2022-2023学年陕西省汉中市城固县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年陕西省汉中市城固县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年陕西省汉中市城固县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若x=1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的解，则a+2b=(    )
A. −2 B. −1 C. −3 D. −6
2. 如图所示的几何体的俯视图是(    )
A.
B.
C.
D.
3. 下列给出长度的四条线段中，是成比例线段的是(    )
A. 1，2，3，4 B. 1，2，3，6 C. 2，3，4，5 D. 1，3，4，7
4. 若点(3,−4)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，则该图象也过点(    )
A. (2,6) B. (3,4) C. (−4,−3) D. (−6,2)
5. 在中国地理地图册上，连接上海、香港、台湾三地构成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图所示，飞机从台湾直飞上海的距离约为1286千米，那么飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行距离约为(    )
A. 3858千米
B. 3218千米
C. 2314千米
D. 1543千米
6. 如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，过点D作DE⊥AB，连接AE、BE，若CD=4，AE=5，则DE的长为(    )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
7. 近年来全国的中、高考的有些学科考试中都考查中华优秀传统文化的相关知识，受到社会各界的广泛关注．为了迎接市里举办的传统文化知识竞赛，班主任将全班同学随机分成了A、B、C、D四个组进行活动，该班小琦和小颖同学被分在一组的概率是(    )
A. 12 B. 13 C. 16 D. 14
8. 已知当x<0时，反比例函数y=kx的函数值随自变量的增大而增大，则关于x的一元二次方程x2−2x+1−k=0根的情况是(    )
A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 跟k的取值有关
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
9. 甲、乙两人在太阳光下行走，若已知两人的身高相同，那么在同一地点、同一时刻太阳光下的影长______ 相等.(填“一定”或“不一定”)
10. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠BAD=110°，则∠OBC的度数为______ ．


11. 已知a，b是方程x2−2022x+1=0的两个根，则a+b的值为        ．
12. 如图，在平面直角坐标系中，点B在函数y=6x(x>0)的图象上，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、C，取线段OC的中点D，连接BD，则四边形OABD的面积为______ ．


13. 如图，在矩形ABCD中，BC= 3，H为CD的中点，连接AH并延长交BC的延长线于点G，以AG为边作正方形AEFG，连接BH，若BH⊥AG，则正方形AEFG的面积为______．


三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
14. 解方程：x2−2x−2=0．
四、解答题（本大题共12小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题8.0分)
在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同，小明每次摸球前先将袋子中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回袋子中，通过大量重复试验后发现，摸出红球的频率稳定在0.25，请估计袋子中红球的个数．
16. (本小题8.0分)
如图，AB、CD相交于点O，连接AC、BD，点E、F分别为AC、BD的中点，连接OE、OF，若∠A=∠D，OA=OF=6，OD=9，求OE的长．

17. (本小题8.0分)
画出如图所示几何体的三视图．

18. (本小题8.0分)
如图，在▱ABCD中，∠ABD=90°，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE.求证：四边形BECD是矩形．

19. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在格点上，且A(−6,6)，B(−4,2)，C(4,4)．
(1)以原点O为位似中心，在x轴上方画出△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC位似，且相似比为1：2；
(2)在(1)的条件下，分别写出点B、C的对应点B1、C1的坐标．

20. (本小题8.0分)
为贯彻落实党的二十大精神，全面建设社会主义现代化国家、全面推进中华民族伟大复兴，某校团委举办以“无悔青春献祖国，接力奋斗新时代”为主题的征文比赛，每班限一人参赛，九年级(2)班的王伟和孙莉两人文采相当，且都想代表班级参赛，于是班长制作了5张正面分别写有−2，−1，0，1，2的卡片(卡片背面完全相同)，将卡片背面朝上洗匀后，王伟先从中任意抽取一张，不放回，孙莉再从剩下的4张卡片中任意抽取一张，若两人所抽取的卡片上的数字之积为0，则王伟代表班级参赛；否则，孙莉代表班级参赛．
(1)王伟抽取的卡片正面上的数字是0的概率为______ ；
(2)请用列表法或画树状图的方法，判断班长设计的这个游戏规则对双方是否公平．
21. (本小题8.0分)
李海要把一篇文章录入电脑，完成录入的时间y(分)与录入文字的速度x(字/分)之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若李海在15：00开始录入，要求完成录入时间不超过当日15：40，那么李海每分钟至少应录入多少个字？

