
经检验得：x=20是原方程的根，且符合题意．
则2.5x=50，
答：甲图书每本价格是50元，乙图书每本价格为20元；
(2)设购买甲图书本数为a，则购买乙图书的本数为：2a+8，
故50a+20(2a+8)≤1060，
解得：a≤10，
故2a+8≤28，
答：该图书馆最多可以购买28本乙图书．
【解析】(1)利用用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本得出等式求出答案；
(2)根据题意表示出购买甲、乙两种图书的总经费进而得出不等式求出答案．
此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确表示出图书的价格是解题关键．
26.【答案】解：(1)如图1，由旋转得：∠PAP′=60°，PA=P′A，
∴△APP′是等边三角形，
∴PP′=PA，
∵PC=P′C，
∴PA+PB+PC=BP+PP′+P′C′．
(2)如图2，
Rt△ACB中，∵AB=20，∠ABC=30°，
∴AC=10，BC=10 3，
把△BPC绕点B逆时针旋转60度得到△BP′C′，连接PP′，
当A、P、P′、C′在同一直线上时，PA+PB+PC的值为最小，
由旋转得：BP=BP′，∠PBP′=60°，PC=P′C′，BC=BC′，
∴△BPP′是等边三角形，
∴PP′=PB，
∵∠ABC=∠APB+∠CBP=∠APB+∠C′BP′=30°，
∴∠ABC′=90°，
由勾股定理得：AC′= AB2+BC′2= 202+(10 3)2=10 7，
∴PA+PB+PC=PA+PP′+P′C′=AC′=10 7，
则点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为10 7km．
【解析】(1)根据旋转的性质证明△APP′是等边三角形，则PP′=PA，可得结论；
(2)构建直角△ABC′，利用勾股定理求AC′的长，即是点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．
本题主要考查三角形的旋转变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点，将待求线段的和通过旋转变换转化为同一直线上的线段来求是解题的关键．
2022-2023学年陕西省宝鸡市陈仓区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如果x>y，那么下列不等式中一定成立的是( )
A. x+1
2. 下列四个图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 若分式x2−4x−2的值为0，则x的值为( )
A. ±2 B. 2 C. −2 D. 4
4. 如图，四边形ABCD中，AD=BC，点P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，若∠EPF=130°，则∠PEF的度数为( )
A. 25°
B. 30°
C. 35°
D. 50°
5. 点M(m−2,m+5)向左平移2个单位后恰好落在y轴上，则点M的坐标为( )
A. (−2,5) B. (−7,0) C. (2,9) D. (3,10)
6. 如图，△ABC的三边AB、BC、AC的长分别是9、12、15.其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于( )
A. 1：1：1 B. 1：2：3 C. 3：4：5 D. 2：3：4
7. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AB⊥AC，若AB=AC=4，则BD的长为( )
A. 8 B. 4 2 C. 2 5 D. 4 5
8. 如图，函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点B(2,0)，与函数y=2x的图象交于点A，点A的纵坐标为2，则不等式0
B. x<2
C. 0
9. 计算3abx⋅2x29ab2= ______ ．
10. 一个多边形的内角和是外角和的3倍，则它是______边形．
11. 如图．Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC′，若点C′在AB上，则AA′的长为______．
12. 小明准备用40元钱购买作业本和签字笔．已知每个作业本6元，每支签字笔2.2元，小明买了7支签字笔，他最多还可以买______个作业本．
13. 如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=135°，AD=4 2，AB=8，作对角线AC的垂直平分线EF，分别交对边AB、CD于点E和点F，则AE的长为______．
三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）
14. 解方程：1x−2+1=x+12−x．
四、解答题（本大题共12小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题5.0分)
因式分解：ab3−4ab2+4ab．
16. (本小题5.0分)
解下列不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上：5x+2≥4x−1x+44>x−32+1．
17. (本小题5.0分)
化简：(1−xx+1)÷x2−1x2+2x+1．
18. (本小题5.0分)
如图，已知平行四边形ABCD，将这个四边形折叠，使得点A和点C重合，请你用尺规作出折痕所在的直线．(保留作图痕迹，不写作法)
19. (本小题5.0分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=∠C.E是边BC上一点，且DE=DC.求证：AD=BE．
20. (本小题5.0分)
某城市的一种出租车起步价为10元(即行驶5千米以内都需付款10元车费)，达到或超过5千米后，每增加1千米加价1.2元(不足1千米按1千米计算)，现某人乘这种出租车由甲地到乙地，支付车费17.2元.求甲、乙两地的路程．
