高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程优秀学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程优秀学案设计，共10页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。

2.2.3 直线的一般式方程
【学习目标】
课程标准
学科素养
1.掌握直线的一般式方程(重点).
2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线.
3.会进行直线方程的五种形式之间的转化(重、难点)．
1、直观想象
2、数学运算
3、数形结合
【自主学习】
一．直线的一般式方程
1.定义：关于x，y的二元一次方程 (其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
2.适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示．
3.系数的几何意义：
①当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)；
②当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率．
思考1：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？


思考2：当A＝0或B＝0或C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0分别表示什么样的直线？


二．直线各种形式方程的互化


【小试牛刀】
思辨解析(对的打“√”，错的打“×”).
(1)二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)可表示平面内的任何一条直线．(　　)
(2)当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示的直线过原点．(　　)
(3)当B＝0，A≠0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的直线与y轴平行．(　　)
(4)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．(　　)
(5)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A·B≠0.(　　)
【经典例题】
题型一　直线的一般式方程与其他形式转化
点拨：对于直线方程的一般式，一般做如下约定：一般按含x项、含y项、常数项顺序排列；x项的系数为正；x，y的系数和常数项一般不出现分数；无特殊要求时，求直线方程的结果写成一般式．
例1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．
(1)斜率是，且经过点A(5,3)；
(2)斜率为4，在y轴上的截距为－2；
(3)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点；
(4)在x轴、y轴上的截距分别是－3，－1．




【跟踪训练】1 直线x－5y＋9＝0在x轴上的截距等于(　　)
A. B．－5 C. D．－3
题型二　含参数的直线的一般式方程
点拨：含参数的一般式的处理方法
1.若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0.
2.令x＝0可得在y轴上的截距；令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．
3.解分式方程要注意验根．
例2 (1)若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一条直线，则实数m满足________．
(2)已知方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1表示直线．当m＝____________时，直线的倾斜角为45°；当m＝____________时，直线在x轴上的截距为1.
【跟踪训练】2 若直线(m＋2)x＋(m2－2m－3)y＝2m在x轴上的截距为3，则实数m的值
为(　　)
A． B．－6 C．－ D．6
题型三 利用一般式解决直线平行与垂直问题
点拨：1.已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
(1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.
(2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
2.与已知直线平行和垂直的直线方程的求法
(1)与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线的方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠0).
(2)与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线的方程可设为Bx－Ay＋n＝0 .
例3 (1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求实数m的值；
(2)已知直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0垂直，求实数a的值．





【跟踪训练】3 已知A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0.求：
(1)过点A和直线l平行的直线方程；
(2)过点A和直线l垂直的直线方程．





【当堂达标】
1.（多选）关于直线l：x－y－1＝0，下列说法正确的有(　　)
A．过点(，－2) B．斜率为
C．倾斜角为60° D．在y轴上的截距为1
2.若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为(　　)
A．A≠0 B．B≠0 C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0
3.已知直线(a－2)x＋ay－1＝0与直线2x＋3y＋5＝0平行，则a的值为(　　)
A．－6 B．6 C．－ D.
4.直线2x－y－2＝0绕它与y轴的交点A按逆时针方向旋转90°所得的直线方程是(　　)
A．x－2y＋4＝0 B．x＋2y－4＝0
C．x－2y－4＝0 D．x＋2y＋4＝0
5.直线(2a2－7a＋3)x＋(a2－9)y＋3a2＝0的倾斜角为45°，则实数a＝________.
6.设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根据下列条件分别确定k的值：
(1)直线l的斜率为－1；
(2)直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0.















【参考答案】
【自主学习】
Ax＋By＋C＝0
思考1：都可以，原因如下：
(1)若直线的斜率k存在．直线可表示成y＝kx＋b，可转化为kx＋(－1)y＋b＝0，这是关于x，y的二元一次方程．
(2)若直线的斜率k不存在，方程可表示成x－a＝0，它可以认为是关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0．
思考2：(1)若A＝0，则y＝－，表示与y轴垂直的一条直线．
(2)若B＝0，则x＝－，表示与x轴垂直的一条直线．
(3)若C＝0，则Ax＋By＝0，表示过原点的一条直线．
【小试牛刀】
(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)×
【经典例题】
例1 解:　(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－3＝(x－5)，化为一般式方程为x－y＋3－5＝0．
(2)由斜截式方程可知，所求直线方程为y＝4x－2，
化为一般式方程为4x－y－2＝0．
(3)由两点式方程可知，所求直线方程为＝，
化为一般式方程为2x＋y－3＝0．
(4)由截距式方程可得，所求直线方程为＋＝1，化为一般式方程为x＋3y＋3＝0．
【跟踪训练】1 D 解析： 令y＝0，则x＝－3.
例2 解：　(1)m≠－3若方程不能表示直线，则m2＋5m＋6＝0且m2＋3m＝0.
解方程组得m＝－3，所以m≠－3时，方程表示一条直线．
(2)　－1　－或2 解析：因为已知直线的倾斜角为45°，所以此直线的斜率是1，
所以－＝1，所以解得所以m＝－1.
因为已知直线在x轴上的截距为1，令y＝0得x＝，所以＝1，
所以解得所以m＝－或m＝2.
【跟踪训练】2 B 解析：依题意知直线过点(3，0)，代入直线方程得3(m＋2)＝2m，解得
m＝－6.
例3 解：(1)将与直线l平行的方程设为3x＋4y＋C1＝0，又过点A(2,2)，
所以3×2＋4×2＋C1＝0，所以C1＝－14.所求直线方程为3x＋4y－14＝0.
(2)将与l垂直的直线方程设为4x－3y＋C2＝0，又过点A(2,2)，所以4×2－3×2＋C2＝0，所以C2＝－2，所以直线方程为4x－3y－2＝0.
例3 解：(1)由2×3－m(m＋1)＝0，得m＝－3或m＝2．
当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，
显然l1与l2不重合，∴l1∥l2．
同理，当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，l1与l2不重合，l1∥l2，
故m的值为2或－3．
(2)由直线l1⊥l2，得(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1．
故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2．
【跟踪训练】3 解：(1)将与直线l平行的方程设为3x＋4y＋C1＝0，又过点A(2,2)，
所以3×2＋4×2＋C1＝0，所以C1＝－14.
所求直线方程为3x＋4y－14＝0.
(2)将与l垂直的直线方程设为4x－3y＋C2＝0，又过点A(2,2)，
所以4×2－3×2＋C2＝0，所以C2＝－2，
所以直线方程为4x－3y－2＝0.
【当堂达标】
1.BC解析：对于直线l：x－y－1＝0，当x＝时，y＝2，故A错误；
当x＝0时，y＝－1，即直线在y轴上的截距为－1，故D错误；
化直线方程为斜截式：y＝x－1，可得直线的斜率为，故B正确；
设其倾斜角为θ(0°≤θ＜180°)，则tan θ＝，θ＝60°，故C正确．
2. D 解析：方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0.
3.B 解析：由(a－2)×3－a×2＝0得a＝6，且当a＝6时两直线平行，故选B.
4.D 解析：直线2x－y－2＝0与y轴的交点为A(0，－2)，∵所求直线过点A且斜率为－，
∴所求直线的方程为y＋2＝－x，即x＋2y＋4＝0．
5.－解析：依题意可知k＝tan 45°＝1，所以－＝1，且a2－9≠0.
解得a＝－或a＝3(舍去).
6. 解：(1)因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝－x＋2，由题意得－＝－1，解得k＝5.
(2)直线l的方程可化为＋＝1，由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1.