人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线优质学案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线优质学案，共11页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。
3.2.1 双曲线及其标准方程
【学习目标】
课程标准
学科素养
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.
2.掌握双曲线的标准方程及其求法.
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题．
1、直观想象
2、数学运算
3、逻辑推理
【自主学习】
一．双曲线的定义
文字语言
平面内与两个定点F1，F2的距离的 等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹.
符号语言
||PF1|－|PF2||＝常数(常数＜|F1F2|)
焦点
定点
焦距
的距离
思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)双曲线的定义中，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a0，b>0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长|AB|＝m，则△ABF2的周长为(　　)
A．4a B．4a－m C．4a＋2m D．4a－2m
5.已知方程－＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是________．
6.已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．
7.求以椭圆＋＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程．

8.已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面积．



【参考答案】
【自主学习】
差的绝对值 F1，F2 两焦点间
思考：(1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(2)点M在双曲线的右支上．
－＝1 －＝1 a2＋b2
思考：焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上．
【小试牛刀】
1.× × × ×
2.B
【经典例题】
例1 解：(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，
把点A的坐标代入，得b2＝－×0)，
把点A的坐标代入，得b2＝9.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)因为焦点在x轴上，可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
将点(4，－2)和(2，2)代入方程得解得a2＝8，b2＝4，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB)．
【跟踪训练】3 解：圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5,0)，半径r1＝1.
圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5,0)，半径r2＝4.
设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|.
∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝，c＝5，于是b2＝c2－a2＝.
故动圆圆心M的轨迹方程为－＝1.
【当堂达标】
1.AD 解析：因为a2＝25，所以a＝5．由双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝10．由题意知|PF1|＝12，所以|PF1|－|PF2|＝±10，所以|PF2|＝22或2．故选：AD。
2.D解析：F1，F2是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线．
3.D 解析：根据题意可知，双曲线的标准方程为－＝1.由其焦距为4，得c＝2，则有c2＝2－a＋3－a＝4，解得a＝.
4.C解析：不妨设|AF2|>|AF1|，由双曲线的定义，知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，
所以|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋4a＝m＋4a，于是△ABF2的周长l＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m.故选C.
5.(－∞，－2) 解析：由双曲线标准方程的特点知2＋m＜0且－(m＋1)＞0，解得m＜－2.即m的取值范围为(－∞，－2)．
6. 2 解析：不妨设点P在双曲线的右支上，
因为PF1⊥PF2，所以|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝(2)2，
又|PF1|－|PF2|＝2，所以(|PF1|－|PF2|)2＝4，
可得2|PF1|·|PF2|＝4，则(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝12，
所以|PF1|＋|PF2|＝2.
7.解：由题意知双曲线的两个焦点分别为F1(0，－3)，F2(0，3)，
∵A(4，－5)在双曲线上，
∴2a＝||AF1|－|AF2||＝|－|＝2，
∴a＝，∴b2＝c2－a2＝9－5＝4.
故双曲线的标准方程为－＝1.
8.解：在双曲线的方程中，a＝3，b＝4，则c＝5．
设|PF1|＝m，|PF2|＝n(m＞0，n＞0)．
由双曲线的定义可知，|m－n|＝2a＝6，
两边平方，得m2＋n2－2mn＝36．
又∵∠F1PF2＝90°，
∴由勾股定理，得m2＋n2＝|F1F2|2＝(2c)2＝100．
∴mn＝32，∴S△F1PF2＝mn＝16．