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2022-2023学年浙江省宁波市海曙外国语学校七年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年浙江省宁波市海曙外国语学校七年级（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省宁波市海曙外国语学校七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 马虎同学在下面的计算中只做对了一道题.他做对的题目是( )
A. a3+a3=a6 B. (a3)3⋅a6=a12 C. 2a6÷a3=2a2 D. 2a3⋅3a5=6a8
2. 甲型H1N1流感病毒的直径大约是0.000000081米，用科学记数法可表示为( )
A. 8.1×10−9米 B. 8.1×10−8米 C. 81×10−9米 D. 0.81×10−7米
3. 下列各式中是二元一次方程的是( )
A. 3x−6=x B. x=5y−1 C. 2x−3y=x2 D. 3x=2y
4. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. x2+2x−1=x(x+2)−1 B. a2−b2=(a+b)(a−b)
C. (a+b)(a−b)=a2−b2 D. ax2−a=a(x2−1)
5. 下列运算中，错误的是( )
A. x−yx+y=y−xy+x B. −a−ba+b=−1
C. 0.5a+b0.2a−0.3b=5a+10b2a−3b D. ab=acbc(c≠0)
6. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两(我国古代货币单位)；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为( )
A. 4x+6y=383x+5y=48 B. 4y+6x=483y+5x=38 C. 4x+6y=485x+3y=38 D. 4x+6y=483x+5y=38
7. 若xm=5，xn=−2，则xm+2n=( )
A. 12 B. 20 C. −20 D. −12
8. 若关于x，y的二元一次方程组x+y=5kx−y=9k的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k的值为( )
A. 34 B. −34 C. 43 D. −43
9. 已知实数a，b、c满足a+b=ab=c，有下列结论：
①若c≠0，则2a−3ab+2b5a+7ab+5b=−112；
②若a=3，则b+c=6；
③若c≠0，则(1−a)(1−b)=1a+1b；
④若c=4，则a2+b2=8．
其中正确个数有个．( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10. 如图，为了美化校园，某校要在面积为24平方米长方形空地ABCD中划出长方形EBKR和长方形QFSD，若两者的重合部分GFHR恰好是一个边长为2米的正方形，现将图中阴影部分区域作为花圃，若长方形空地ABCD的长和宽分别为m和n，m>n，花圃区域AEGQ和HKCS总周长为12米，则m−n的值为( )
A. 4米 B. 2米 C. 3米 D. 6米
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 已知方程5x+3y=1，改写成用含x的式子表示y的形式______ ．
12. 使分式3x−4有意义的字母x的取值范围是______ ．
13. 计算：1012−992=______．
14. 如果(x+1)(x2−5ax+a)的乘积中不含x2项，则a为 ．
15. 若关于x的方程axx−1=1x−1+2无解，则a的值是______ ．
16. 已知a，b为自然数，且a>b，若(a+b)+(3a+ab−b)+4ab=64，则a= ______ ，b= ______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
计算：
(1)①(−2)2−(2021−π)0−(−12)−2；
②(2m2+6m2n−m3)÷(−2m2).
(2)因式分解：
①a2−4b2；
②2mx2−4mxy+2my2．
18. (本小题6.0分)
解方程：
①2x−7y=53x−8y=10；
②3x−1−x+2x(x−1)=0．
19. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(a2+1a−2)÷(a+2)(a−1)a2+2a，其中−2≤a≤2，从中选一个你喜欢的整数代入求值．
20. (本小题7.0分)
为了防治“甲流病毒”，某医药公司计划用两种车型购买相关药物.已知：用2辆A型车和1辆B型车装满药物一次可运11吨，用1辆A型车和2辆B型车装满药物一次可运13吨．
(1)求1辆A型车和1辆B型车都装满药物一次可分别运多少吨？
(2)该医药公司准备购买33吨药物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆.一次运完，且恰好每辆车都装满.请你帮该医药公司设计租车方案．
21. (本小题9.0分)
用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式.例如：计算图1的面积，把图1看作一个大正方形.它的面积是(a+b)2；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为a2+2ab+b2，由此得到(a+b)2=a2+2ab+b2．
