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    3.1.1 椭圆及其标准方程(学案) (人教A版2019选择性必修第一册)01
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    高中人教A版 (2019)3.1 椭圆优秀导学案

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    这是一份高中人教A版 (2019)3.1 椭圆优秀导学案,共12页。学案主要包含了学习目标,自主学习,小试牛刀,经典例题,跟踪训练,当堂达标,参考答案等内容,欢迎下载使用。

    第三章 圆锥曲线的方程
    3.1 椭 圆
    3.1.1 椭圆及其标准方程
    【学习目标】
    课程标准
    学科素养
    1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程.(重点)
    2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程.(重点)
    3.理解椭圆标准方程的推导过程,并能运用标准方程解决相关问题.(难点)
    1.直观想象
    2.数学运算
    3.数学抽象
    【自主学习】
    一.椭圆的定义
    1.定义:平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于 (大于|F1F2|)的点的轨迹.
    2.焦点:两个定点F1,F2.
    3.焦距:两焦点间的距离|F1F2|.
    4.几何表示:|MF1|+|MF2|= (常数)且2a |F1F2|.
    思考1:椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数,其他条件不变,点的轨迹是什么?

    思考2:椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数,其他条件不变,动点的轨迹是什么?

    二.椭圆的标准方程

    焦点在x轴上
    焦点在y轴上
    标准方程



    图 形


    焦点坐标


    a,b,c的关系

    思考3:能否根据椭圆的标准方程,判定焦点位置?

    【小试牛刀】
    1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
    (1)平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆.( )
    (2)已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆.(   )
    (3)已知椭圆的焦点是F1,F2,P是椭圆上的一动点,如果延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,则动点Q的轨迹为圆.( )
    (4)方程+=1 (a>0,b>0)表示的曲线是椭圆.( )
    2.设P是椭圆+=1上的点,若F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于(  )
    A.4      B.5 C.8 D.10
    【经典例题】
    题型一 求椭圆的标准方程
    点拨:用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤
    1.定位置:根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上,还是在y轴上,还是两个坐标轴都有可能.
    2.设方程:根据上述判断设方程+=1(a>b>0)或+=1(a>b>0)或整式形式mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
    3.找关系:根据已知条件建立关于a,b,c(或m,n)的方程组.
    例1 求满足下列条件的椭圆的标准方程:
    (1)两个焦点的坐标分别为F1(-4,0),F2(4,0),并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10;
    (2)焦点坐标分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,3);
    (3)求焦点在坐标轴上,且经过两点(2,-)和的椭圆的标准方程.




    【跟踪训练】1求与椭圆+=1有相同焦点,且过点(3,)的椭圆的标准方程.


    题型二 已知椭圆的标准方程求参数
    点拨:根据椭圆方程求参数的取值范围
    1.给出方程+=1,其表示椭圆的条件是其表示焦点在x轴上的椭圆的条件是m>n>0,其表示焦点在y轴上的椭圆的条件是n>m>0.
    2.若给出椭圆方程Ax2+By2=C,则应首先将该方程转化为椭圆的标准方程的形式+=1,再研究其焦点的位置等情况.
    例2 若方程+=1表示椭圆,则实数m的取值范围是(   )
    A.(-9,25) B.(-9,8)∪(8,25) C.(8,25) D.(8,+∞)
    【跟踪训练】2 若方程-=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数a的取值范围是 .


    题型三 求椭圆轨迹方程
    方法1:直接法
    直接法是求轨迹方程的最基本的方法,根据所满足的几何条件,将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x,y的形式,即F(x,y)=0,然后进行等价变换,化简为f(x,y)=0;
    例3-1 点A,B的坐标分别是(0,1),(0,-1),直线AM,BM相交于点M.且直线AM的斜率与直线BM的斜率的乘积是-,求点M的轨迹方程.







    方法2:定义法
    用定义法求椭圆方程的思路是:先观察、分析已知条件,看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义.若符合椭圆的定义,则用待定系数法求解即可。
    例3-2 如图所示,已知动圆P过定点A(-3,0),并且在定圆B:(x-3)2+y2=64的内部与其内切,求动圆圆心P的轨迹方程.




    方法3:代入法(相关点法)
    若所求轨迹上的动点P(x,y)与另一个已知曲线C:F(x,y)=0上的动点Q(x1,y1)存在着某种联系,可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来,然后代入已知曲线C的方程 F(x,y)=0,化简即得所求轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法).
    例3-3已知P是椭圆+=1上一动点,O为坐标原点,求线段OP中点Q的轨迹方程.


    题型四 椭圆中的焦点三角形问题
    点拨:焦点三角形的常用公式
    1.焦点三角形的周长L=2a+2c.
    2.焦点三角形的面积S△F1MF2=|MF1||MF2|sin θ,可把|PF1|·|PF2|看作一个整体,运用余弦定理|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2-2|MF1||MF2|cos θ=(|MF1|+|MF2|)2-2|MF1|·|MF2|-2|MF1||MF2|cos θ求出|MF1|·|MF2|.
    3.此外,焦点三角形的面积S△F1MF2=b2tan .(选择题、填空题可直接应用此公式求解)
    例4 如图所示,P是椭圆+=1上的一点,F1,F2为椭圆的左、右焦点,且∠F1PF2=60°,求△PF1F2的面积.




    【跟踪训练】3 已知F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点.若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|=________.
    【当堂达标】
    1.椭圆+y2=1上一点P到一个焦点的距离为2,则点P到另一个焦点的距离为(  )
    A.5     B.6    C.7     D.8
    2.已知椭圆4x2+ky2=4的一个焦点坐标是(0,1),则实数k的值是(  )
    A.1 B.2 C.3 D.4
    3.(多选)若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值可以是(  )
    A.2 B.1 C.0.5 D.0.3
    4.若方程+=1表示椭圆,则实数m满足的条件是________.
    5.设F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,求△F1PF2的面积.