21. (本小题6.0分)
如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为(4,−1)．
(1)以原点O为旋转中心，将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出C1的坐标．
(2)计算△ABC的面积．
22. (本小题7.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t(s)．
(1)求BC边的长．
(2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
23. (本小题7.0分)
阅读以下材料：
因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1，
解：令(x+y)=A，则原式：=A2+2A+1=(A+1)2，
再将“A”还原，得原式=(x+y+1)2，
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)因式分解：1−2(x−y)+(x−y)2；
(2)当n为何值时，代数式(n2−2n−3)(n2−2n+5)+17有最小值？最小值为多少？
24. (本小题8.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作直线EF⊥AB，分别交AB，CD于点E，F．
(1)求证：OE=OF；
(2)若AC=18，EF=10，求AE的长．
25. (本小题8.0分)
在双减背景下，西安某中学为让学生们扔下繁重的作业负担，置身于丰富多彩的阅读中，计划开展以“我阅读，我快乐”为主题的阅读分享活动，学校图书室计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．
(1)甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？
(2)如果学校图书室计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？
26. (本小题10.0分)
问题提出
(1)如图1，P是锐角△ABC内一动点，把△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AP′C′，连接PP′，这样就可得出PA+PB+PC=BP+PP′+P′C′，请给出证明过程．
问题解决
(2)图2所示的是一个锐角为30°的直角三角形公园(∠B=30°,∠C=90°)，其中顶点A、B、C为公园的出入口，AB=20km，工人师傅准备在公园内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离PA+PB+PC最小，求这个最小的距离．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵x>y，
∴x+1>y+1，
∴选项A不符合题意；
∵x>y，
∴x−5>y−5，
∴选项B不符合题意；
∵x>y，
∴−3x<−3y，
∴选项C不符合题意；
∵x>y，
∴x2>y2，
∴选项D符合题意．
故选：D．
根据x>y，应用不等式的基本性质，逐项判断即可．
此题主要考查了不等式的基本性质：(1)不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(2)不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变；(3)不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
2.【答案】A
【解析】解：选项B、C、D都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项A能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：A．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3.【答案】C
【解析】解：根据题意，得：
x2−4=0且x−2≠0，
解得：x=−2；
故选：C．
分式的值为零即：分子为0，分母不为0．
本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为0；(2)分母不为0.这两个条件缺一不可．
4.【答案】A
【解析】解：∵P、F分别是BD、CD的中点，
∴PF=12BC，
同理可得：PE=12AD，
∵AD=BC，
∴PF=PE，
∵∠EPF=130°，
∴∠PEF=∠PFE=12×(180°−130°)=25°，
故选：A．
根据三角形中位线定理得到PF=12BC，PE=12AD，进而证明PF=PE，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：点M(m−2,m+5)向左平移2个单位后恰好落在y轴上，
∴m−2−2=0，
∴m=4，
∴点M(2,9)，
故选：C．
根据题意列方程即可得到结论．
本题考查了坐标与图形变化−平移，正确地列出方程是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：过O点作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，
∵△ABC的三条角平分线交于点O，
∴OD=OE=OF，
在△ABC中，AB=9，BC=12，AC=15，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=(12AB⋅DO)：(12BC⋅EO)：(12AC⋅OF)=AB：BC：AC=9：12：15=3：4：5，
故选：C．
过O点作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，根据角平分线的性质可知：OD=OE=OF，利用三角形的面积公式计算可求解．
