数学选择性必修 第一册3.3 抛物线精品第1课时学案设计

这是一份数学选择性必修 第一册3.3 抛物线精品第1课时学案设计，共12页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。

3.3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质
【学习目标】
课程标准
学科素养
1.掌握抛物线的几何性质．(重点)
2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)
3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点)
1、直观想象
2、数学运算
3、逻辑推理
【自主学习】
一．抛物线的几何性质
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
图形




性质
焦点




准线




范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
对称轴


顶点

离心率
e＝
二．直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线有三种位置关系： 、 和 ．
设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0. 交点个数即二次方程解的个数．
①k＝0时，直线与抛物线的轴 ，此时直线与抛物线有 个公共点；
②k≠0时，Δ＞0⇔直线与抛物线 ⇔有 公共点．
Δ＝0⇔直线与抛物线 ⇔只有 公共点．
Δ＜0⇔直线与抛物线 ⇔ 公共点．
三．弦长问题
1.抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p．
2.抛物线的焦点弦
过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)y1y2＝ ，x1x2＝ ；
(2)|AB|＝ ；
(3)＋＝ ．
【小试牛刀】
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)抛物线关于顶点对称．(　 　)
(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．(　 　)
(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．(　 　)
(4)抛物线y2＝2px过焦点且垂直于对称轴的弦长是2p．(　 　)
(5)抛物线y＝－x2的准线方程为x＝．(　 　)
2.顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为(　　)
A．x2＝±3y　　　　　B．y2＝±6x C．x2＝±12y D．y2＝±12x
【经典例题】
题型一 直线与抛物线的位置关系
点拨：直线与抛物线交点问题的解题思路
1.判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数．
2.直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：①直线与抛物线的对称轴重合或平行；②直线与抛物线相切．
例1　已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．







【跟踪训练】1 直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________．
题型二 抛物线弦长问题
点拨：抛物线弦长的求解思路
当直线的斜率k存在且k≠0时，弦长公式为|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|；当直线的斜率k＝0时，只有抛物线的对称轴是y轴时弦长存在，弦长公式为|AB|＝|x1－x2|；当直线的斜率k不存在时，只有抛物线的对称轴是x轴时弦长存在，弦长公式为|AB|＝|y1－y2|.
注意：解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦的长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．　　
例2 斜率为2的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长．




【跟踪训练】2 已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为的直线l被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．






题型三　抛物线中点弦问题
点拨：解决中点弦问题的基本方法是点差法、利用根与系数的关系，直线与抛物线的方程联立时消y有时更简捷，此类问题还要注意斜率不存在的情况，避免漏解．
一般地，已知抛物线y2＝2px(p>0)上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)及AB的中点P(x0，y0)，则kAB＝.
例3 已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)求直线AB的方程．





【跟踪训练】3　过点Q(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，则弦AB所在直线的方程为________．

【当堂达标】
1.(多选)已知抛物线C：x2＝2py，若直线y＝2x被抛物线所截弦长为4，则抛物线C的方程为（ ）
A．x2＝4y B．x2＝－4y C．x2＝2y D．x2＝－2y
2.若抛物线y2＝2x上有两点A、B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为(　　)
A．　　　　 B． C． D．
3.设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是(　　)
A．(2，±2) B．(1，±2) C．(1,2) D．(2,2)
4.过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|AB|＝________.
5.若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合．




6.已知抛物线x＝－y2与过点(－1,0)且斜率为k的直线相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积等于时，求k的值．



7.已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点．
(1)若|AB|＝10，求实数m的值；
(2)若OA⊥OB，求实数m的值．

【参考答案】
【自主学习】
一.x＝－ x＝ y＝－ y＝ x轴 y轴 (0,0) 1 x1＋x2＋p
二．相离 相切 相交 平行或重合 一个 相交 两个 相切 一个 相离 没有
三．－p2 x1＋x2＋p
【小试牛刀】
1.× √ √ √ ×
2 .C 解析：可设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)，依题意知＝3，
∴p＝6.∴抛物线方程为x2＝±12y.
【经典例题】
例1 解：联立消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)
当k＝0时，(*)式只有一个解x＝，∴y＝1，∴直线l与C只有一个公共点，此时直线l平行于x轴．
当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程，Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)．
①当Δ>0，即k<1，且k≠0时，
l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；
②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；
③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离．
综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；
当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点；
当k>1时，l与C没有公共点．
【跟踪训练】1 0或1 解析：当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点．
当k≠0时，联立方程消去y，得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，
解得k＝1.
例2 解：如图，由抛物线的标准方程可知，焦点F(1,0)，准线方程x＝－1．

