山西省部分学校2023届高三数学下学期质量检测试题（Word版附解析）

这是一份山西省部分学校2023届高三数学下学期质量检测试题（Word版附解析），共23页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。

高三数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：高考范围．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数（i为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数除法法则计算得到，进而求出，计算出模长.
【详解】，
则，
所以，则
故选：A
2. 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先化简集合，结合集合的补集运算和交集运算求解.
【详解】因为，，
又，所以，所以.
故选:B.
3. 某中学有高中生人，初中生人，男、女生所占的比例如下图所示.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从高中生中抽取女生人，则从初中生中抽取的男生人数是

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】分析：首先确定分层抽样的抽取比例，然后求解初中生中抽取的男生人数即可.
详解：因为分层抽样的抽取比例为，
所以初中生中抽取的男生人数是人.
本题选择A选项.
点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：
(1) ；
(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．
4. 已知，且，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由可求sinθ，由可求tanθ，再由正切二倍角公式可求tan2θ.
【详解】∵，且，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
5. 已知圆：的圆心到直线的距离为，则圆与圆：的公切线共有（ ）
A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条
【答案】B
【解析】
【分析】先根据题意求得，从而得到两圆圆心和半径，进而求得圆心距等于两半径的差，得知两圆内切，即可知道公切线只有1条.
【详解】圆：的圆心为，半径为a，
所以圆心到直线的距离为，解得或．
因为，所以.
所以圆：的圆心为，半径为．
圆：的标准方程为，
圆心坐标为，半径，
圆心距，所以两圆相内切．
所以两圆的公切线只有1条.
故选：B．
6. 已知点P是曲线上任意的一点，则点P到直线的距离的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知，过点的切线与直线平行，由此可求出点的坐标，然后利用点到直线的距离公式求解即可
【详解】令，则，即，
所以，
故选：D．
7. 已知双曲线的左焦点为F，直线与C交于A，B两点（其中点A位于第一象限），，O为坐标原点，且的面积为，则C的离心率是（ ）
A. B. 2 C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件结合双曲线的对称性，知四边形为矩形，再结合双曲线的定义
和直角三角形的勾股定理及双曲线的离心率公式即可求解.
【详解】如图，设双曲线的右焦点为，连接，因为，所以，

由图形对称性知为矩形，则有，所以，
在中，，解得．
故选: C.
8. 已知函数，关于x的方程有四个不同的实数根，则实数t的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令，求导判断单调性，再根据与图象之间的关系，即可绘制函数的图象. 令，结合图象，根据题意若要满足有四个根，只需方程的两根与满足：其中一个根，另一个根或．再结合二次函数图象可建立不等式即可求解.
【详解】令，则，令，解得，
故函数在区间上单调递减，在上单调递增，
且在处，取得最小值，
当时，；当时，，
又因为，
则的图像是将的图象在轴下方的部分关于轴向上翻折，保留轴上方的部分得到的，故的图象如图所示，

