高中数学2.1 直线的倾斜角与斜率优秀学案

这是一份高中数学2.1 直线的倾斜角与斜率优秀学案，共10页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。

2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
【学习目标】
课程标准
学科素养
1. 理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件(重点).
2. 能根据已知条件判断两直线的平行与垂直(重点).
3.能应用两条直线平行或垂直进行实际应用(重、难点)．
1、直观想象
2、数学运算
3、数形结合
【自主学习】
一．两条不重合直线平行的判定
类型
斜率存在
斜率不存在
前提条件
α1＝α2≠90°
α1＝α2＝90°
对应关系
l1∥l2⇔
两直线斜率都不存在⇒ l1∥l2
图示


二．两条直线垂直的判定
图示


对应关系
l1⊥l2(两直线斜率都存在)⇔
l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒

思考1：如果两条直线平行，则这两条直线的斜率一定相等吗？

思考2：如果两条直线垂直，则它们的斜率的积一定等于－1吗？

【小试牛刀】
思辨解析(对的打“√”，错的打“×”).
（1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行.(　 　)
（2）若l1∥l2，则k1＝k2.(　 　)
（3）若两条直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则这两条直线垂直.( )
（4）若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行.(　 　)

【经典例题】
题型一　两条直线平行的判定
点拨：两直线平行的判定及应用
1．判定两直线是否平行时，应先看两直线的斜率是否存在，若都不存在，则平行(不重合的情况下)；若存在，再看是否相等，若相等，则平行(不重合的情况下)．
2．若已知两直线平行，求其参数值时，也应分斜率存在与不存在两种情况求解．
注意：区分平行与重合，必须强调不共线才能确定平行，因为两直线重合也可以推出两条直线的斜率相等．
例1 下列直线l1与直线l2(l1与l2不重合)平行的有________.(填序号)
①l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；
②l1的斜率为2，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；
③l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，)，N(－2，－2)；
④l1经过点E(2,6)，F(2,3)，l2经过点P(－3，－3)，Q(－3，－6).
【跟踪训练】1 已知A(－2，m)，B(m,4)，M(m＋2,3)，N(1,1)，若AB∥MN，则m的值为 ．

题型二　两条直线垂直的判定
点拨：判断两条直线是否垂直的依据是：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直.
例2　判断下列各题中l1与l2是否垂直.
(1)l1经过点A(－3，－4)，B(1,3)，l2经过点M(－4，－3)，N(3，1)；
(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；
(3)l1经过点A(3,4)，B(3,10)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40).


【跟踪训练】2已知定点A(－1,3)，B(4,2)，以AB为直径作圆，与x轴有交点C，则交点C的坐标是________．

题型三　平行与垂直的综合应用
点拨：1.利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定.
2.由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形.
例3 已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定图形ABCD的形状．




【跟踪训练】3 在直角梯形ABCD中，已知A(－5，－10)，B(15,0)，C(5,10)，AD是腰且垂直两底，求顶点D的坐标．






【当堂达标】
1.“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的（       ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分又非必要
2.已知两条直线l1,l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根,则l1与l2的位置关系是(　　)
A.平行 B.垂直
C.可能重合 D.无法确定
3.(多选)设点P(－4，2)，Q(6，－4)，R(12，6)，S(2，12)，则有(　　)
A．PQ∥SR B．PQ⊥PS
C．PS∥QS D．PR⊥QS
4.若直线与直线垂直，直线的斜率为，则直线的倾斜角为______．
5.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(4，3)，求顶点D的坐标．





6.已知△ABC的顶点为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值.























【参考答案】
【自主学习】
1.k1＝k2
2.k1·k2＝－1 l1⊥l2
思考1：在两条直线的斜率都存在的情况下，斜率一定相等．
思考2：不一定．它们的斜率也可能一个是0，另一个不存在．
【小试牛刀】
× × × √
【经典例题】
例1 　①③④ 解析　①∵kAB＝＝－，kCD＝＝－，∴kAB＝kCD，∴l1∥l2.
②∵＝＝1≠＝2，∴l1不平行于l2.
③∵＝tan 60°＝，＝＝，∴＝，∴l1∥l2.
④l1，l2的斜率均不存在，∴l1∥l2.
【跟踪训练】1 0或1 解析：当m＝－2时，直线AB的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与AB不平行，不合题意；
当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线AB的斜率存在，MN与AB不平行，不合题意；
当m≠－2，且m≠－1时，kAB＝＝，
kMN＝＝．
因为AB∥MN，所以kAB＝kMN，
即＝，解得m＝0或m＝1．
当m＝0或1时，由图形知，两直线不重合．
综上，m的值为0或1．
例2 解：(1)k1＝＝，k2＝＝，k1k2＝1，∴l1与l2不垂直.
(2)k1＝－10，k2＝＝，k1k2＝－1，∴l1⊥l2.
(3)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴；k2＝＝0，则l2∥x轴，∴l1⊥l2.
【跟踪训练】2 (1,0)或(2,0) 解析 设以A、B为直径的圆与x轴的交点为P(x,0)，
∵kPB≠0，kPA≠0，∴kPA·kPB＝－1，即·＝－1，
∴(x＋1)(x－4)＝－6，而x2－3x＋2＝0.∴x＝1或x＝2，∴P点坐标为(1,0)或(2,0)．
例3 解　A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图：

由斜率公式可得
kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3，kBC＝＝－，
∴kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，∴AB∥CD.
由kAD≠kBC，∴AD与BC不平行．又kAB·kAD＝×(－3)＝－1，∴AB⊥AD.
故四边形ABCD为直角梯形．
【跟踪训练】3 解：设D(x，y)，因为DC∥AB，所以＝，
又因为DA⊥AB，所以·＝－1．
由以上方程组解得：x＝－11，y＝2．所以D(－11,2)．
【当堂达标】
1.D 解析：充分性：直线与平行，但是和都没有斜率，即当和都垂直于轴时，与仍然平行，但是，此时不满足直线与的斜率相等，故充分性不成立；
必要性：直线与的斜率相等，则直线与平行或重合，故必要性不成立；
综上，“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的既非充分又非必要条件.
故选：D
2.B 解析：由方程3x2＋mx－3＝0，知Δ＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立.
故方程有两相异实根，即l1与l2的斜率k1，k2均存在.设两根为x1，x2，则k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2.
3.ABD 解析：由斜率公式知，kPQ＝＝－，kSR＝＝－，
kPS＝＝，kQS＝＝－4，kPR＝＝，所以PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS.而kPS≠kQS，所以PS与QS不平行．
4.解析：设直线的倾斜角为，因为直线与直线垂直，直线的斜率为，则，因为，因此，.

5．解　设D(m，n)，由题意，得AB∥DC，AD∥BC，则有kAB＝kDC，kAD＝kBC.
∴解得∴顶点D的坐标为(3，4)．
6.解　若∠A为直角，则AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1，即·＝－1，解得m＝－7；
若∠B为直角，则AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1，即·＝－1，解得m＝3；
若∠C为直角，则AC⊥BC，∴kAC·kBC＝－1，即·＝－1，解得m＝±2.
综上所述，m＝－7或m＝3或m＝±2.