高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算优秀导学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算优秀导学案及答案，共11页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。

1.1.2 空间向量的数量积运算
【学习目标】
课程目标
学科素养
1.了解空间向量夹角的概念及表示方法.
2.掌握两个向量的数量积的概念、性质与运算律.（重点）
3.可以用数量积证明垂直，求解角度和长度．（重点、难点）
1、逻辑推理
2、数学运算
3、数学抽象
【自主学习】
一．空间向量的夹角
1.已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的 ，记作 ．
2.a，b为非零向量，＝，a与b的夹角的范围是 。
当＝0时，a与b ；
当＝π时，a与b ；
当＝时，a与b ．
二．空间向量数量积
1.概念：已知两个非零向量a，b，则 叫做a，b的数量积，记作a·b，
即a·b＝|a||b|．
解读：两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零.
2.投影向量：向量a向向量b投影，得到c = ,向量c称为向量a在向量b上的投影向量。
3.性质及应用
性质
应用
若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0　
用于证明线线垂直
a·a＝|a||a|＝|a|2，即|a|＝，
推广：|a±b|=.
用于求长度
＝
用于求异面直线所成角
4.运算律
(1)(λa)·b＝λ(a·b)；(2)a·b＝b·a(交换律)；(3)a·(b＋c)＝a·b＋a·c　(分配律).
解读：向量数量积的运算不满足消去律（a·b＝a·c不能推出b＝c）和乘法的结合律（(a·b)·c≠a·(b·c)）．
【小试牛刀】
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若非零向量a，b为共线且同向的向量，则a·b＝|a||b|.( )
(2)对于向量a，b，c，有(a·b)·c＝a·(b·c)．( )
(3)对任意向量a，b，满足|a·b|≤|a||b|.( )
(3)对于非零向量a，b，与相等．(　　)
(4)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c.(　　)
(5)若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的充要条件．(　　)
2.已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则两直线的夹角为(　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°
【经典例题】
题型一　数量积的计算
点拨：空间向量的数量积运算方法
1.已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积的公式计算．如果求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算．
2.在几何体中求空间向量的数量积的步骤：(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积；(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；(4)代入公式a·b＝|a||b|求解．
例1　(1)已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于(　　)
A．12 B．8＋ C．4 D．13
(2)已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【跟踪训练】1如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：(1)·； (2)·； (3)·； (4)·.
　





题型二　用数量积证明垂直问题
点拨：用向量法证明垂直关系的步骤
(1)把几何问题转化为向量问题；(2)用已知向量表示所证向量；(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0；(4)将向量问题回归到几何问题．
例2 如图所示，已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°.求证：BD⊥平面ADC.




【跟踪训练】 2 已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，那么AD与BC的位置关系
为_______．(填“平行”或“垂直”)
题型三 用数量积求角度
点拨：利用向量求异面直线夹角的步骤

例3　如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是______．

【跟踪训练】 3 已知点O是正△ABC平面外的一点，若OA＝OB＝OC＝AB＝1，E、F分别是AB、OC的中点，试求异面直线OE与BF所成角的余弦值．




题型四 用数量积求长度
点拨：利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝求解即可．
例4 如图，已知中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，并且PA＝6，则PC的长为__________．

【跟踪训练】4 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．





【当堂达标】
1.已知i，j，k是两两垂直的单位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，则a·b等于(　　)
A．－2 B．－1 C．±1 D．2
2.已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于(　　)
A． B．97 C． D．61
3.已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为_________.
4.已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，＝135°，m⊥n，则λ＝________．
5.如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则异面直线OA与BC的夹角的余弦值为________．
6.如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为.
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．

【参考答案】
【自主学习】
一．1.夹角 2.[0，π] 方向相同 方向相反 互相垂直 0或π
二．1.|a||b| 2. 3.a·b＝0 4.λ(a·b) b·a a·b＋a·c
【小试牛刀】
1.√ × √ √ × ×
2.B 解析：设向量a，b的夹角为θ，则＝＝－，所以θ＝120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°.
【经典例题】
例1 (1) D 解析：(2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|·cos 120°＝2×4－2×5×＝13.
(2) A解析：由题意知p·q＝0，p2＝q2＝1，所以a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2－2q2＋p·q＝1.
【跟踪训练】1 解 (1)·＝·＝||||·cos〈，〉＝cos 60°＝.
(2)·＝·＝||2＝.
(3)·＝·＝||·||cos〈，〉＝cos 120°＝－.
(4)·＝·(－)＝·－·＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉
＝cos 60°－cos 60°＝0.
例2 【证明】　不妨设AD＝BD＝CD＝1，则AB＝AC＝.
·＝(－)·＝·－·，
由于·＝·(＋)＝·＝1，·＝||·||cos 60°
＝××＝1.∴·＝0，即BD⊥AC，又已知BD⊥AD，AD∩AC＝A，
∴BD⊥平面ADC.
【跟踪训练】2 垂直 解析：∵·＝(＋)·(－)＝·＋·－2－·
＝·(－－)＝·＝0，
∴AD与BC垂直．
例3 90° 解析：不妨设棱长为2，则＝－，＝＋，
cos〈，〉＝＝＝0。
【跟踪训练】 3 解：设＝a，＝b，＝c，
且|a|＝|b|＝|c|＝1，则a·b＝b·c＝c·a＝.
又∵＝(a＋b)，＝c－b，
∴·＝(a＋b)·＝a·c＋b·c－a·b－|b|2＝－.
又||＝，||＝，
∴cos 〈，〉＝＝－，
∵异面直线夹角的范围为，
∴异面直线OE与BF所成角的余弦值为.
例4 7 解析：∵＝＋＋，
∴||2＝·＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2||||cos 120°＝61－12＝49．∴PC＝7．
【跟踪训练】4 解　因为＝＋＋，
所以＝(＋＋)2＝2＋2＋＋2(·＋·＋·)．
因为∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
所以＝1＋4＋9＋2×(1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°)＝23.
因为＝||2，所以||2＝23，
则||＝，即AC1＝.
【当堂达标】
1.A 解析：a·b＝(2i－j＋k)·(i＋j－3k)＝2i2－j2－3k2＝－2.
2.C 解析：|2a－3b|2＝4a2－12a·b＋9b2 ＝4×22－12×2×3×cos 60°＋9×32＝61，∴|2a－3b|＝.
3. 60° 解析：(a＋2b)·(a－b)＝－6，则a2＋a·b－2b2＝－6，即12＋a·b－2×22＝－6，a·b＝1，所以＝＝，所以＝60°.
4.－解析： 由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，∴a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝0，
∴18＋(λ＋1)×3×4cos 135°＋16λ＝0，即4λ＋6＝0，∴λ＝－.
5. 解析：因为＝－，所以·＝·－·
＝||·||·cos〈，〉－||·||·cos〈，〉
＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16.
所以cos〈，〉＝＝＝，所以异面直线OA与BC的夹角的余弦值为.
6.(1)证明　＝＋，＝＋.
∵BB1⊥平面ABC，∴·＝0，·＝0.
又△ABC为正三角形，∴〈·〉＝π－〈·〉＝π－＝.
∵·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋2＋·
＝||·||·cos〈，〉＋2＝－1＋1＝0，
∴AB1⊥BC1.
(2)解　结合(1)知·＝||·||·cos〈，〉＋2＝2－1.又||＝||.
∴cos〈，〉＝＝，
∴||＝2，即侧棱长为2.