数学人教A版 (2019)3.2 双曲线优秀第1课时导学案及答案

这是一份数学人教A版 (2019)3.2 双曲线优秀第1课时导学案及答案，共10页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。

3.2.2　第1课时 双曲线的简单几何性质
【学习目标】
课程标准
学科素养
1.掌握双曲线的简单几何性质.
2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.
3.可以根据双曲线几何性质求离心率和取值范围.
1、直观想象
2、数学运算
3、逻辑推理
【自主学习】
一．双曲线的几何性质
标准方程
－＝1
(a＞0，b＞0)
－＝1
(a＞0，b＞0)
图形


性质
范围
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点


轴长
实轴长＝ ，虚轴长＝
离心率

渐近线
y＝±x

思考1：椭圆与双曲线的离心率都是e，其范围一样吗？

思考2：若双曲线确定，则渐近线确定吗？反过来呢？


二．双曲线的中心和等轴双曲线
1.双曲线的 叫做双曲线的中心．
2. 的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e＝ .
【小试牛刀】
1.思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)双曲线－＝1与－＝1(a>0，b>0)的渐近线相同．(　 　)
(2)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率e＝.(　 　)
(3)共渐近线的双曲线的离心率相同．(　　)
(4)双曲线－＝1的渐近线方程是3x±2y＝0.(　　)
2.中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是(　　)
A.－＝1 B.－＝1或－＝1
C.－＝1 D.－＝1或－＝1
【经典例题】
题型一 根据双曲线方程研究几何性质
点拨：由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
1.把双曲线方程化为标准形式；
2.由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；
3.由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质．
提醒：求性质时一定要注意焦点的位置．
例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．


【跟踪训练】1 求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．



题型二 由几何性质求双曲线的标准方程
1．由几何性质求双曲线标准方程的解题思路
由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)．
2．常见双曲线方程的设法
(1)渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0，m＞0，n＞0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A＞0，B＞0)．
(2)与双曲线－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ或－＝λ(λ≠0)．
(3)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)离心率相等的双曲线系方程可设为－＝λ(λ＞0)或－＝λ(λ＞0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置．
(4)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)共焦点的双曲线系方程可设为－＝1(b2＜λ＜a2)．
例2　根据以下条件，求双曲线的标准方程．
(1)过点P(3，－)，离心率为；
(2)与双曲线－＝1有共同渐近线，且过点(－3,2)．





【跟踪训练】2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x.





题型三 求双曲线的离心率
点拨：求双曲线离心率的方法
1.若可求得a，c，则直接利用e＝得解．
2.若已知a，b，可直接利用e＝得解．
3.若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解．
例3 如图所示，F1和F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．




【跟踪训练】3 已知双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，则其离心率为________．

【当堂达标】
1.（多选）设中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的虚轴长为4，一条渐近线为，则双曲线的标准方程可以为（ ）
A． B．
C． D．
2.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是（ ）
A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4 C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4
3.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F(2，0)，且离心率为e＝，则双曲线的标准方程为________．
4.已知点(2,3)在双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．
5.求过点(2，－2)且与－y2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程．















【参考答案】
【自主学习】
一．(－a,0)，(a,0) (0，－a)，(0，a) 2a 2b e＝>1 y＝±x
思考1：不一样，椭圆的离心率01.
思考2：当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就确定了；反过来，确定的渐近线却对应着无数条双曲线，如具有相同的渐近线y＝±x的双曲线可设为－＝λ(λ≠0，λ∈R)，当λ>0时，焦点在x轴上，当λ<0时，焦点在y轴上．
二．对称中心 实轴和虚轴等长
【小试牛刀】
1.(1)× (2)√ (3)× (4)√
2.B
【经典例题】
例1 解：双曲线的方程化为标准形式是－＝1，
∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝.
又双曲线的焦点在x轴上，∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，
焦点坐标为(－，0)，(，0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x.
【跟踪训练】1 解：把方程9y2－16x2＝144化为标准方程为－＝1.
由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；
c＝＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x.
例2 解：　(1)若双曲线的焦点在x轴上，设其方程为－＝1(a>0，b>0)，
∵e＝，∴＝2，即a2＝b2.①又双曲线过P(3，－)，∴－＝1，②
由①②得a2＝b2＝4，故双曲线方程为－＝1.
若双曲线的焦点在y轴上，设其方程为－＝1(a>0，b>0)，
同理有a2＝b2，③－＝1，④由③④得a2＝b2＝－4(舍去)．
综上，双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，将点(－3,2)代入得λ＝，
∴双曲线方程为－＝，即双曲线的标准方程为－＝1.
【跟踪训练】2 解：(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)．
由题意知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8，
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，
当λ＞0时，a2＝4λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝.
当λ＜0时，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝－1.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
例3 1＋ 解析：连接AF1(图略)，由△F2AB是等边三角形，知∠AF2F1＝30°.易知△AF1F2为直角三角形，则|AF1|＝|F1F2|＝c，|AF2|＝c，∴2a＝(－1)c，从而双曲线的离心率e＝＝1＋.
【跟踪训练】3 或　解析：当焦点在x轴上时，＝2，这时离心率e＝＝＝.
当焦点在y轴上时，＝2，即＝，这时离心率e＝＝＝.
【当堂达标】
1.AD 解析：中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的虚轴长为4，一条渐近线为，
可得b=2，一条渐近线为，如果双曲线的焦点坐标在x轴上，可得a=4，双曲线方程为：．如果双曲线的焦点坐标 在y轴上，可得a=1，此时双曲线方程为：．故选：AD．
2.A 解析：令y＝0，得x＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)，
∴c＝4，a2＝b2＝c2＝×16＝8，故选A.
3.－＝1　解析：由焦点坐标，知c＝2，由e＝＝，可得a＝4，所以b＝＝2，则双曲线的标准方程为－＝1.
4.2　解析：由题意知－＝1，c2＝a2＋b2＝4，得a＝1，b＝，∴e＝2.
5.解：法一：当焦点在x轴上时，由于＝.故可设方程为－＝1，
代入点(2，－2)得b2＝－2(舍去)；
当焦点在y轴上时，可知＝，故可设方程为－＝1，
代入点(2，－2)得a2＝2.所以所求双曲线方程为－＝1.
法二：因为所求双曲线与已知双曲线－y2＝1有相同的渐近线，
故可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，
代入点(2，－2)得λ＝－2，所以所求双曲线的方程为－y2＝－2，即－＝1.