高中数学3.1 椭圆精品第2课时课后作业题

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3.1.2 第2课时 直线与椭圆的位置关系及其应用
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1.若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是(　　)
A. B．－ C．± D．±
2.若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(1,3)∪(3，＋∞) C．(－∞，－3)∪(－3,0) D．(1,3)
3.已知椭圆＋＝1以及椭圆内一点P(4,2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为(　　)
A. B．－ C．2 D．－2
4.过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为(　　)
A． B． C． D．
5．（多选）已知椭圆C：内一点M(1,2)，直线与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的焦点坐标为(2,0)､(-2,0) B．椭圆C的长轴长为
C．直线的方程为 D．
6.过椭圆＋＝1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
7.已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，经过点F1的一条直线与椭圆交于A，B两点．
(1)求△ABF2的周长；
(2)若直线AB的倾斜角为，求弦长|AB|.






8.设直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点．
(1)求实数b的取值范围；
(2)当b＝1时，求|AB|.




能 力 练
综合应用 核心素养
9.若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（       ）
A．0个 B．至多有一个 C．1个 D．2个
10.已知F是椭圆＋＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为(　　)
A．6 B．15 C．20 D．12
11.(多选)已知直线y=kx+1与椭圆，则（ ）
A．直线y=kx+1恒过定点(0，1)
B．方程表示椭圆的条件为m>0
C．方程表示椭圆的条件为0 D．直线与椭圆总有公共点的m取值范围是m≥1且m≠5
12.椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是(　　)
A. B. C. D.
13.在椭圆＋＝1内，过点M(1,1)且被该点平分的弦所在的直线方程为(　　)
A．9x－16y＋7＝0 B．16x＋9y－25＝0 C．9x＋16y－25＝0 D．16x－9y－7＝0
14.已知椭圆：的离心率为，短轴长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点的直线交椭圆于两点，且为线段的中点，求直线的方程．







15.已知椭圆经过点 ，离心率为，过点的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线AM和直线AN的斜率分别为和 ，求证：为定值

16.设O为坐标原点，椭圆的离心率为，且过点．
(1)求C的方程；
(2)若直线与C交于P，Q两点，且的面积是，求证：．


































【参考答案】
1.C 解析：联立方程可得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，Δ＝144k2－24(2＋3k2)＝0，
解得k＝±.
2.B解析：由消去y整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.
若直线与椭圆有两个公共点，则解得
由＋＝1表示椭圆，知m>0且m≠3.综上可知，m>1且m≠3，故选B.
3.B 解析：设弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
两式相减，得＋＝0，所以＝－，
所以k＝＝－.故选B.
4.B解析：易求得直线AB的方程为y＝(x＋)．由消去y并整理，得7x2＋12x＋8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
由弦长公式，得|AB|＝·|x1－x2|＝·＝.]
5.BCD 解析：A：由椭圆方程知：其焦点坐标为，错误；
B：，即椭圆C的长轴长为，正确；
C：由题意，可设直线为，，，则，联立椭圆方程并整理得：，M为椭圆内一点则，
∴，可得，即直线为，正确；
D：由C知：，，则，正确.
故选：BCD.
6. 解析： 由已知可得直线方程为y＝2x－2，联立方程组解得A(0，－2)，B，
∴S△AOB＝·|OF|·|yA－yB|＝.
7.解：(1)椭圆＋＝1，a＝2，b＝，c＝1，
由椭圆的定义，得|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，|BF1|＋|BF2|＝2a＝4，又|AF1|＋|BF1|＝|AB|，
∴△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝8.
(2)由(1)可得F1(－1,0)，∵AB的倾斜角为，则AB的斜率为1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，故直线AB的方程为y＝x＋1，由整理得7y2－6y－9＝0，
由根与系数的关系得y1＋y2＝，y1y2＝－，则由弦长公式|AB|＝·
＝·＝.
8.解：(1)将y＝x＋b代入＋y2＝1，消去y并整理，得3x2＋4bx＋2b2－2＝0.①
因为直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点，所以Δ＝16b2－12(2b2－2)＝24－8b2＞0，
解得－＜b＜.所以b的取值范围为(－，)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当b＝1时，方程①为3x2＋4x＝0.
解得x1＝0，x2＝－.所以y1＝1，y2＝－.所以|AB|＝＝.
9.D 解析：因为直线和圆没有交点，可得，即，
所以点是以原点为圆心，为半径的圆及其内部的点，又因为椭圆，可得，
所以圆内切于椭圆，即点是椭圆内的点，
所以点的一条直线与椭圆的公共点的个数为.故选：D.
10.D 解析： S＝|OF|·|y1－y2|≤|OF|·2b＝12.
11.AD 解析：由于直线y=kx+1可以化为y-1=k(x-0)，恒过点(0，1)，故A正确；而方程表示椭圆的条件为m>0且m≠5，故B，C错误；若直线与椭圆总有公共点，则点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，则0<≤1且m≠5，故m≥1且m≠5，故D正确.故选：AD.
12. A解析：联立方程组可得即(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，则x0＝＝，y0＝1－x0＝1－＝，
所以kOP＝＝＝.
13.C解析：设弦的两个端点的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，则有＋＝1，＋＝1，两式相减，又x1＋x2＝y1＋y2＝2，因此＋＝0，即＝－，所求直线的斜率是－，
弦所在的直线方程是y－1＝－(x－1)，即9x＋16y－25＝0，故选C.
14. 解：（1），，
又，所以，，，
椭圆的标准方程为；
（2）设，，则，，
两式相减可得，
为线段的中点，则，，
，，
直线的方程为，整理得：．
15. 解：（1）由题意椭圆经过点 ，离心率为，
可得，解得，
故椭圆C的方程为
（2）由题意可知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为，
由，可得，
由于直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，
则，解得，
设,则，
，
故


，
即为定值.
16.解：（1）因椭圆过点，则，又椭圆C的离心率为，
则有，解得，
所以C的方程为．
（2）依题意，，由消去x并整理得：，
，
设，则，
于是得，点O到l的距离，
因此，即，
整理得，即，显然满足，
所以.