本题主要考查三角形的面积，角平分线的性质，利用角平分线的性质求得OD=OE=OF是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO=DO，AO=CO，
∵AB⊥AC，AB=AC=4，
∴AO=2，
∴BO= AB2+AO2= 42+22=2 5，
∴BD=2BO=4 5．
故选：D．
利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO的长，进而可求出BD的长
本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用；熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理求出BO是解决问题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：设A点坐标为(x,2)，
把A(x,2)代入y=2x，
得2x=2，解得x=1，
则A点坐标为(1,2)，
所以当x>1时，2x>kx+b，
∵函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点B(2,0)，
∴x<2时，kx+b>0，
∴不等式0
先利用正比例函数解析式确定A点坐标，然后观察函数图象得到，当x>1时，直线y=2x都在直线y=kx+b的上方，当x<2时，直线y=kx+b在x轴上方，于是可得到不等式0
9.【答案】2x3b
【解析】解：3abx⋅2x29ab2
=2x3b．
故答案为：2x3b．
根据分式的乘法法则计算，即可求解．
本题主要考查了分式的乘除法，熟练掌握分式的乘法法则是解题的关键．
10.【答案】八
【解析】解：设这个多边形的边数为n，
由题意得，(n−2)×180°=360°×3，
解得n=8，
则这个多边形的边数为8．
故答案为：八．
设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理和外角和定理列出方程，解方程即可．
本题考查的是内角与外角的计算，多边形内角和定理：(n−2)⋅180 (n≥3且n为整数)，多边形的外角和等于360度．
11.【答案】2 5
【解析】解：∵∠C=90°，BC=3，AC=4，
∴AB= AC2+BC2= 42+32=5，
由旋转得：AC=A′C′=4，BC=BC′=3，∠C=∠BC′A′=90°，
∴AC′=AB−BC′=5−3=2，∠AC′A′=180°−∠BC′A′=90°，
∴AA′= AC′2+A′C′2= 22+42=2 5，
故答案为：2 5．
先根据勾股定理求出AB的长，再利用旋转的性质可得AC=A′C′=4，BC=BC′=3，∠C=∠BC′A′=90°，从而求出A′C的长，然后在Rt△A′C′A中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
12.【答案】4
【解析】解：设还可以买x个作业本，
依题意，得：2.2×7+6x≤40，
解得：x≤4110．
又∵x为正整数，
∴x的最大值为4．
故答案为4．
设还可以买x个作业本，根据总价=单价×数量结合总价不超过40元，即可得出关系x的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
13.【答案】203
【解析】解：如图，连接CE，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，
∵平行四边形ABCD中，∠ABC=135°，AD=4 2，
∴∠CBH=45°，BC=4 2，
又∵∠H=90°，
∴∠BCH=45°，
∴CH=BH=4，
设AE=x，则BE=8−x，
∵EF垂直平分AC，
∴CE=AE=x，
∵在Rt△CEH中，CH2+EH2=EC2，
∴42+(8−x+4)2=x2，
解得x=203，
∴AE的长为203．
故答案为：203．
连接CE，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，设AE=x，则BE=8−x，CE=AE=x，再根据勾股定理，即可得到x的值．
本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理以及线段垂直平分线的的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求解．
14.【答案】解：去分母得：1+x−2=−x−1，
解得：x=0，
经检验x=0是分式方程的解．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
15.【答案】解：ab3−4ab2+4ab
=ab(b2−4b+4)
=ab(b−2)2．
【解析】先提公因式ab，再利用完全平方公式进行计算即可．
本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2．
16.【答案】解：解不等式5x+2≥4x−1得：x≥−3，
解不等式x+44>x−32+1得：x<6．
故不等式组的解集为−3≤x<6．
数轴表示为：
【解析】分别解两个不等式，求出解集的公共部分即可．
本题考查解一元一次不等式组，解题关键是熟知求不等式组解集的方法．
17.【答案】解：原式=x+1−xx+1⋅x2+2x+1x2−1
=1x+1⋅(x+1)2(x+1)(x−1)
=1x−1．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】解：如图所示，直线EF即为所求．
【解析】根据轴对称的性质作出线段AC的垂直平分线即可得．
本题主要考查作图−轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质和线段中垂线的尺规作图．
19.【答案】证明：∵DE=DC，
∴∠DEC=∠C，
∵∠B=∠C，
∴∠B=∠DEC，
∴AB//DE，
∵AD//BC，
∴四边形ABED是平行四边形．
∴AD=BE．
【解析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理和性质定理的运用．