22. (本小题8.0分)
如图，OM为一盏路灯的灯杆，已知该路灯的灯泡P位于灯杆OM上，地面上竖立着一个矩形单杠ABCD，已知单杠右侧CD杆在路灯灯泡P的照射下的影子末端位于点E处，已知O、B、C、E在一条直线上，且MO⊥OE，AB⊥OE，DC⊥OE．
(1)请在图中找出路灯灯泡P的位置，并画出单杠左侧AB杆在灯泡P的照射下的影子BF；
(2)经测量OB=4米，BF=2米，单杠的高度AB=2米，请你计算路灯灯泡距地面的高度OP．

23. (本小题8.0分)
如图，现有一块长11cm，宽7cm的长方形硬纸板，在它的四个角分别剪去一个大小完全相同的小正方形，用剩余的部分(图中阴影部分)做成一个底面积为21cm2的无盖长方体盒子，请求出剪去的小正方形的边长．

24. (本小题8.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D.点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止，设运动时间为t秒．
(1)求线段CD的长；
(2)当t为何值时，△CPQ与△ABC相似？

25. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在y轴正半轴上，点C的坐标为(4,3)，反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点B．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)在反比例函数的图象上是否存在点P，使得△OAP的面积等于菱形OABC的面积？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

26. (本小题8.0分)
(1)【探究证明】如图①，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC交AC于点D，求证：AB2=AC⋅AD；
(2)【拓展延伸】如图②，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AO上一点，BF⊥BD交DE的延长线于点F，且EF=DE．
①求证：四边形ABCD是菱形；
②DF交AB于点G，若OD2=OE⋅OA，求证：DF⋅AG=AE⋅BD．


答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：把x=1代入方程x2+ax+2b=0得1+a+2b=0，
所以a+2b=−1．
故选：B．
把x=1代入方程x2+ax+2b=0可得a+2b的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

2.【答案】D 
【解析】解：从上面看是一个有直径的圆环，
故选：D．
根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图．

3.【答案】B 
【解析】解：A、1×4≠2×3，所以A选项不符合题意；
B、1×6=2×3，所以B选项符合题意；
C、2×5≠4×3，所以C选项不符合题意；
D、1×7≠3×4，所以D选项不符合题意；
故选：B．
根据比例线段的定义，分别计算各选项中最小的数与最大的数的积是否等于另外两个数的积可判断四条线段成比例．
本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．

4.【答案】D 
【解析】解：∵点(3,−4)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，
∴−4=k3，
∴k=−12，
∴反比例函数解析式为y=−12x，
∴在反比例函数图象上的点横纵坐标的乘积为−12，
∵四个选项中只有D选项满足横纵坐标的乘积为−12，
∴D选项符合题意．
故选：D．
先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而得到在反比例函数图象上的点横纵坐标的乘积为−12，由此即可得到答案．
本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数的性质，正确得到在反比例函数图象上的点横纵坐标的乘积为−12是解题的关键．

5.【答案】A 
【解析】解：设飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行的实际距离为x(千米)，
则：x5.4+3.6=12863，
解得x=3858；
∴飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行的实际距离为3858千米；
故选：A．
根据地图上的距离比等于实际距离比，列式计算即可．
本题考查比例线段，熟练掌握地图上的距离比等于实际距离比，是解题的关键．

6.【答案】B 
【解析】解：在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，CD=4，
∴AD=CD=BD=12AB=4，
∵DE⊥AB，AE=5，
∴DE= AE2−AD2=3，
故选：B．
先根据直角三角形斜边上的中线的性质得到AD=4，再利用勾股定理求出DE的长即可．
本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，正确求出AD=4是解题的关键．

7.【答案】D 
【解析】解：画树状图得：

∵共有16种等可能的结果，小琦、小颖被分到一组有4种情况，
∴小琦、小颖同学被分在一组的概率是416=14．
故选：D．
利用画树状图法列出所有等可能结果，然后根据概率公式进行计算即可求解．
本题考查了列表法与树状图，解题的关键在于用列表法或画树状图法列出所有等可能结果，根据：概率=所求情况数与总情况数之比计算是基础．

