高中人教A版 (2019)2.5 直线与圆、圆与圆的位置优秀学案

这是一份高中人教A版 (2019)2.5 直线与圆、圆与圆的位置优秀学案，共12页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。

2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1　直线与圆的位置关系
【学习目标】
课程标准
学科素养
1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．(重点)
2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．(难点)
3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．(难点)
1、直观想象
2、数学运算
3、逻辑推理
【自主学习】
一．直线与圆的三种位置关系
位置关系
交点个数
相交
有 公共点
相切
只有 公共点
相离
公共点
二．直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数



判定方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝



代数法：由消元得到一元二次方程的判别式Δ



思考：几何法、代数法判断直线与圆的位置关系各有什么特点？



【小试牛刀】
1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交.(　 　)
(2)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切.(　 　)
(3)若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解.(　 　)
(4)过不在圆内的一点一定能做两条切线.(　 　)
2.直线3x＋4y－5＝0与圆M：x2＋y2＝1的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断


【经典例题】
题型一 直线与圆的位置关系
点拨：直线与圆位置关系判断的三种方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
例1 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点．





【跟踪训练】1 已知直线l：x－2y＋5＝0与圆C：(x－7)2＋(y－1)2＝36，判断直线l与圆C的位置关系.




题型二 圆的切线方程
点拨：
1.求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.
2.求圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程：①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程．
②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．
提醒：切线的斜率不存在的情况，不要漏解．
例2 （1）求过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程。
（2） 求过点P(2,3)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线的方程。








【跟踪训练】2 (1)已知直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1,2)，则直线l的方程为________．

(2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为(　　)
A.1 B.2 C. D.3
题型三 直线与圆相交
点拨：求直线与圆相交时的弦长有三种方法
① 交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式 |AB|＝x1-x22+y1-y22求解.
②弦长公式：
如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1-x22+y1-y22＝|x1－x2|＝ |y1－y2|(直线l的斜率k存在且不为0).
③几何法：如图，直线与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有2＋d2＝r2，即|AB|＝2.
通常采用几何法较为简便.
例3 (1)求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长|AB|.
(2)过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果|AB|＝8，求直线l的方程．













【跟踪训练】3 圆心为C(2，－1)，截直线y＝x－1的弦长为2的圆的方程为______________.


【当堂达标】
1.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)
A.相切 B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心 D.相离
2.(多选)已知直线和圆，则（ ）
A.直线l恒过定点
B.存在k使得直线l与直线垂直
C.直线l与圆O相交
D.若，直线l被圆O截得的弦长为4
3.已知圆x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0和定点P(1，－1)，若过点P的圆的切线有两条，则k的取值范围是( 　)
A．(－2，＋∞)　　　 B．(－∞，2)
C．(－2,2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
4.若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________．
5.过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点．若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为 ．
6.已知圆C经过点A(2,0)，B(1，－)，且圆心C在直线y＝x上．
(1)求圆C的方程；
(2)过点的直线l截圆所得弦长为2，求直线l的方程．