根据等边对等角的性质求出∠DEC=∠C，在由∠B=∠C得∠DEC=∠B，所以AB//DE，得出四边形ABED是平行四边形，进而得出结论．
20.【答案】解：设甲乙两地的路程为x千米，
依题意得10+1.2(x−5)≤17.2，
解得x≤11，
又因为不足1千米也按1千米收费，
所以10
解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出不等式，再求解．
21.【答案】解：(1)所作图形如图所示：
C1(−1,−4)．
(2)S△ABC=12×4×3=6．
【解析】(1)分别作出点A、B、C绕点O顺时针方向旋转90°后得到的点，然后顺次连接，写出C1的坐标；
(2)利用三角形面积公式即可求得．
本题考查了根据旋转变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点，然后顺次连接．
22.【答案】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，AC=6cm，
∴BC= AB2−AC2= 102−62=8，
当AP=BP时，如图1，则AP=t，PC=BC−BP=8−t，
在Rt△ACP中，AC2+CP2=AP2，
∴62+(8−t)2=t2，
解得t=254；
当AB=BP时，如图2，则BP=t=10；
当AB=AP时，如图3，则BP=2BC；
∴t=2×8=16，
综上，t的值为254或10或16．
【解析】利用勾股定理求解BC的长，再分3中情况讨论：当AP=BP时，当AB=BP时，当AB=AP时，分别计算可求解．
本题主要考查等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．
23.【答案】解：(1)将“x−y”看成整体，令x−y=A，
则原式=1−2A+A2=(1−A)2，
再将“A”还原，得：
原式=(1−x+y)2；
(2)将“n2−2n”看成整体，令n2−2n=A，
原式=(A−3)(A+5)+17=A2+2A+2=(A+1)2+1，
将“A”还原，得：
原式=(n2−2n+1)2+1=(n−1)4+1；
∵(n−1)4≥0，
∴(n−1)4+1≥1，
∴当n=1时，代数式(n2−2n−3)(n2−2n+5)+17有最小值，最小值为1．
【解析】(1)将“x−y”看成整体，令x−y=A，则原式=1−2A+A2=(1−A)2，再将“A”还原，得原式=(1−x+y)2；
(2)将“n2−2n”看成整体，令n2−2n=A，则原式=(n2−2n+1)2+1=(n−1)4+1，根据偶次方的非负性即可求解．
本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
24.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，OA=OC，
∴∠FCO=∠OAE，
∵EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∴∠CFO=∠AEO=90°，
∴△FCO≌△EAO(AAS)，
∴OE=OF；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=9，
∵OE=OF，
∴OE=5，
∴AE= OA2−OE2= 92−52=2 14．
【解析】(1)根据平行四边形的性质得出AB//CD，OA=OC，利用全等三角形的判定和性质解答即可；
(2)根据平行四边形的性质和勾股定理解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质和勾股定理解答．
25.【答案】解：(1)设乙图书每本价格为x元，则甲图书每本价格是2.5x元，
根据题意可得：800x−8002.5x=24，
解得：x=20，
经检验得：x=20是原方程的根，且符合题意．
则2.5x=50，
答：甲图书每本价格是50元，乙图书每本价格为20元；
(2)设购买甲图书本数为a，则购买乙图书的本数为：2a+8，
故50a+20(2a+8)≤1060，
解得：a≤10，
故2a+8≤28，
答：该图书馆最多可以购买28本乙图书．
【解析】(1)利用用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本得出等式求出答案；
(2)根据题意表示出购买甲、乙两种图书的总经费进而得出不等式求出答案．
此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确表示出图书的价格是解题关键．
26.【答案】解：(1)如图1，由旋转得：∠PAP′=60°，PA=P′A，
∴△APP′是等边三角形，
∴PP′=PA，
∵PC=P′C，
∴PA+PB+PC=BP+PP′+P′C′．
(2)如图2，
Rt△ACB中，∵AB=20，∠ABC=30°，
∴AC=10，BC=10 3，
把△BPC绕点B逆时针旋转60度得到△BP′C′，连接PP′，
当A、P、P′、C′在同一直线上时，PA+PB+PC的值为最小，
由旋转得：BP=BP′，∠PBP′=60°，PC=P′C′，BC=BC′，
∴△BPP′是等边三角形，
∴PP′=PB，
∵∠ABC=∠APB+∠CBP=∠APB+∠C′BP′=30°，
∴∠ABC′=90°，
由勾股定理得：AC′= AB2+BC′2= 202+(10 3)2=10 7，
∴PA+PB+PC=PA+PP′+P′C′=AC′=10 7，
则点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为10 7km．
【解析】(1)根据旋转的性质证明△APP′是等边三角形，则PP′=PA，可得结论；
(2)构建直角△ABC′，利用勾股定理求AC′的长，即是点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．
本题主要考查三角形的旋转变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点，将待求线段的和通过旋转变换转化为同一直线上的线段来求是解题的关键．
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