8.【答案】B 
【解析】解：∵x<0时，反比例函数y=kx的函数值随自变量的增大而增大，
∴k<0，
∵x2−2x+1−k=0，
∴Δ=(−2)2−4×1×(1−k)=4k<0，
∴关于x的一元二次方程x2−2x+1−k=0没有实数根，
故选：B．
根据反比例函数的性质可以判断k的正负情况，然后根据Δ的正负，即可判断方程x2−2x+1−k=0的根的情况，本题得以解决．
本题考查根的判别式和反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用根的判别式来解答．

9.【答案】一定 
【解析】解：∵太阳光是平行光，根据平行投影，在同一时刻，不同物体的物高和影长对应成比例，
∴当两人的身高相同时，影长一定相等；
故答案为：一定．
根据平行投影，在同一时刻，不同物体的物高和影长对应成比例，可知，身高相同，影长一定相同．
本题考查平行投影．熟练掌握在同一时刻，不同物体的物高和影长对应成比例，是解题的关键．

10.【答案】35° 
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC,∠OBA=∠OBC=12∠ABC，
∵∠BAD=110°，
∴∠ABC=180°−∠BAD=70°，
∴∠OBC=12∠ABC=35°，
故答案为：35°．
根据菱形的性质进行求解即可．
本题主要考查了菱形的性质，熟知菱形的对角线平分一组对角是解题的关键．

11.【答案】2022 
【解析】解：根据根与系数的关系得a+b=2022．
故答案为：2022．
直接利用根与系数的关系求解．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．

12.【答案】4.5 
【解析】解：设点B的坐标为(m,6m)，
∴OA=BC=m,OC=AB=6m，
∵D为线段OC的中点，
∴CD=OD=12OC=3m，
∴S四边形OABD=S矩形OABC−S△BCD=OA⋅AB−12CD⋅BC=6−12m⋅3m=4.5，
故答案为：4.5．
设点B的坐标为(m,6m)，求出OA=BC=m，CD=3m，再根据S四边形OABD=S矩形OABC−S△BCD进行求解即可．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟知过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|是解题的关键．

13.【答案】24 
【解析】解：矩形ABCD中，AB/​/CD，H为CD的中点，
∴△GHC∽△GAB，
∴GCGB=GHGA=CHAB=12，
∴H为AG的中点，
矩形ABCD中，∠ABC=90°，
∴BH=HG，
∵∠BHG=90°，BH⊥AG，
∴∠HBG=∠HGB=45°，
∴∠HGB=∠HAB=45°，
∴AB=BG，
∵BC= 3，
∴BG=2BC=2 3=AB，
∴AG= AB2+BG2=2 6，
∴S正方形AEFG=AG⋅GF=24．
故答案为：24．
根据矩形的性质及相似三角形的判定与性质可得GCGB=GHGA=CHAB=12，H为AG的中点，再由直角三角形与等腰三角形的性质可得BG=2BC=2 3=AB，然后由勾股定理及正方形的面积公式可得答案．
此题考查的是正方形的性质、矩形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．

14.【答案】解：移项得x2−2x=2，
配方得x2−2x+1=2+1，
即(x−1)2=3，
开方得x−1=± 3．
解得x1=1+ 3，x2=1− 3． 
【解析】先把常数项−2移到等号右边，之后方程左右两边同时加上一次项系数−2的一半的平方，得到方程x2−2x+1=3，对等号左边进行配方，再开方即可求出结果．
本题考查配方法解一元二次方程．

15.【答案】解：设袋子中红球的个数为x个，
由题意得，x20=0.25，
解得x=5，
∴估计袋子中红球的个数为5个． 
【解析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，即频率的稳定值即为概率值，由此求解即可．
本题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．