由题设，直线AB的方程为：y＝2x－2．
代入抛物线方程y2＝4x，整理得：x2－3x＋1＝0．
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由抛物线定义可知，|AF|等于点A到准线x＝－1的距离|AA′|，
即|AF|＝|AA′|＝x1＋1，同理|BF|＝x2＋1，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝3＋2＝5．
【跟踪训练】2 解：当抛物线焦点在x轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为y2＝2px(p＞0)，则焦点F，直线l的方程为y＝x－.设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A1，点B1，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝＋＝x1＋x2＋p＝6，
∴x1＋x2＝6－p.①
由消去y，得＝2px，即x2－3px＋＝0.
∴x1＋x2＝3p，代入①式得3p＝6－p，∴p＝.
∴所求抛物线的标准方程是y2＝3x.
当抛物线焦点在x轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y2＝－3x.
例3 解： (1)由于抛物线的焦点为(1,0)，所以＝1，p＝2，所求抛物线方程为y2＝4x．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y＝4x1　①，y＝4x2　②，
且x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
由②－①得(y1＋y2)(y2－y1)＝4(x2－x1)，所以＝2，
所以所求直线AB的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0．
【跟踪训练】3 4x－y－15＝0
解：法一：由题意知，当AB垂直于x轴时，不满足题意，故弦AB所在的直线的斜率存在，设该直线的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1(k≠0)．
由消去x，得ky2－8y－32k＋8＝0，则y1＋y2＝.
又y1＋y2＝2，所以＝2，解得k＝4.
故所求弦AB所在直线的方程为4x－y－15＝0.
法二：由题意知，当AB垂直于x轴时，不满足题意，故弦AB所在的直线的斜率存在．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝8x1，　①
y＝8x2，②
且x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，③
①－②，得(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)，④
将③代入④，得y1－y2＝4(x1－x2)，即4＝，则弦AB所在直线的斜率为4.
故所求弦AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.
【当堂达标】
1.CD 解析：由，解得：或，则交点坐标为(0,0)，(4p,8p)，
则，解得：， 则抛物线的方程，故选：CD．
2.A 解析：线段AB所在的直线方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为1－＝.
3.B 解析：由题意知F(1,0)，设A，则＝，＝，由·＝－4得y0＝±2，∴点A的坐标为(1，±2)，故选B.
4. 8 解析：因为直线AB过焦点F(1,0)，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
5.解：因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组有唯一一组实数解，消去y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，整理得(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0，①
(1)当a＋1＝0，即a＝－1时，方程①是关于x的一元一次方程，解得x＝－1，这时，原方程组有唯一解
(2)当a＋1≠0，即a≠－1时，方程①是关于x的一元二次方程．
令Δ＝[－(3a＋2)]2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)＝0，解得a＝0或a＝－．
当a＝0时，原方程组有唯一解
当a＝－时，原方程组有唯一解
综上实数a的取值集合是．
6.解： 过点(－1,0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，
由方程组消去x整理得ky2＋y－k＝0，Δ＝1＋4k2>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数之间的关系得y1＋y2＝－，y1·y2＝－1.
设直线与x轴交于点N，显然N点的坐标为(－1,0)．
∵S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝|ON||y1|＋|ON||y2|＝|ON||y1－y2|，
∴S△AOB＝×1×＝×＝，
解得k＝±.
7.解： 由得x2＋(2m－8)x＋m2＝0.
由Δ＝(2m－8)2－4m2＝64－32m>0，得m<2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8－2m，x1x2＝m2，y1y2＝m(x1＋x2)＋x1x2＋m2＝8m.
(1)因为|AB|＝＝·＝10，所以m＝，经检验符合题意．
(2)因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝m2＋8m＝0，解得m＝－8或m＝0(舍去)．
所以m＝－8，经检验符合题意．