数学选择性必修 第一册2.4 圆的方程优秀学案

这是一份数学选择性必修 第一册2.4 圆的方程优秀学案，共12页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。

2.4.1　圆的标准方程
【学习目标】
课程标准
学科素养
1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点．(重点)
2.会根据已知条件求圆的标准方程．(重点、难点)
3.能准确判断点与圆的位置关系．(易错点)
1、直观想象
2、数学运算
3、数形结合
【自主学习】
一．圆的标准方程
1.圆的定义：平面上到 的距离等于 的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
2.确定圆的基本要素是 和 ，如图所示．

3.圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是 .
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以 为圆心、半径为r的圆．
思考：如果圆的标准方程为(x＋x0)2＋(y＋y0)2＝a2(a≠0)，那么圆的圆心、半径分别是什么？



二．点与圆的位置关系
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，
设d＝|PC|＝（x0-a）2+（y0-b）2.
位置关系
d与r的大小
图示
点P的坐标的特点
点在圆外
d r

(x0－a)2＋(y0－b)2 r2
点在圆上
d＝r

(x0－a)2＋(y0－b)2 r2
点在圆内
d r

(x0－a)2＋(y0－b)2 r2

【小试牛刀】
思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2表示圆．(　　)
(2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径.(　 　)
(3)圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1,2)，半径是4.(　 　)
(4) (0,0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上.(　 　)
【经典例题】
题型一　求圆的标准方程
点拨：确定圆的标准方程的方法
(1)几何法
它是利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程．
(2)待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：
①设——设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；
②列——由已知条件，建立关于a，b，r的方程组；
③解——解方程组，求出a，b，r；
④代——将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程．
例1 (1)圆心在点C(2,1)，半径长是的圆的标准方程为________________.
(2)经过点P(5,1)，圆心在点C(8，－3)的圆的标准方程为________________.

【跟踪训练】1 求过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程．
提示：法一：利用待定系数法，设出圆的方程，根据条件建立关于参数方程组求解；法二：利用圆心在直线上，设出圆心坐标，根据条件建立方程组求圆心坐标和半径，从而求圆的方程；法三：借助圆的几何性质，确定圆心坐标和半径，从而求方程．








题型二　点与圆的位置关系
点拨：判断点与圆的位置关系的方法
(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；
(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断．
例2　已知圆的圆心M是直线2x＋y－1＝0与直线x－2y＋2＝0的交点，且圆过点P(－5,6)，求圆的标准方程，并判断点A(2,2)，B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外？




【跟踪训练】2 已知点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的外部，则a的取值范围为_______.

题型三 与圆有关的最值问题
点拨：最值问题的常见类型及解法
(1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x, y)和(a, b)的动直线斜率的最值问题．
(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－ x＋截距的最值问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x, y)到定点(a, b)的距离的平方的最值问题．
(4)求圆外一点到圆的最大距离和最小距离， 可采用几何法，先求出该点到圆心的距离，再加上或减去圆的半径，即可得距离的最大值和最小值．
例3 已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝，
（1）求x2＋y2的最值．
（2） 求的取值范围．




【跟踪训练】3 圆的方程为(x＋1)2＋y2＝4，则过(0,0)的弦中，最长弦长为________，最短弦长为________．
题型四　与圆有关的轨迹问题
点拨：求与圆有关的轨迹方程的方法
(1)直接法：根据题设条件直接列出方程．
(2)定义法：根据圆的定义写出方程．
(3)几何法：利用圆的性质列方程．
(4)代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
例4 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．


【跟踪训练】4设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．




【当堂达标】
1.以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是(　　)
A.(x＋1)2＋(y＋2)2＝100 B.(x－1)2＋(y－2)2＝100
C.(x＋1)2＋(y＋2)2＝25 D.(x－1)2＋(y－2)2＝25
2.（多选）点在圆的内部，则的取值不可能是（ ）
A． B． C． D．
3．圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是________．
4.与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________.
5.求以A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程.








6.求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程.










【参考答案】
【自主学习】
定点 定长 圆心 半径 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 原点O
思考：圆心为(－x0，－y0)，半径为|a|
＞ ＞ ＝ ＜ ＜
【小试牛刀】
× √ × ×
【经典例题】
例1 (1)(x－2)2＋(y－1)2＝3
(2)(x－8)2＋(y＋3)2＝25
【跟踪训练】1 解：法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由已知条件知解此方程组，得
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
法二：设点C为圆心，∵点C在直线x＋y－2＝0上，
∴可设点C的坐标为(a,2－a)．又∵该圆经过A，B两点，
∴|CA|＝|CB|.
∴，解得a＝1.
∴圆心坐标为C(1,1)，半径长r＝|CA|＝2.
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
法三：由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0)，kAB＝＝－1，
所以弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1，
所以AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，
即y＝x.则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点，由得
即圆心为(1,1)，圆的半径为r＝2，
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
例2 解：解方程组得
∴圆心M的坐标为(0,1)，半径r＝|MP|＝5.
∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50.
∵|AM|＝＝＜r，∴点A在圆内．
∵|BM|＝＝＝r，∴点B在圆上．
∵|CM|＝＝＞r，∴点C在圆外．
∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50，且点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外．
【跟踪训练】2　(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析：由题意知，(1－a)2＋(1＋a)2>4，2a2－2>0，即a<－1或a>1.
例3 解：（1）由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值．原点O(0,0)到圆心C(－1,0)的距离d＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋＝，最小距离为1－＝.因此x2＋y2的最大值和最小值分别为和.
（2）设k＝，变形为k＝，此式表示圆上一点(x, y)与点(0, 0)连线的斜率，
由k＝，可得y＝kx，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离d≤r，即，解得－≤k≤.即的取值范围是.
【跟踪训练】3 4　2　解析： 点(0,0)在圆内，最长的弦为过O的直径，所以最大弦长为2r＝4.最短弦是过O且与过O的直径垂直的弦，因为O(0,0)与圆的距离为1，所以最短弦长为2＝2.
例4 解：(1)设AP的中点为M(x0，y0)，
由中点坐标公式可知点P坐标为(2x0－2,2y0)．
因为点P在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x0－2)2＋(2y0)2＝4．
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1．
(2)设PQ的中点为N(x′，y′)．
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|．
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2．
所以x′2＋y′2＋(x′－1)2＋(y′－1)2＝4．
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0．
【跟踪训练】4 解：如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，
线段MN的中点坐标为．
由于平行四边形的对角线相交于一点，故＝，＝．
从而
又N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4．
因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，
但应除去两点和(点P在直线OM上时的情况)．
【当堂达标】
1.D解析：∵AB为直径，∴AB的中点(1,2)为圆心，|AB|＝为半径，
∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.
2.AD解析：由已知条件可得，即，解得.故选：AD.
3.(x－2)2＋(y－4)2＝20　解析：由可得，即圆心为(2,4)，从而r＝，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝20.
4.(x＋5)2＋(y＋3)2＝25 解析：∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，∴该圆的半径为5，
∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.
5.解：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则有，解得
即△ABC的外接圆的标准方程为(x－4)2＋(y－1)2＝5.
6. 解：方法一　(待定系数法)
设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则有，解得
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
方法二　(几何法)
由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.
∵弦的垂直平分线过圆心，
∴由得即圆心坐标为(4，－3)，半径为.
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.