(1)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为(a+b+c)的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为______ ．
(2)利用(1)中的结论解决以下问题：
已知a+b+c=10，ab+ac+bc=37，求a2+b2+c2的值；
(3)如图3，正方形ABCD边长为a，正方形CEFG边长为b，点D，G，C在同一直线上，连接BD、DF，若a−b=5，ab=6，求图3中阴影部分的面积．
22. (本小题12.0分)
观察下列各式：(x≠0)
(1x−1)(1x+1)=1x2−1，
(1x−1)(1x2+1x+1)=1x3−1，
(1x−1)(1x3+1x2+1x+1)=1x4−1．
(1)从上面的算式及计算结果，根据你发现的规律直接写下面的空格：
(1x−1)(1x7+1x6+1x5+1x4+1x3+1x2+1x+1)= ______ ；
(2)用数学的整体思想方法，设1x=m，分解内式：(m7+m6+m5+m4+m3+m2+m+1)(m≠1)；
(3)已知1+2+22+23+24+25+26+27=a⋅b⋅c⋅d，a、b、c、d都是正整数，且a>b>c>d.化简求(−bcd)2÷(−5b17c)×6da的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：a3+a3=2a3，故A错误，不符合题意；
(a3)3⋅a6=a15，故B错误，不符合题意；
2a6÷a3=2a3，故C错误，不符合题意；
2a3⋅3a5=6a8，故D正确，符合题意；
故选：D．
由合并同类项法则，幂的乘方，同底数的幂的乘除法则逐项判断．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．
2.【答案】B
【解析】解：0.000 000081=8.1×10−8米．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】D
【解析】
解：A.是一元一次方程，故A不符合题意；
B.不是整式方程，故B不符合题意；
C.含有两个未知数，但未知数x的最高次数是2，故C不符合题意；
D.是二元一次方程，故D符合题意，
故选：D．
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，注意二元一次方程必须符合以下三个条件：(1)方程中只含有2个未知数；(2)含未知数项的最高次数为一次；(3)方程是整式方程．
根据二元一次方程的定义求解即可．
4.【答案】B
【解析】解：A、x2+2x−1=x(x+2)−1，等式的右边不是几个多项式的乘积，故此选项不符合题意；
B、a2−b2=(a+b)(a−b)，属于因式分解，故此选项符合题意；
C、(a+b)(a−b)=a2−b2，属于整式的乘法，故此选项不符合题意；
D、ax2−a=a(x2−1)=a(x+1)(x−1)，故此选项不符合题意；
故答案选：B．
根据因式分解的定义把一个多项式分解为几个多项式的乘积即可求解．
本题考查了因式分解的意义，掌握因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式是关键．
5.【答案】A
【解析】解：A、x−yx+y=x−yy+x，故本选项错误；
B、−a−ba+b=−1，故本选项正确；
C、0.5a+b0.2a−0.3b=5a+10b2a−3b，故本选项正确；
D、ab=acbc(c≠0)，故本选项正确．
故选：A．
根据分式的基本性质，分子、分母、分母本身的符号中，改变其中两个符号，分式的值不变，对每一项进行分析即可．
此题考查了分式的基本性质，注意同时改变其中两个符号，分式的值不变，是一道基础题．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两(我国古代货币单位)；马三匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程即可得出答案．
此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．
【解答】
解：设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为：
4x+6y=483x+5y=38．
故选：D．
7.【答案】B
【解析】解：当xm=5，xn=−2时，
xm+2n
=xm⋅x2n
=xm⋅(xn)2
=5×(−2)2
=5×4
=20．
故选：B．
利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
本题主要考查积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
8.【答案】A
【解析】解：x+y=5k①x−y=9k②，
①+②，得
2x=14k，
∴x=7k，
把x=7k代入①，得
7k+y=5k，
∴y=−2k，
∴x=7ky=−2k，
∵关于x，y的二元一次方程组x+y=5kx−y=9k的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，
∴2×7k+3×(−2k)=6，
解得k=34，
故选：A．
先求出方程组的解，把x、y的值代入方程2x+3y=6，即可求出k．
