2022-2023学年福建省泉州市南安市八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年福建省泉州市南安市八年级（下）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，四象限，那么k的取值范围是，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省泉州市南安市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若分式2x−5有意义，则x的取值范围是(    )
A. x>5 B. x≠5 C. x=5 D. xkx+4的解集是______．


14. 一组数据的方差计算公s2=14[(3−x−)2+(6−x−)2+(6−x−)2+(9−x−)2]，则这组数据的方差是______ ．
15. 如图，正方形ABCD的边长为6，点E在对角线AC上，连接BE，过点E作FE⊥BE，交AD于点F，若AF=2，则四边形ABEF的面积为______ ．


16. 如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点C在x轴的正半轴上，点A是第一象限内一点，反比例函数y=kx的图象经过点A和BC边的中点D，若△ABD的面积为3，则k的值为______ ．


三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算：
16−(−2023)0+(−12)−1．
18. (本小题8.0分)
先化简，再求值；
(x−1x)÷x2−2x+1x，其中x=2．
19. (本小题8.0分)
如图，在▱ABCD中，BD平分∠ABC．
求证：四边形ABCD是菱形．

20. (本小题8.0分)
如图，已知反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)与正比例函数y=2x的图象交于A，B两点，点A的坐标为(1,m)．
(1)求该反比例函数的表达式；
(2)若点C在x轴上，且△BOC的面积为5，求点C的坐标．

21. (本小题8.0分)
某校初二年段开展数学竞赛的预选赛共有20道单选题，满分为100分，参加数学竞赛的学生分为甲乙两组，每组学生均为20名，赛后根据竞赛成绩得到尚不完整的统计图表(如图)，已知竞赛成绩统计表中a，b满足a=2b，请根据所给信息，解答下列问题：
甲组20名学生竞赛成绩统计表
成绩(分)
70
80
90
100
人数
3
a
b
5
(1)a= ______ ，b= ______ ；
(2)小明按以下方法计算甲组20名学生竞赛成绩的平均分是：(70+80+90+100)+4=85(分)根据所学统计知识判断小明的计算是否正确，若不正确，请写出正确的算式并计算出结果：
(3)如果依据平均成绩确定竞赛结果，那么竞赛成绩较好的是哪个组？请说明理由．

22. (本小题10.0分)
如图，四边形ABCD是矩形，连接AC．
(1)尺规作图：过点D作DE//AC交BC的延长线于点E.(保留作图痕迹，不写作法
(2)若AB=3，且四边形ACED的周长比矩形ABCD的周长多4，求四边形ACED的面积．

23. (本小题10.0分)
为了改进教学方式，促进学生学习方式的转变，我市开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，某学校计划购买A，B两种型号教学设备，已知A型设备价比B型设备价格每台高20%，用60000元购买A型设备的数量比用48000元购买B型设备的数量多1台．
(1)求A，B型设备单价分别是多少元：
(2)该校计划购买两种设备共100台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的12，设购买a台A型设备，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出最少购别为费用．
24. (本小题13.0分)
问题情境：
数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动，已知矩形纸片边长分别为AB=a，AD=b(a1．
故答案为：x>1．  
14.【答案】4.5 
【解析】解：由题意知，这组数据为3、6、6、9，
∴这组数据的平均数x−=14×(3+6+6+9)=6，
∴s2=14[(3−6)2+(6−6)2+(6−6)2+(9−6)2]=4.5．
故答案为：4.5．
根据方差的计算公式得出这组数据为3、6、6、9，求出平均数，再代入方差公式计算可得答案．
本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为x−，则方差S2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+…+(xn−x−)2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．求出这组数据的平均数是解题的关键．

15.【答案】16 
【解析】解：分别过点E作EG⊥AB于G，EH⊥AD于H，则

∠EHA=∠EGA=∠BAD=90°，
∴四边形AGEH是矩形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAG=45°，
∴∠AEG=45°，
∴∠AEG=∠EAG，
∴AG=GE，
∴四边形AGEH是正方形，
∴HE=EG，
∵∠FEB=∠HEG=90°，
∴∠HEF+∠FEG=∠FEG+∠GEB=90°，
∴∠HEF=∠GEB，
在△EFH和△EBG中，
∠EHF=∠ECBEH=EG∠FEH=∠GEB，
∴△EFH≌△EBG(ASA)，
∴FH=BG，
设FH=BG=x，
∴AH=AG，
∴AF+FH=AB−BG，
∴2+x=6−x，
∴x=2，
∴AH=AF+FH=4，
四边形ABEF的面积为16．
故答案为：16．
先证明四边形AGEH是正方形，由ASA证明AEFH≌△EBG可得，S四边形ABEF=S正方形AGEH’由AH=AG可求得HF的长，从而可得正方形AGEH的边长．
本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，证明△EFH≌△EBG是解题的关键，本题综合性较强，难度较大．