16.【答案】解：∵∠A=∠D，∠AOC=∠DOB，
∴△AOC∽△DOB，
∴AODO=ACDB，
∵点E、F分别为AC、BD的中点，
∴AC=2AE，BD=2DF，
∴AODO=ACDB=2AE2DF=AEDF，
又∵∠A=∠D，
∴△AOE∽△DOF，
∴AODO=OEOF，即69=OE6，
∴OE=4． 
【解析】先证明△AOC∽△DOB，AODO=ACDB，再证明△AOE∽△DOF，得到69=OE6，则OE=4．
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，证明△AOE∽△DOF，得到69=OE6是解题的关键．

17.【答案】解：如图所示：
 
【解析】由已知条件可知，主视图有3列，每列正方形的个数为2，1，1；左视图有1列，小正方形数目为2；俯视图有3列，每列小正方数形数目均为1.据此可画出图形．
此题主要考查了作三视图，关键是掌握主视图是从正面看、左视图是从左边看、俯视图是从上面看得到的图形．

18.【答案】证明：∵四边形ABD是平行四边形，
∴CD=AB，CD/​/AB，
∵BE=AB，
∴BE=CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ABD=90°，
∴∠DBE=90°，
∴四边形BECD是矩形． 
【解析】由平行四边形的性质得出CD=AB，CD/​/AB，证出BE=CD，则四边形BECD是平行四边形，证∠DBE=90°，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．

19.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；

(2)∵△A1B1C1与△ABC关于原点位似，且相似比为1：2，B(−4,2)，C(4,4)，
∴B1(−2,1)，C1(2,2)． 
【解析】(1)利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，将A，B，C的坐标都乘以12得到A1，B1，C1的坐标，描出A1，B1，C1，然后连线即可求解；
(2)根据(1)所作图形进行求解即可．
本题考查作图—位似变换，掌握关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征是解题的关键．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．

20.【答案】15 
【解析】解：(1)∵一共有5张卡片，每张卡片被抽到的概率相同，
∴王伟抽取的卡片正面上的数字是0的概率为15，
故答案为：15；
(2)班长设计的这个游戏规则对双方不公平，理由如下：
列表如下：

−2
−1
0
1
2
−2

(−1,−2)
(0,−2)
(1,−2)
(2,−2)
−1
(−2,−1)

(0,−1)
(1,−1)
(2,−1)
0
(−2,0)
(−1,0)

(1,0)
(2,0)
1
(−2,1)
(−1,1)
(0,1)

(2,1)
2
(−2,2)
(−1,2)
(0,2)
(1,2)

由表格可知一共有20种等可能性的结果数，其中数字之积为0的结果数有8种，数字之积不为0的结果数有12种，
∴王伟参赛的概率为820=25，孙莉参赛的概率为1220=35，
∴班长设计的这个游戏规则对双方不公平．
(1)根据概率计算公式求解即可；
(2)先列出表格得到所有的等可能性的结果数，再分别找到数字之积为0和不为0的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
本题主要考查了简单的概率计算，游戏的公平性，灵活运用所学知识是解题的关键．

21.【答案】解：(1)设y=kx，把(80,50)代入y=kx，
得，50=k80，
解得k=4000，
∴y与x的函数表达式为y=4000x(x>0)．
(2)当y=40−0=40时，x=400040=100，
∵k>0，在第一象限内，y随x的增大而减小，
∴李海录入文字的速度至少为100字/分．
答：李海每分钟至少录入100个字． 
【解析】(1)直接运用待定系数法求解即可；
(2)先求出完成时间y对应x的取值，然后再根据反比例函数的性质解答即可．
本题主要考查了求反比例函数解析式、反比例函数与实际问题等知识点，掌握反比例函数的增减性是解答本题的关键．

22.【答案】解：(1)如图所示，点P和BF即为所求；

(2)∵OB=4米，BF=2米，
∴OF=OB+BF=6米，
∵MO⊥OE，AB⊥OE，即PO//AB，
∴△ABF∽△POF，
∴ABPO=BFOF，即2PO=26，
∴PO=6米，
∴路灯灯泡距地面的高度OP为6米． 
【解析】(1)连接ED并延长交OM于点P，连接PA并延长交OE于F，点P和BF即为所求；
(2)先求出OF=6米，证明△ABF∽△POF，得到ABPO=BFOF，即2PO=26，则PO=6米．
本题主要考查了相似三角形的应用举例，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．