本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解等知识点，能得出关于k的方程是解此题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵a+b=ab=c，
∴①当c≠0时，
2a−3ab+2b5a+7ab+5b
=2(a+b)−3ab5(a+b)+7ab
=−ab12ab
=−112，故①结论正确；
②当a=3时，
∴3+b=c，3+b=3b，
解得：b=32，
∴c=92，
∴b+c
=32+92
=6，故②结论正确；
③(1−a)(1−b)
=1−(a+b)+ab
=1−ab+ab
=1，
1a+1b
=a+bab
=1，
则(1−a)(1−b)=1a+1b，故③结论正确；
④当c=4，
则a+b=ab=4，
∴a2+b2
=(a+b)2−2ab
=42−2×4
=8，故④结论正确．
综上所述，正确的结论有4个．
故选：D．
结合条件，对各个结论进行分析即可．
本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
10.【答案】B
【解析】解：∵花圃区域AEGQ和HKCS总周长为20米，重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，
∴2(m−2)+2(n−2)=12，
∴m+n=10，
∵mn=24，
∴(m+n)2=m2+n2+2mn=m2+n2+48=100，
∴m2+n2=52，
∴(m−n)2=m2+n2−2mn=52−48=4，
∵m>n，
∴m−n=2．
故选：B．
根据花圃区域AEGQ和HKCS总周长为12米，重合部分GFHR恰好是一个边长为2米的正方形，可得m+n=10，再根据长方形面积公式可得mn=24，再根据完全平方公式即可求解．
本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程．
11.【答案】y=1−5x3
【解析】解：5x+3y=1，
3y=1−5x，
y=1−5x3．
故答案为：y=1−5x3．
将x看做已知数求出y即可．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y．
12.【答案】x≠4
【解析】解：要使分式有意义，
则x−4≠0，
解得x≠4．
故答案是：x≠4．
分式有意义的条件：分母不能为0．
本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．
13.【答案】400
【解析】解：1012−992=(101+99)×(101−99)=400．
故答案为：400．
直接利用平方差公式分解因式进而计算得出即可．
此题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题关键．
14.【答案】15
【解析】解：原式=x3−5ax2+ax+x2−5ax+a，
=x3+(1−5a)x2−4ax+a，
∵不含x2项，
∴1−5a=0，
解得a=15．
先用多项式乘以多项式的运算法则展开再合并同类项，令x2项的系数为0，求出a的值即可．
本题考查了多项式乘多项式，掌握不含某一项，就是先将其合并，再让这一项的系数等于0求解．
15.【答案】1或2
【解析】解：两边同时乘以x−1得ax=1+2x−2，即(a−2)x=−1；
当分母为0时，x−1=0，x=1，
此时a−2=−1，
解得a=1；
当x系数为0时，a−2=0，方程无解，
解得a=2．
故答案为：1或2．
先去分母化为整式方程，再分分母为0和x系数为0两种情况分别讨论．
本题考查了根据分式方程的无解求参数的值，是需要识记的内容．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
16.【答案】8 2
【解析】解：∵(a+b)+(3a+ab−b)+4ab=64，
∴a+b+3a+ab−b+4ab=64，
∴ab2+4ab+4a=64b，
∴a(b+2)2=64b，
设a=kb，则kb(b+2)2=64b，
∵a，b为自然数，
∴a≠0，b≠0，
∴k(b+2)2=64=16×22=4×42，
∴k=16，b+2=2或k=4，b+2=4，
∴k=16，b=0(不合题意，舍去)或k=4，b=2，
∴a=4×2=8，
故答案为：8，2．
化简原式可得：a(b+2)2=64b，设a=kb，则kb(b+2)2=64b，再根据k(b+2)2=64=16×22=4×42可求a，b．
本题主要考查了分时的加减，因式分解的应用，熟记完全平方公式是解决本题的关键．
17.【答案】解：(1)①(−2)2−(2021−π)0−(−12)−2
=4−1−4
=−1；
②(2m2+6m2n−m3)÷(−2m2)
=2m2÷(−2m2)+6m2n÷(−2m2)−m3÷(−2m2)
=−1−3n+m2．
(2)①a2−4b2=(a+2b)(a−2b)；
②2mx2−4mxy+2my2=2m(x2−2xy+y2)=2m(x−y)2．
【解析】(1)①利用实数有关运算法则计算即可；
②利用多项式除以单项式的法则计算即可．
(2)①利用平方差公式因式分解即可；
②先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可．
本题考查了实数的有关运算法则，多项式除以单项式法则，提公因式及公式法因式分解，这些知识点均为重要知识点，必须熟练掌握．
18.【答案】解：①2x−7y=5①3x−8y=10②，
①×3−②×2得：−5y=−5，
解得：y=1，
把y=1代入①得：2x−7=5，
解得：x=6，
则方程组的解为x=6y=1；
②去分母得：3x−x−2=0，
解得：x=1，