16.【答案】8 
【解析】解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，
∵反比例函数y=kx的图象经过点A和BC边的中点D，
∴S△AOM=S△DON=12k，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA//BC，
∵D是BC的中点，
∴S△AOD=2S△OCD=2S△ABD=2×3=6，
设D(kn,n)，则A(k2n,2n)，
∴S△AOD=S△AOD+S梯形AMND−S△DON=S梯形AMND=12(n+2n)(kn−k2n)=6．
解得k=8，
故答案为：8．
过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，由反比例函数系数k的几何意义可得S△AOM=S△DON=12k，结合平行四边形的性质可求S△AOD=6，设D(kn,n)，则A(k2n,2n)，利用S△AOD=S梯形AMND可列关于k的方程，计算求解k值．
本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的特征及平行四边形的性质，求解△AOD的面积是解题的关键．

17.【答案】解：原式=4−1−2
=1． 
【解析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．

18.【答案】解：原式=x2−1x⋅x(x−1)2
=(x−1)(x+1)x⋅x(x−1)2
=x+1x−1，
当x=2时，
原式=2+12−1=3． 
【解析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简，进而把已知数据代入得出答案．
此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．

19.【答案】证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠CBD=∠ADB．
∴∠ABD=∠ADB．
∴AB=AD．
∴▱ABCD是菱形． 
【解析】由角平分线的定义及平行线的性质得到∠ABD=∠ADB，据此得到AB=AD，根据菱形的判定即可证得结论．
本题主要考查菱形的判定，根据角平分线的定义及平行线的性质证得∠ABD=∠ADB是解题的关键．

20.【答案】解：(1)将(1,m)代入y=2x得m=2，
∴点A坐标为(1,2)．
将(1,2)代入y=kx得k=2，
∴反比例函数解析式为y=2x．
(2)设点C坐标为(m,0)，连接AC，BC，

∵点A坐标为(1,2)，
∴点B坐标为(−1,−2)．
则S△ABC=S△AOC+S△BOC=12OC⋅yA+12OC⋅(−yB)=12OC(yA−yB).
∴12×(2+2)|m|=2|m|=5．
∴m=−52或m=52，
∴点C坐标为(−52,0)或(52,0)． 
【解析】(1)依据题意，将A代入y=2x，求出m，再通过待定系数法可以得解；
(2)设点C坐标为(m,0)，连接AC，BC，由S△ABC=S△AOC+S△BOC求解．
本题主要考查反比例函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求解函数解析式．

21.【答案】8  4 
【解析】解：(1)∵每组学生均为20名，
∴a+b=20−3−5=12(名)，
∵2b=a，
∴a=8，b=4，
故答案为：8；4；
(2)小明的计算不正确，
正确的计算为：70×3+80×8+90×4+100×520=85.5(分)；
(3)竞赛成绩较好的是甲组，
理由：乙组20名学生竞赛成绩的平均分：
100×360−90−90−144360+90×90360+80×90360+70×144360=10+22.5+20+28=80.5(分)，
80.50，
∴w随a的增大而增大，
∴当a=1003时，w最小，w最小=400×1003+200000≈213333(元)．
答：w与a的函数关系式为w=400a+200000，最少购买费用为213333元． 
【解析】(1)设B型设备的单价为x元，则A型设备的单价为(1+20%)x元，根据题意建立分式方程，解方程即可求解；
(2)根据题意建立关于a的一元一次不等式，求得a的取值范围，根据单价乘以数量即可求的w与a的函数关系式，根据一次函数的性质即可求得最少购买费用．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，掌握题意列出关系式是解题的关键．

24.【答案】 2a 
【解析】解：(1)∵AB=a，四边形ABFE正形，
∴AB=BF=FE=AE=a，
在Rt△BFE中，BE= AB2+AE2= 2a2= 2a.
故答案为： 2a；
(2)①四边形DGHQ是平行四边形，理由如下：
由折叠的性质可得：∠CQP=∠GQP，CQ=GQ，
∵EF//CD，
∴∠CQP=∠GHQ，DQ//GH，
∴GH=GQ，
∵DQ=CQ，
∴DQ=GH，
∵DQ//GH，
∴四边形DGHQ是平行四边形；
②∵∠QPC=30°，
∴∠CQP=90°−30°=60°，∠PHF=90°−30°=60°，
∵∠GHQ=∠PHF=60°，
∴△GHQ为等边三角形，
∴GH=HQ，
∵四边形DGHQ是平行四边形，
∴四边形DGHQ是菱形；
∵DQ=12DC=12a，
∴四边形DGHQ的周长为4DQ=2a．
(3)当BD⊥CE时，BJ−EJFJ不是定值，理由如下：
∵AB=a=CD，AD=b=BC，
∴BD= BC2+CD2= a2+b2，BF=AE=a，ED=b−a，
∴EC= CD2+ED2= a2+(b−a)2，
∵S△BCD=12BD×JC=12BC⋅CD，
∴JC=BC⋅CDBD=ab a2+b2，
∴BJ= BC2−CJ2=b2 a2+b2，
∴DJ=BD−BJ=a2 a2+b2，
∴EJ= DE2−DJ2= a2+b2−2ab−a4 a2+b2，
如图：过F作FM⊥BD于M，则FM//JC，

