山西省2022-2023学年高一数学下学期3月联考试题（Word版附解析）

这是一份山西省2022-2023学年高一数学下学期3月联考试题（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
山西省高一下学期3月联合考试
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至必修第二册第六章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式可得集合，再根据集合的运算可得结果.
【详解】由，解得，即，显然，
∴，∴．
故选：C.
2. 在中，角A，B，C对边分别是a，b，c，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由余弦定理求解即可.
【详解】由余弦定理可得，
因为，所以．
故选：A.
3. 若三点共线，则（ ）
A. B. 5 C. 0或 D. 0或5
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得，再利用向量共线求解即可.
【详解】因为，
若三点共线，则，
所以，
解得或5．
故选：D.
4. 已知正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A. 8 B. 16 C. 12 D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件，利用“1”代换，将转化为，再利用基本不等式求解即可.
【详解】已知正实数a，b满足，
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
所以的最小值为16，
故选：B.
5. 已知向量与向量均为单位向量，且它们的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知条件求出，再由投影向量公式计算即可求出答案．
【详解】∵，∴，则，
故向量在向量上的投影向量为，
故选：B.
6. 已知函数，则方程的实数解的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】讨论、，令求解即可判断个数.
【详解】当时，由，解得；
当时，由，得或，解得或．
故方程的实数解的个数为3．
故选：B
7. 已知的三个内角所对的边分别为．若，则该三角形的形状一定是（ ）
A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 锐角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦定理的边角转化，将已知变形，化简从而得出
【详解】因为，
由正弦定理（为外接圆的直径），
可得，
所以．
又因为，所以．即为等腰三角形.
故选：C
8. 泰姬陵是印度在世界上知名度最高的古建筑之一，被列为“世界文化遗产”．秦姬陵是印度古代皇帝为了纪念他的皇妃建造的，于1631年开始建造，用时22年，距今已有366年历史．如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物AB，高约为50m，在它们之间的地面上的点Q（B，Q，D三点共线）处测得A处、泰姬陵顶端C处的仰角分别是45°和60°，在A处测得泰姬陵顶端C处的仰角为15°，则估算泰姬陵的高度CD为（ ）

A. 75m B. m C. m D. 80m
【答案】A
【解析】
【分析】中边角关系解出，中由正弦定理解得，中由边角关系解得.
【详解】由已知得为等腰直角三角形，，，
，，则有，
A处测C处的仰角为15°，则，∴，
中，由正弦定理，，即，解得，
中，.
故选：A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知向量，若，则k的值可能为（ ）
A 1 B. 2 C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由向量垂直的坐标表示求解即可.
【详解】依题意得．
因为，所以，
解得或．
故选：AC.
10. 如图，在正方形中，Q为上一点，交于E，且E，F为的两个三等分点，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用向量的线性运算及三角形相似的性质即可求解.
【详解】因为，所以，故A错误．
，故B正确．
，故C正确．
因为E为上靠近B的三等分点，所以，利用相似性质可得，则．故D正确．
故选：BCD.
11. 若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已知，的夹角为，则（ ）
A. B.
C. 夹角的余弦值为 D. 夹角的余弦值为得
【答案】BC
【解析】
【分析】利用数量积公式及变形即可解决.
【详解】由已知可知：，所以．
设的夹角为，
由，得，得．
故选：BC.
12. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列选项正确的是（ ）
A. 若，则有两解
B. 若，则无解
C. 若为锐角三角形，且，则
D. 若，则的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据边角的关系，可判断三角形的个数，即可判断AB；
根据三角形是锐角三角形，求角的范围，即可判断C；
利用正弦定理，将边表示为三角函数，利用三角函数的性质，即可判断D.
【详解】对于A，因为，所以，则有两解，A正确．
对于B，因为，所以有且仅有一解，B错误．
对于C，由得，则，
因为，所以，C正确．
对于D．因为，所以，又因为，
所以，则
，由，得，
所以当，即时，取得最大值，D正确．
故选：ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13. 写出与向量平行的一个单位向量的坐标：_____________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】先求向量的模，再利用平行向量进行求解即可．
【详解】因为，则，
所以与平行的单位向量为或．
故答案为：（答案不唯一）．
14. 已知两个非零向量满足，且，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据得到，然后求即可.
【详解】两非零向量满足，可得，则，
因为，所以．
故答案为：.
15. 如图，海上一观测站A接到在北偏西方向上一艘商船D的求助电话，得知该商船需要加燃油，观测站人员准备让在商船D正东方向的一艘商船B向它输送燃油，速度为每小时120海里，此时商船B距观测站海里，20分钟后测得商船B位于距观测站30海里的C处，再经过___________分钟商船B到达商船D处．