检验：把x=1代入得：x(x−1)=0，
∴x=1是增根，分式方程无解．
【解析】①方程组利用加减消元法求出解即可；
②分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，以及解二元一次方程组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
19.【答案】解：原式=a2+1−2aa⋅a(a+2)(a+2)(a−1)=(a−1)2a⋅a(a+2)(a+2)(a−1)=a−1，
∵−2≤a≤2，且a为整数，
∴a=0，1，−2时没有意义，a=−1或2，
当a=−1时，原式=−2；当a=2时，原式=1．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，确定出a的值，代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】解：(1)设1辆A型车装满药物一次可运x吨，1辆B型车装满药物一次可运y吨，
由题意得：2x+y=11x+2y=13，
解得：x=3y=5，
答：1辆A型车装满药物一次可运3吨，1辆B型车装满药物一次可运5吨；
(2)由题意，得3a+5b=33，
整理得：a=11−53b，
∵a，b均为正整数，
∴a=6b=3或a=1b=6，
∴有2种租车方案：
①租A型车6辆，B型车3辆；
②租A型车1辆，B型车6辆．
【解析】(1)设1辆A型车装满药物一次可运x吨，1辆B型车装满药物一次可运y吨，根据用2辆A型车和1辆B型车装满药物一次可运11吨，用1辆A型车和2辆B型车装满药物一次可运13吨．列出二元一次方程组，解方程组即可；
(2)根据该医药公司准备购买33吨药物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆．一次运完，且恰好每辆车都装满．列出二元一次方程，求出正整数解即可》
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程．
21.【答案】(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
【解析】解：(1)图2整体是边长为a+b+c的正方形，因此面积为(a+b+c)2，图2中9个部分面积和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
因此有(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
故答案为：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
(2)∵a+b+c=10，ab+ac+bc=37，而(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
∴100=a2+b2+c2+37×2，
即a2+b2+c2=26，
答：a2+b2+c2的值为26；
(3)∵a−b=5，ab=6，
∴(a+b)2=(a−b)2+4ab
=25+24
=49，
又∵a>b>0，
∴a+b=7，
∴S阴影部分=S△BCD−S△DFG−S正方形CEFG
=12a2−12b×(a−b)−b2
=12(a2−ab−b2)
=12[(a+b)(a−b)−ab]
=12(5×7−6)
=292．
(1)从“整体”和“部分”两个方面用代数式表示图2的面积即可；
(2)利用(1)的结论代入计算即可；
(3)根据图形中各个部分面积之间的关系得出S阴影部分=S△BCD−S△DFG−S正方形CEFG，再代入计算即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，以及完全平方式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示各个部分的面积是解决问题的关键．
22.【答案】1x8−1
【解析】解：(1)由所给的三个等式，可归纳出：(1x−1)(1x7+1x6+1x5+1x4+1x3+1x2+1x+1)=1 x8−1；
故答案为：1x8−1．
(2)由(1)中知：(1x−1)(1x7+1x6+1x5+1x4+1x3+1x2+1x+1)=1 x8−1；
∴1x7+1x6+1x5+1x4+1x3+1x2+1x+1=(1 x8−1)÷(1x−1)；
设1x=m(m≠1)；
即：m7+m6+m5+m4+m3+m2+m+1=m8−1m−1=(m4−1)(m4+1)m−1=(m2−1)(m2+1)(m4+1)m−1=(m−1)(m+1)(m2+1)(m4+1)m−1=(m+1)(m2+1)(m4+1)；
∴m7+m6+m5+m4+m3+m2+m+1=(m+1)(m2+1)(m4+1)．
(3)由(2)知m7+m6+m5+m4+m3+m2+m+1=(m+1)(m2+1)(m4+1)；
∴当m=2时，得27+26+25+24+23+22+2+1=(2+1)(22+1)(24+1)=3×5×17；
∵1+2+22+23+24+25+26+27=a⋅b⋅c⋅d；
∴a⋅b⋅c⋅d=3×5×1×17；
又∵a、b、c、d都是正整数，且a>b>c>d；
∴a=17，b=5，c=3，d=1；
∵(−bcd)2÷(−5b17c)×6da=b2c2d2×(−17c5b)×6da=−17×6b5acd；
当a=17，b=5，c=3，d=1时；
原式=−17×6×55×17×3×1=−2．
(1)根据所给的三个等式归纳规律解答即可；
(2)利用得出的规律，运用平方差公式进行分解因式；