∴∠MFB=∠BJC，∠FBM+∠BCJ=90°，
∵∠DCE+∠BCJ=90°，
∴∠DCE=∠CBJ，
∵∠BMF=∠CJD=90°，BF=CD，
∴△BNF≌△CJD(AAS)，
∴MF=JD=b2 a2+b2，BM=CJ=ab a2+b2，
∴MJ=BJ−BM=b2−ab a2+b2，
∴FJ= MF2+MJ2= (b2−ab)2+a4 a2+b2，
∴BJ−EJFJ=b2 a2+b2− a2+b2−2ab−a4 a2+b2 (b2−ab)2+a4 a2+b2=b2− (a−b)2 (b2−ab)2+a4，
∵b2− (a−b)2 (b2−ab)2+a4不是定值，
∴当BD⊥CE时，BJ−EJFJ不是定值．
(1)根据正方形的性质可得AB=BF=FE=AE=a，然后运用勾股定理即可解答；
(2)①根据折叠的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定可得DQ=GH、DQ//GH，即可说明四边形DGHQ是平行四边形；②先说明四边形DGHQ是姜形，DQ=12DC=12a，然后根据菱形的周长公式即可解答；
(3)先根据勾股定理可得BD= BC2+CD2= a2+b2，再运用等面积法可得JC=ab a2+b2，然后根据勾股定理求得BJ=b2 a2+b2，EJ= a2+b2−2ab−a4 a2+b2，FJ= (b2−ab)2+a4 a2+b2，最后代入计算看是否为定值．
本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键．

25.【答案】解：(1)由y=mx+4m(m为常数，m≠0)与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，
得当x=0时，y=4m；当y=0时，x=−4，
∴A(−4,0)，B(0,4m)，
∵OA=OB，
∴4=4m，解得m=1，
即m的值为1．
(2)如图一，作BC⊥BP，交PQ延长线于点C；作BD⊥y轴，垂足为点B；作CD⊥BD于点D，
∵∠BPQ=45°，BC⊥BP，
∴△PBC是等腰直角三角形，PB=CB，
∵∠PBC=∠OBD=90°，
即∠PBQ+∠QBC=∠QBC+∠CBD，
∴∠PBQ=∠CBD，
又∵∠POB=∠CDB=90°，PB=CB，
∴△PBO≌△CBD(AAS)，
∴PO=CD=2，OB=DB=4，
∴C(4,2)，
设yPC=kx+b，将C(4,2)，P(−2,0)代入得，
4k+b=2−2k+b=0，解得k=13b=23，
∴yPC=13x+23，
将x=0代入得y=23，
∴Q(0,23).

(3)①如图二，当点P在x轴负半轴时，点Q在y轴负半轴，
作CH⊥x轴于点H，PB=PC，
∵∠CHP=∠BPC=90°，
∴∠PCH+∠CPH=∠CPH+∠BPO，
∴∠BPO=∠PCH，
又∵∠POB=∠CHP，PB=PC，
∴△POB≌△CHP(AAS)，
∴PO=CH=−a，
又∵AP=‖a−(−4)‖=‖a+4‖，
∴S▱APCQ=AP×CH=‖a+4‖×(−a)，
②如图三，当点P在x轴正半轴时，点Q在y轴正半轴，
作CH⊥x轴于点H，PB=PC，
∵∠BPC=∠CHP=90°，
∴∠PCH+∠CPH=∠CPH+∠BPO，
∴∠BPO=∠PCH，
又∵∠POB=∠CHP，PB=PC，
∴△POB≌△CHP(AAS)，
∴PO=CH=a，
又∵AP=4+a，
∴S▱APCQ=AP×CH=(4+a)×a，
综上，四边形APCQ的面积S=‖4+a‖×‖a‖．
 
【解析】(1)应用A、B两点坐标及OA=OB，即可求解．
(2)作BC⊥BP，交PQ延长线于点C；作BD⊥y轴，垂足为点B；作CD⊥BD于点D，先利用45°角构建等腰直角三角形，再利用三角形全等的性质得到对应线段的长，然后用待定系数法求直线PC的关系式，进而求点Q的坐标．
(3)需分两种情况画出图形分类讨论，①当点P在x轴负半轴时，点Q在y轴负半轴；②当点P在x轴正半轴时，点Q在y轴正半轴，利用直角和相等线段构造全等三角形，从而得到四边形APCQ的高，其面积即可得解．
本题考查了一次函数与坐标轴交点的坐标特征，用待定系数法求一次函数关系式，三角形全等中的一线三等角问题，以及平行四边形面积，准确理解题意，分类讨论作出图形是解题的关键．