【答案】15
【解析】
【分析】在中，由余弦定理求得，从而得到，利用正弦定理求得，然后根据速度比求出时间.
【详解】中，海里，海里，海里，
由余弦定理得，则．
在中，因为，所以海里，
所以分钟，即再经过15分钟商船B到达商船D处．
故答案为： 15.
16. 在长方形中，，，为边的中点，分别为边上的动点，且，则的取值范围是_______________．
【答案】
【解析】
【分析】画出图形，用三角函数的性质表示出，在根据辅助角公式化简，换元法后利用函数单调性求解即可.
【详解】如图，

设，
则，，，
，
令，则，
所以．
易得，所以，，
因为函数在上单调递增，
所以，
所以．
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 如图，在4×4正方形网格中，向量，满足，，且．

（1）在图中，以A为起点作出向量，使得；
（2）在（1）的条件下，求．
【答案】（1）作图见解析
（2）2
【解析】
【分析】（1）由向量线性运算的几何表示作出向量；
（2）利用向量，为基底，求.
【小问1详解】
，以A为起点作出向量，如图所示，
【小问2详解】
由图中网格可得：，
由，，且
则有
18. 已知向量，且．
（1）求的值；
（2）若与反向，，求与的夹角．
【答案】（1）或
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据题意求出、的坐标，由向量共线的坐标运算可得答案；
（2）由与反向求出，再求出的坐标，由向量夹角的坐标运算可得答案.
【小问1详解】
根据题意得，
，
因为，所以，
解得或；
【小问2详解】
由（1）时，，，所以，则与同向，舍去；

当时，，，所以，则与反向，
，
因为，
因为，
所以与的夹角为．
19. 已知向量，函数．
（1）求的单调递减区间；
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据向量的加法及数量积的坐标表示，利用同角三角函数函数的平方关系及二倍角的正弦、余弦公式，结合辅助角公式及三角函数的性质即可求解；
（2）根据已知条件及三角函数的诱导公式，结合二倍角的余弦公式即可求解.
【小问1详解】
因为
所以，
所以．
由，得，
所以的单调递减区间为．
【小问2详解】
由得，
即．
因为，所以，
，
故


20. 某城建部门欲沿河边规划一个三角形区域建设市民公园．如图，为该城区内河段的一部分，现有两种设计方案，方案一的设计为区域，方案二的设计为区域，经测量，米，米，米，．

（1）求的长度．
（2）若市民公园建设每平方米的造价为80元，不考虑其他因素，要使费用较低，该选哪个方案（请说明理由）？较低造价为多少？（参考数据：取）
【答案】（1）700米
（2）方案二的设计符合要求，理由见解析，13856000元
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理解得，解方程可得的长度；
（2）利用面积公式可得，确定方案二节约及其造价.
【小问1详解】
在中，由余弦定理得．
在中，由余弦定理得．
由，得，
故，
解得米，
故的长度为：700米．
【小问2详解】
方案二的设计符合要求．理由如下：
因为，
，
且，所以，
故选择方案二的设计，建设市民公园的费用较低．
因为米，所以是等边三角形，，
所以平方米，
所以总造价为元．
故：方案二符合要求，最低造价为13856000元.
21. 在中，内角所对的边分别为，且．
（1）若，求角的值；
（2）若外接圆的周长为，求面积的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，根据余弦定理和正弦定理可得，结合三角恒等变化即可求解；
（2）利用圆的周长公式可得外接圆的半径为，再根据余弦定理和均值不等式求得的范围，代入三角形面积公式即可求解.
【小问1详解】
因为，
所以由余弦定理得，解得，
所以由正弦定理可得，
由，得，即，
又因为，，且，
所以，解得．
由知，不是最大边，故．
【小问2详解】
因为外接圆的周长为，所以外接圆的半径，
又因为，当且仅当时等号成立，
所以，
由正弦定理可得，所以，
所以的面积．
因为，所以，
所以．
22. 已知函数.
（1）证明：对任意，总存在，使得对恒成立.
（2）若不等式对恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）先判断为增函数，找出隐零点从而得证；
（2）把不等式等价为，从而借助二次函数的图象建立不等式，再构造函数，利用单调性可解.
【小问1详解】
的定义域为，
在上为增函数，又在上为增函数，
所以在为增函数，
因为，，所以在内存在唯一的零点，
所以当时，．
故对任意，总存在，使得对恒成立．
小问2详解】
由，得．
设函数，为关于t的二次函数．
因为对恒成立，

由图可知，即
设函数，
在上为增函数，
又在上为增函数，则在上为增函数，
因为，所以不等式的解集为，
而当时，显然成立，
所以x的取值范围为．
【点睛】关键点睛：
第一问的关键是借助，，找到的隐零点，从而问题得证.