(3)根据(2)中的规律，当m=2时，得出a，b，c，d的值，再进行化简求值．
本题考查了用平方差公式进行因式分解，分式的化简，根据所给的等式归纳出规律是解答本题的关键．
2022-2023学年浙江省宁波市海曙外国语学校七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 马虎同学在下面的计算中只做对了一道题.他做对的题目是( )
A. a3+a3=a6 B. (a3)3⋅a6=a12 C. 2a6÷a3=2a2 D. 2a3⋅3a5=6a8
2. 甲型H1N1流感病毒的直径大约是0.000000081米，用科学记数法可表示为( )
A. 8.1×10−9米 B. 8.1×10−8米 C. 81×10−9米 D. 0.81×10−7米
3. 下列各式中是二元一次方程的是( )
A. 3x−6=x B. x=5y−1 C. 2x−3y=x2 D. 3x=2y
4. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. x2+2x−1=x(x+2)−1 B. a2−b2=(a+b)(a−b)
C. (a+b)(a−b)=a2−b2 D. ax2−a=a(x2−1)
5. 下列运算中，错误的是( )
A. x−yx+y=y−xy+x B. −a−ba+b=−1
C. 0.5a+b0.2a−0.3b=5a+10b2a−3b D. ab=acbc(c≠0)
6. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两(我国古代货币单位)；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为( )
A. 4x+6y=383x+5y=48 B. 4y+6x=483y+5x=38 C. 4x+6y=485x+3y=38 D. 4x+6y=483x+5y=38
7. 若xm=5，xn=−2，则xm+2n=( )
A. 12 B. 20 C. −20 D. −12
8. 若关于x，y的二元一次方程组x+y=5kx−y=9k的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k的值为( )
A. 34 B. −34 C. 43 D. −43
9. 已知实数a，b、c满足a+b=ab=c，有下列结论：
①若c≠0，则2a−3ab+2b5a+7ab+5b=−112；
②若a=3，则b+c=6；
③若c≠0，则(1−a)(1−b)=1a+1b；
④若c=4，则a2+b2=8．
其中正确个数有个．( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10. 如图，为了美化校园，某校要在面积为24平方米长方形空地ABCD中划出长方形EBKR和长方形QFSD，若两者的重合部分GFHR恰好是一个边长为2米的正方形，现将图中阴影部分区域作为花圃，若长方形空地ABCD的长和宽分别为m和n，m>n，花圃区域AEGQ和HKCS总周长为12米，则m−n的值为( )
A. 4米 B. 2米 C. 3米 D. 6米
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 已知方程5x+3y=1，改写成用含x的式子表示y的形式______ ．
12. 使分式3x−4有意义的字母x的取值范围是______ ．
13. 计算：1012−992=______．
14. 如果(x+1)(x2−5ax+a)的乘积中不含x2项，则a为 ．
15. 若关于x的方程axx−1=1x−1+2无解，则a的值是______ ．
16. 已知a，b为自然数，且a>b，若(a+b)+(3a+ab−b)+4ab=64，则a= ______ ，b= ______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
计算：
(1)①(−2)2−(2021−π)0−(−12)−2；
②(2m2+6m2n−m3)÷(−2m2).
(2)因式分解：
①a2−4b2；
②2mx2−4mxy+2my2．
18. (本小题6.0分)
解方程：
①2x−7y=53x−8y=10；
②3x−1−x+2x(x−1)=0．
19. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(a2+1a−2)÷(a+2)(a−1)a2+2a，其中−2≤a≤2，从中选一个你喜欢的整数代入求值．
20. (本小题7.0分)
为了防治“甲流病毒”，某医药公司计划用两种车型购买相关药物.已知：用2辆A型车和1辆B型车装满药物一次可运11吨，用1辆A型车和2辆B型车装满药物一次可运13吨．
(1)求1辆A型车和1辆B型车都装满药物一次可分别运多少吨？
(2)该医药公司准备购买33吨药物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆.一次运完，且恰好每辆车都装满.请你帮该医药公司设计租车方案．
21. (本小题9.0分)
用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式.例如：计算图1的面积，把图1看作一个大正方形.它的面积是(a+b)2；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为a2+2ab+b2，由此得到(a+b)2=a2+2ab+b2．
(1)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为(a+b+c)的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为______ ．