    6.一个动圆与圆Q1:(x+3)2+y2=1外切,与圆Q2:(x-3)2+y2=81内切,试求这个动圆圆心的轨迹方程.










    【参考答案】
    【自主学习】
    一.常数 2a >
    二.+=1(a>b>0) +=1(a>b>0) (-c,0),(c,0) (0,-c),(0,c) c2=a2-b2
    思考1:点的轨迹是线段F1F2.
    思考2:当距离之和小于|F1F2|时,动点的轨迹不存在.
    思考3:能.椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中含x2项的分母较大;椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中含y2项的分母较大.
    【小试牛刀】
    1.(1)× (2)× (3)√ (4)×
    2.D
    【经典例题】
    例1 解:(1)因为椭圆的焦点在x轴上,且c=4,2a=10,所以a=5,b===3,所以椭圆的标准方程为+=1.
    (2)因为椭圆的焦点在y轴上,所以可设它的标准方程为+=1(a>b>0).
    因为所求椭圆过点(4,3),所以+=1.又c2=a2-b2=4,可解得a2=36,b2=32.
    所以椭圆的标准方程为+=1.
    (3)设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).
    分别将两点的坐标(2,-),代入椭圆的一般方程,
    得解得所以所求椭圆的标准方程为+=1.
    【跟踪训练】1 解:因为所求椭圆与椭圆+=1的焦点相同,所以其焦点在x轴上,且c2=25-9=16.
    设所求椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).
    因为c2=16,且c2=a2-b2,故a2-b2=16  ①.
    又点(3,)在所求椭圆上,所以+=1,即+=1  ②.
    由①②得a2=36,b2=20,所以所求椭圆的标准方程为+=1.
    例2 解:设动圆P和定圆B内切于点M,动圆圆心P到两定点A(-3,0)和B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径,即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8>|AB|,
    所以动圆圆心P的轨迹是以A,B为左、右焦点的椭圆,
    其中c=3,a=4,b2=a2-c2=42-32=7,其轨迹方程为+=1.
    【跟踪训练】2 解:设中点M的坐标为(x,y),点Q的坐标为(x0,y0).
    利用中点坐标公式,得∴
    ∵Q(x0,y0)在椭圆+y2=1上,∴+y=1.
    将x0=2x-1,y0=2y代入上式,得+(2y)2=1.
    故所求AQ的中点M的轨迹方程是+4y2=1.
    例2 B 解析:依题意有解得-9<m<8或8<m<25,即实数m的取值范围是(-9,8)∪(8,25).
    【跟踪训练】2 -4<a<0或0<a<3 解析:方程化为+=1,
    依题意应有12-a>a2>0,解得-4<a<0或0<a<3.
    例3-1 解:设点M的坐标为(x,y),因为点A的坐标是(0,1),所以直线AM的斜率kAM=(x≠0),同理,直线BM的斜率kBM=(x≠0).
    由已知有·=-,化简,得点M的轨迹方程为+y2=1(x≠0).
    例3-2 解:设动圆P和定圆B内切于点M,动圆圆心P到两定点A(-3,0)和B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径,即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8>|AB|,
    所以动圆圆心P的轨迹是以A,B为左、右焦点的椭圆,
    其中c=3,a=4,b2=a2-c2=42-32=7,其轨迹方程为+=1.
    例3-3 解:设P(xP,yP),Q(x,y),
    由中点坐标公式得所以
    又点P在椭圆+=1上,所以+=1,
    即x2+=1.
    例4 解:由已知a=2,b=,得c===1.
    ∴|F1F2|=2c=2.
    在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos 60°,
    即4=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|-2|PF1|·|PF2|·cos 60°.
    ∴4=16-3|PF1|·|PF2|.
    ∴|PF1|·|PF2|=4.
    ∴S=|PF1|·|PF2|·sin 60°=×4×=.
    【跟踪训练】3 8 解析:由直线AB过椭圆的一个焦点F1,知|AB|=|F1A|+|F1B|,
    所以在△F2AB中,|F2A|+|F2B|+|AB|=4a=20,又|F2A|+|F2B|=12,所以|AB|=8.
    【当堂达标】
    1.D 解析:根据椭圆的定义知,P到另一个焦点的距离为2a-2=2×5-2=8.
    2. B 解析:椭圆方程可化为x2+=1,由题意知解得k=2.
    3.CD解析:∵方程x2+ky2=2,即+=1表示焦点在y轴上的椭圆,
    ∴>2,故0
    4. 解析:由方程+=1表示椭圆,得解得m>且m≠1.
    5.解:由椭圆方程,得a=3,b=2,c=.∵|PF1|+|PF2|=2a=6且|PF1|∶|PF2|=2∶1,
    ∴|PF1|=4,|PF2|=2,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
    ∴△PF1F2是直角三角形,且∠F1PF2=90°,故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|=×2×4=4.
    6.解:两定圆的圆心和半径分别为Q1(-3,0),r1=1;Q2(3,0),r2=9.
    设动圆圆心为M(x,y),半径为R,由题意有|MQ1|=1+R,|MQ2|=9-R,
    ∴|MQ1|+|MQ2|=10>|Q1Q2|=6.
    由椭圆的定义可知点M在以Q1,Q2为焦点的椭圆上,且a=5,c=3,
    ∴b2=a2-c2=25-9=16.
    故动圆圆心的轨迹方程为+=1.

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