【参考答案】
【自主学习】
两个 一个 没有 两个 一个 零个 d＜r d＝r d＞r Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
思考：“几何法”侧重于图形的几何性质，步骤较简洁；“代数法”则侧重于“坐标”与“方程”，判断直线与圆的位置关系，一般用几何法．
【小试牛刀】
1.× √ √ ×
2.B
【经典例题】
例1 解：法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，
(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.
∵Δ＝4m(3m＋4)，
(1)当Δ>0时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
(2)当Δ＝0时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
(3)当Δ<0时，即－ 法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为C(2,1)，半径r＝2.
圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝＝.
(1)当d<2时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
(2)当d＝2时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
(3)当d>2时，即－ 【跟踪训练】1 解：方法一　(代数法)
由方程组x-72+y-12=36x-2y+5=0消去y后整理，得5x2－50x＋61＝0.
∵Δ＝(－50)2－4×5×61＝1 280>0，
∴该方程组有两组不同的实数解，即直线l与圆C相交.
方法二　(几何法)
圆心(7,1)到直线l的距离为d＝|1×7-2×1+5|12+-22＝2.
∵d 例2 （1）解析　x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C(1,2)， kPC＝，
∴切线的斜率k＝－2，
∴切线方程为：y－3＝－2(x－3)，即2x＋y－9＝0.
（2）解析　P(2,3)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1外，
∴过点P(2,3)与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线有两条.
当斜率存在时，设切线的斜率为k，
则切线方程为y－3＝k(x－2)即kx－y＋3－2k＝0，
∴＝1，∴k＝0，
∴切线方程为y＝3，
当斜率不存在时，切线方程为x＝2.
∴切线方程为y＝3或x＝2.
【跟踪训练】2 (1)x＋2y－3＝0解析：根据题意，圆M：x2＋y2＋4x－1＝0，
即(x＋2)2＋y2＝5，其圆心M(－2,0)，
直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1,2)，
则P在直线l上且MP与直线l垂直．
kMP＝2-0-1--2＝2，则有－＝－，则有b＝2a，
又由P在直线l上，则有－a＋2b－3＝0，可解得a＝1，b＝2，
则直线l的方程为x＋2y－3＝0.
（2） C 解析：圆心C(3,0)到y＝x＋1的距离d＝＝2. 所以切线的最小值为l＝＝．
例3 (1) 解法一：由得交点A(1,3)，B(2,0)，
故弦AB的长为|AB|＝＝．
解法二：由
消去y，得x2－3x＋2＝0．
设两交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由根与系数的关系，得x1＋x2＝3，x1·x2＝2．
∴|AB|＝
＝＝
＝，
即弦AB的长为．
解法三：圆C：x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5，其圆心坐标(0,1)，半径r＝，点(0,1)到直线l的距离为d＝＝，所以半弦长为＝＝＝，所以弦长|AB|＝．
(2)将圆的方程配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝25，
由圆的性质可得，圆心到直线l的距离d＝＝3.
①当直线l的斜率不存在时，x＝－4满足题意；
②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0.
由点到直线的距离公式，得3＝，
解得k＝－，所以直线l的方程为5x＋12y＋20＝0.
综上所述，直线l的方程为x＋4＝0或5x＋12y＋20＝0.
【跟踪训练】3 (x－2)2＋(y＋1)2＝4 解析：设圆的半径为r，由条件，得
圆心到直线y＝x－1的距离为d＝＝.
又直线y＝x－1被圆截得的弦长为2，
即半弦长为，∴r2＝2＋2＝4，得r＝2，
∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.
【当堂达标】
1. B 解析：∵圆心(0,0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝<1，
∴直线与圆x2＋y2＝1相交，
又(0,0)不在y＝x＋1上，∴直线不过圆心.
2.BC 解析：对于A、C，由，得，令，解得，
所以直线恒过定点，故A错误；因为直线恒过定点，而，即在圆内，所以直线l与圆O相交，故C正确；
对于B，直线的斜率为，则当时，满足直线与直线垂直，故B正确；对于D，时，直线，圆心到直线的距离为，
所以直线l被圆O截得的弦长为，故D错误.故选：BC.
3.A 解析：因为方程x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0表示一个圆，所以4＋4－4k＞0，解得k＜2．由题意知点P(1，－1)必须在圆的外部，则12＋(－1)2＋2×1＋2×(－1)＋k＞0，解得k＞－2．
故－2＜k＜2，故选C．
4. x＋2y－5＝0 解析：由题意，得kOP＝＝2，则该圆在点P处的切线的斜率为－，所以所求切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.
5. 解析：由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0，
圆心O(0,0)到直线l的距离为d＝＝，
则有|AB|＝2＝2＝．
6.解：(1)AB的中点坐标，AB的斜率为.可得AB垂直平分线方程为2x＋6y＝0，与x―y＝0的交点为(0,0)，圆心坐标(0,0)，半径为2，所以圆C的方程为x2＋y2＝4.
(2)直线的斜率存在时，设直线的斜率为k，又直线l过，
∴直线l的方程为y－＝k(x－1)，即y＝kx＋－k，
则圆心(0,0)到直线的距离d＝，又圆的半径r＝2，截得的弦长为2，
则有＋()2＝4，解得：k＝－，则直线l的方程为y＝－x＋.
当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝1，满足题意．
∴直线l的方程为x＝1或y＝－x＋.