23.【答案】解：设剪去的小正方形的边长为x cm，
由题意得，
(11−2x)(7−2x)=21，
解得x=2(不合题意的值舍去)，
∴剪去的小正方形的边长为2cm． 
【解析】设剪去的小正方形的边长为x cm，则无盖长方体的长为(11−2x)cm.宽为(7−2x)cm，再根据长方形面积公式列出方程求解即可．
本题主要考查了一元二次方程与几何图形，正确理解题意找到等量关系列出方程求解是解题的关键．

24.【答案】解：(1)∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB= AC2+BC2= 82+62=10．
∵CD⊥AB，
∴S△ABC=12BC⋅AC=12AB⋅CD．
∴CD=BC⋅ACAB=6×810=4.8．
∴线段CD的长为4.8；
(2)由题可知有两种情形，
设DP=t，CQ=t.则CP=4.8−t．
①当PQ⊥CD时，如图a
∵△QCP∽△ABC，
∴CQAB=CPBC，即t10=4.8−t6，
∴t=3；
②当PQ⊥AC，如图b．
∵△PCQ∽△ABC
∴CPAB=CQBC，即4.8−t10=t6，
解得t=95，
∴当t为3或95时，△CPQ与△ABC相似． 
【解析】(1)先根据勾股定理求出AB的长，再由三角形的面积公式即可得出结论；
(2)先用t表示出DP，CQ，CP的长，再分PQ⊥CD与PQ⊥AC两种情况进行讨论．
本题考查了相似三角形的判定、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，具有一定的综合性，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．

25.【答案】(1)解：延长BC交x轴于点D，

∵四边形OABC是菱形，
∴OA/​/BC，OA=OC=BC=AB，
∴BD⊥x轴，
∵C(4,3)，
∴OD=4，CD=3，OC= 42+32=5，
∴OA=OC=BC=AB=5，
∴BD=BC+CD=OC+CD=8，
∴B(4,8)，
∵点B在双曲线上，
∴k=4×8=32，
∴反比例函数的表达式为：y=32x；
(2)解：存在；设P点的横坐标为m，
∵S菱形OABC=BC⋅OD=5×4=20，
∴S△OAP=12OA⋅|xp|=12×5|m|=20，
∴m=±8，
当m=8时，P(8,328)，即：P(8,4)，
当m=8时，P(−8,32−8)，即：P(−8,−4)；

综上，存在点P(8,4)或P(−8,−4)，使△OAP的面积等于菱形OABC的面积． 
【解析】(1)延长BC交x轴于点D，易得BD⊥x轴，根据菱形的性质，求出B点坐标，即可求出反比例函数的解析式；
(2)求出菱形的面积，再利用S△OAP=12OA⋅|xp|进行计算即可．
本题考查反比例函数与几何的综合应用．正确的求出反比例函数的解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．

26.【答案】证明：(1)∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC，
∵∠ABC=2∠C，
∴∠ABD=∠ACB，
又∵∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴ABAC=ADAB，
∴AB2=AC⋅AD；
(2)①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是BD的中点，
∵EF=DE，即E是DF的中点，
∴OE是△BDF的中位线，
∴OE/​/BF，
∵BF⊥BD，
∴OE⊥BD，即AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
②∵OD2=OE⋅OA，
∴ODOE=OAOD，
又∵∠AOD=∠DOE，
∴△AOD∽△DOE，
∴∠OAD=∠ODE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠OAD=∠OAB，
∴∠GAE=∠ODE
∵∠AEG=∠DEO，
∴∠AGE=∠DOE，
∵OE//BF，
∴∠DBF=∠DOE，
∴∠AGE=∠DBF，
∴△AGE∽△DBF，
∴AGDB=AEDF，即DF⋅AG=AE⋅BD． 
【解析】(1)只需要证明△ABD∽△ACB，得到ABAC=ADAB，即可证明AB2=AC⋅AD；
(2)①证明OE是△BDF的中位线，推出AC⊥BD，即可证明平行四边形ABCD是菱形；
②先证明△AOD∽△DOE，得到∠OAD=∠ODE，再证明△AGE∽△DBF，即可证明DF⋅AG=AE⋅BD．
本题主要考查了菱形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，平行四边形的性质，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．