(2)利用(1)中的结论解决以下问题：
已知a+b+c=10，ab+ac+bc=37，求a2+b2+c2的值；
(3)如图3，正方形ABCD边长为a，正方形CEFG边长为b，点D，G，C在同一直线上，连接BD、DF，若a−b=5，ab=6，求图3中阴影部分的面积．
22. (本小题12.0分)
观察下列各式：(x≠0)
(1x−1)(1x+1)=1x2−1，
(1x−1)(1x2+1x+1)=1x3−1，
(1x−1)(1x3+1x2+1x+1)=1x4−1．
(1)从上面的算式及计算结果，根据你发现的规律直接写下面的空格：
(1x−1)(1x7+1x6+1x5+1x4+1x3+1x2+1x+1)= ______ ；
(2)用数学的整体思想方法，设1x=m，分解内式：(m7+m6+m5+m4+m3+m2+m+1)(m≠1)；
(3)已知1+2+22+23+24+25+26+27=a⋅b⋅c⋅d，a、b、c、d都是正整数，且a>b>c>d.化简求(−bcd)2÷(−5b17c)×6da的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：a3+a3=2a3，故A错误，不符合题意；
(a3)3⋅a6=a15，故B错误，不符合题意；
2a6÷a3=2a3，故C错误，不符合题意；
2a3⋅3a5=6a8，故D正确，符合题意；
故选：D．
由合并同类项法则，幂的乘方，同底数的幂的乘除法则逐项判断．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．
2.【答案】B
【解析】解：0.000 000081=8.1×10−8米．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】D
【解析】
解：A.是一元一次方程，故A不符合题意；
B.不是整式方程，故B不符合题意；
C.含有两个未知数，但未知数x的最高次数是2，故C不符合题意；
D.是二元一次方程，故D符合题意，
故选：D．
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，注意二元一次方程必须符合以下三个条件：(1)方程中只含有2个未知数；(2)含未知数项的最高次数为一次；(3)方程是整式方程．
根据二元一次方程的定义求解即可．
4.【答案】B
【解析】解：A、x2+2x−1=x(x+2)−1，等式的右边不是几个多项式的乘积，故此选项不符合题意；
B、a2−b2=(a+b)(a−b)，属于因式分解，故此选项符合题意；
C、(a+b)(a−b)=a2−b2，属于整式的乘法，故此选项不符合题意；
D、ax2−a=a(x2−1)=a(x+1)(x−1)，故此选项不符合题意；
故答案选：B．
根据因式分解的定义把一个多项式分解为几个多项式的乘积即可求解．
本题考查了因式分解的意义，掌握因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式是关键．
5.【答案】A
【解析】解：A、x−yx+y=x−yy+x，故本选项错误；
B、−a−ba+b=−1，故本选项正确；
C、0.5a+b0.2a−0.3b=5a+10b2a−3b，故本选项正确；
D、ab=acbc(c≠0)，故本选项正确．
故选：A．
根据分式的基本性质，分子、分母、分母本身的符号中，改变其中两个符号，分式的值不变，对每一项进行分析即可．
此题考查了分式的基本性质，注意同时改变其中两个符号，分式的值不变，是一道基础题．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两(我国古代货币单位)；马三匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程即可得出答案．
此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．
【解答】
解：设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为：
4x+6y=483x+5y=38．
故选：D．
7.【答案】B
【解析】解：当xm=5，xn=−2时，
xm+2n
=xm⋅x2n
=xm⋅(xn)2
=5×(−2)2
=5×4
=20．
故选：B．
利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
本题主要考查积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
8.【答案】A
【解析】解：x+y=5k①x−y=9k②，
①+②，得
2x=14k，
∴x=7k，
把x=7k代入①，得
7k+y=5k，
∴y=−2k，
∴x=7ky=−2k，
∵关于x，y的二元一次方程组x+y=5kx−y=9k的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，
∴2×7k+3×(−2k)=6，
解得k=34，
故选：A．
先求出方程组的解，把x、y的值代入方程2x+3y=6，即可求出k．
本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解等知识点，能得出关于k的方程是解此题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵a+b=ab=c，
∴①当c≠0时，
2a−3ab+2b5a+7ab+5b
=2(a+b)−3ab5(a+b)+7ab
=−ab12ab
=−112，故①结论正确；
②当a=3时，
∴3+b=c，3+b=3b，
解得：b=32，
∴c=92，
∴b+c
=32+92
=6，故②结论正确；
③(1−a)(1−b)
=1−(a+b)+ab
=1−ab+ab
=1，
1a+1b
=a+bab
=1，
则(1−a)(1−b)=1a+1b，故③结论正确；
④当c=4，
则a+b=ab=4，
∴a2+b2
=(a+b)2−2ab
=42−2×4
=8，故④结论正确．
综上所述，正确的结论有4个．
故选：D．
结合条件，对各个结论进行分析即可．
本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
10.【答案】B
【解析】解：∵花圃区域AEGQ和HKCS总周长为20米，重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，
∴2(m−2)+2(n−2)=12，
∴m+n=10，
∵mn=24，
∴(m+n)2=m2+n2+2mn=m2+n2+48=100，
∴m2+n2=52，
∴(m−n)2=m2+n2−2mn=52−48=4，
∵m>n，
∴m−n=2．
故选：B．
根据花圃区域AEGQ和HKCS总周长为12米，重合部分GFHR恰好是一个边长为2米的正方形，可得m+n=10，再根据长方形面积公式可得mn=24，再根据完全平方公式即可求解．
本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程．
11.【答案】y=1−5x3
【解析】解：5x+3y=1，
3y=1−5x，
y=1−5x3．
故答案为：y=1−5x3．
将x看做已知数求出y即可．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y．
12.【答案】x≠4
【解析】解：要使分式有意义，
则x−4≠0，
解得x≠4．
故答案是：x≠4．
分式有意义的条件：分母不能为0．
本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．
13.【答案】400
【解析】解：1012−992=(101+99)×(101−99)=400．
故答案为：400．
直接利用平方差公式分解因式进而计算得出即可．
此题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题关键．
14.【答案】15
【解析】解：原式=x3−5ax2+ax+x2−5ax+a，
=x3+(1−5a)x2−4ax+a，
∵不含x2项，
∴1−5a=0，
解得a=15．
先用多项式乘以多项式的运算法则展开再合并同类项，令x2项的系数为0，求出a的值即可．
本题考查了多项式乘多项式，掌握不含某一项，就是先将其合并，再让这一项的系数等于0求解．
15.【答案】1或2
【解析】解：两边同时乘以x−1得ax=1+2x−2，即(a−2)x=−1；
当分母为0时，x−1=0，x=1，
此时a−2=−1，
解得a=1；
当x系数为0时，a−2=0，方程无解，
解得a=2．
故答案为：1或2．
先去分母化为整式方程，再分分母为0和x系数为0两种情况分别讨论．
本题考查了根据分式方程的无解求参数的值，是需要识记的内容．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
16.【答案】8 2
【解析】解：∵(a+b)+(3a+ab−b)+4ab=64，
∴a+b+3a+ab−b+4ab=64，
∴ab2+4ab+4a=64b，
∴a(b+2)2=64b，
设a=kb，则kb(b+2)2=64b，
∵a，b为自然数，
∴a≠0，b≠0，
∴k(b+2)2=64=16×22=4×42，
∴k=16，b+2=2或k=4，b+2=4，
∴k=16，b=0(不合题意，舍去)或k=4，b=2，
∴a=4×2=8，
故答案为：8，2．
化简原式可得：a(b+2)2=64b，设a=kb，则kb(b+2)2=64b，再根据k(b+2)2=64=16×22=4×42可求a，b．
本题主要考查了分时的加减，因式分解的应用，熟记完全平方公式是解决本题的关键．
17.【答案】解：(1)①(−2)2−(2021−π)0−(−12)−2
=4−1−4
=−1；
②(2m2+6m2n−m3)÷(−2m2)
=2m2÷(−2m2)+6m2n÷(−2m2)−m3÷(−2m2)
=−1−3n+m2．
(2)①a2−4b2=(a+2b)(a−2b)；
②2mx2−4mxy+2my2=2m(x2−2xy+y2)=2m(x−y)2．
【解析】(1)①利用实数有关运算法则计算即可；
②利用多项式除以单项式的法则计算即可．
(2)①利用平方差公式因式分解即可；
②先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可．
本题考查了实数的有关运算法则，多项式除以单项式法则，提公因式及公式法因式分解，这些知识点均为重要知识点，必须熟练掌握．
18.【答案】解：①2x−7y=5①3x−8y=10②，
①×3−②×2得：−5y=−5，
解得：y=1，
把y=1代入①得：2x−7=5，
解得：x=6，
则方程组的解为x=6y=1；
②去分母得：3x−x−2=0，
解得：x=1，
检验：把x=1代入得：x(x−1)=0，
∴x=1是增根，分式方程无解．
【解析】①方程组利用加减消元法求出解即可；
②分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，以及解二元一次方程组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
19.【答案】解：原式=a2+1−2aa⋅a(a+2)(a+2)(a−1)=(a−1)2a⋅a(a+2)(a+2)(a−1)=a−1，
∵−2≤a≤2，且a为整数，
∴a=0，1，−2时没有意义，a=−1或2，
当a=−1时，原式=−2；当a=2时，原式=1．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，确定出a的值，代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】解：(1)设1辆A型车装满药物一次可运x吨，1辆B型车装满药物一次可运y吨，
由题意得：2x+y=11x+2y=13，
解得：x=3y=5，
答：1辆A型车装满药物一次可运3吨，1辆B型车装满药物一次可运5吨；
(2)由题意，得3a+5b=33，
整理得：a=11−53b，
∵a，b均为正整数，
∴a=6b=3或a=1b=6，
∴有2种租车方案：
①租A型车6辆，B型车3辆；
②租A型车1辆，B型车6辆．
【解析】(1)设1辆A型车装满药物一次可运x吨，1辆B型车装满药物一次可运y吨，根据用2辆A型车和1辆B型车装满药物一次可运11吨，用1辆A型车和2辆B型车装满药物一次可运13吨．列出二元一次方程组，解方程组即可；
(2)根据该医药公司准备购买33吨药物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆．一次运完，且恰好每辆车都装满．列出二元一次方程，求出正整数解即可》
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程．
21.【答案】(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
【解析】解：(1)图2整体是边长为a+b+c的正方形，因此面积为(a+b+c)2，图2中9个部分面积和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
因此有(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
故答案为：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
(2)∵a+b+c=10，ab+ac+bc=37，而(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
∴100=a2+b2+c2+37×2，
即a2+b2+c2=26，
答：a2+b2+c2的值为26；
(3)∵a−b=5，ab=6，
∴(a+b)2=(a−b)2+4ab
=25+24
=49，
又∵a>b>0，
∴a+b=7，
∴S阴影部分=S△BCD−S△DFG−S正方形CEFG
=12a2−12b×(a−b)−b2
=12(a2−ab−b2)
=12[(a+b)(a−b)−ab]
=12(5×7−6)
=292．
(1)从“整体”和“部分”两个方面用代数式表示图2的面积即可；
(2)利用(1)的结论代入计算即可；
(3)根据图形中各个部分面积之间的关系得出S阴影部分=S△BCD−S△DFG−S正方形CEFG，再代入计算即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，以及完全平方式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示各个部分的面积是解决问题的关键．
22.【答案】1x8−1
【解析】解：(1)由所给的三个等式，可归纳出：(1x−1)(1x7+1x6+1x5+1x4+1x3+1x2+1x+1)=1 x8−1；
故答案为：1x8−1．
(2)由(1)中知：(1x−1)(1x7+1x6+1x5+1x4+1x3+1x2+1x+1)=1 x8−1；
∴1x7+1x6+1x5+1x4+1x3+1x2+1x+1=(1 x8−1)÷(1x−1)；
设1x=m(m≠1)；
即：m7+m6+m5+m4+m3+m2+m+1=m8−1m−1=(m4−1)(m4+1)m−1=(m2−1)(m2+1)(m4+1)m−1=(m−1)(m+1)(m2+1)(m4+1)m−1=(m+1)(m2+1)(m4+1)；
∴m7+m6+m5+m4+m3+m2+m+1=(m+1)(m2+1)(m4+1)．
(3)由(2)知m7+m6+m5+m4+m3+m2+m+1=(m+1)(m2+1)(m4+1)；
∴当m=2时，得27+26+25+24+23+22+2+1=(2+1)(22+1)(24+1)=3×5×17；
∵1+2+22+23+24+25+26+27=a⋅b⋅c⋅d；
∴a⋅b⋅c⋅d=3×5×1×17；
又∵a、b、c、d都是正整数，且a>b>c>d；
∴a=17，b=5，c=3，d=1；
∵(−bcd)2÷(−5b17c)×6da=b2c2d2×(−17c5b)×6da=−17×6b5acd；
当a=17，b=5，c=3，d=1时；
原式=−17×6×55×17×3×1=−2．
(1)根据所给的三个等式归纳规律解答即可；
(2)利用得出的规律，运用平方差公式进行分解因式；
(3)根据(2)中的规律，当m=2时，得出a，b，c，d的值，再进行化简求值．
本题考查了用平方差公式进行因式分解，分式的化简，根据所给的等式归纳出规律是解答本题的关键．
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