令，结合图象，根据题意若要满足有四个根，
则需方程有两个实根与，且满足其中一个根，另一个根或，
由，得或，
当方程的一个根，另一个根时，
将代入，可得，
故化为，解得或，不符合题意；
当方程的一个根，另一个根时，
所以解得．
综上所述，实数t的取值范围为．
故选：B．
【点睛】关键点睛：本题的关键是要准确画出函数的图象，可通过对求导得到单调性，再结合与图象之间的关系，即可绘制函数的图象，从而把问题转化为方程的两根与满足：其中一个根，另一个根或．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知，，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据不等式的基本性质，可判定A、B正确，根据指数函数和幂函数的单调性，可判定C错误，D正确.
【详解】由，，根据不等式的性质，可得，所以A是正确的；
由，，可得，
则，可得，所以B正确；
取，，则，从而，所以C错误；
由幂函数，在上是增函数，
则由，即得，则D正确.
故选：ABD.
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，以及幂函数的单调性的应用，其中解答中熟记不等式的基本性质，以及合理应用幂函数的单调性进行比较是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
10. 将函数的图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，则下列说法正确的是（ ）
A. 的图象关于直线对称
B. 的图象关于点对称
C. 在上值域为
D. 的图象可由的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到
【答案】AD
【解析】
【分析】利用三角函数的恒等变换化简，可得，分别将，代入，根据其函数值可判断A，B；根据，确定，根据正弦函数的性质可判断C；根据三角函数图象的平移变换规律可判断D.
【详解】对A，因为
，
所以，
将代入中，即，
则的图象关于直线对称，故A正确；
对B，因为，故的图象关于点对称，故B错误；
对C，当时，，，
故，即在上的值域为，故C错误；
对D，由的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，
得到的图象，故D正确．
故选：AD．
11. 在棱长为的正方体中，为的中点，为四边形内一点（包含边界），若平面，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 三棱锥的体积为定值
C. 线段长度的最小值为 D. 的最小值是
【答案】BCD
【解析】
【分析】取中点，可证得平面平面，由此可确定点轨迹为线段；
对于A，利用特殊点即可知A错误；
对于B，利用体积桥，由可知B正确；
对于C，所求最小值即为点到线段的距离，利用面积桥可构造方程求得结果，知C正确；
对于D，设，，根据可求得，由此可知D正确.
【详解】取中点，连接，

易知，平面，平面，平面；
同理可得：平面，又，平面，
平面平面，又平面，平面，
又为四边形内一点（包含边界），.
对于A，当在处时，与不垂直，A错误；
对于B，为定值，到平面的距离等于平面的距离，即，
，B正确；
对于C，线段长度的最小值为点到线段的距离，
在中，，，，
设点到线段的距离为，则，解得：，
即线段长度的最小值为，C正确；
对于D，设，，则，
（当且仅当时等号成立），
又，的最小值是，D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的动点轨迹相关问题的求解，解题关键是能够利用面面平行确定动点的轨迹，进而将各选项中的求解内容进行转化，借助于临界点来确定结果.
12. 过抛物线C：的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则下列判断正确的是（ ）
A. 可能为锐角三角形
B. 过点且与抛物线C仅有一个公共点的直线有2条
C. 若，则的面积为
D. 最小值为
【答案】CD
【解析】
【分析】对于A：联立直线AB与抛物线的方程，由韦达定理得，，从而得到，由此判断即可；对于B：判断得点在抛物线外，由此得以判断；对于C：利用抛物线的定义可求得，进而求得，从而根据即可判断；对于D：利用抛物线的定义得到，从而利用基本不等式即可判断.
【详解】对于A：因为抛物线C：的焦点为F，所以，
设，，AB方程为，
由，得，所以，，
故，所以∠AOB为钝角，故A错误；
对于B：因为对于，当时，，
所以在抛物线外，显然过与抛物线C相切的直线有2条，
当此直线与x轴平行时，与抛物线C也是仅有一个公共点，
所以过点且与抛物线C仅有一个公共点的直线有3条，故B错误；
对于C：当时，设，则，
，即，不妨设，
此时，故AB方程为，
联立抛物线C：，解得，
所以，故C正确；
对于D：由选项A知，且，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故D正确．
故选：CD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量，，若，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据向量的坐标运算和数量积的坐标运算即可求解.
【详解】 ，所以
故答案为：
14. 在的展开式中的系数是______.
【答案】
【解析】
【分析】由题可知展开式的通项公式，进而可得.
【详解】因为的展开式中，
通项公式，
令，解得，
又，
∴的系数为.
故答案为：．
15. 已知等腰直角的斜边，沿斜边的高线将折起，使二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为__________．
【答案】
【解析】
【详解】等腰直角翻折后 是二面角的平面角，即，因此外接圆半径为 ，四面体的外接球半径等于 ，外接球的表面积为
点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.
16. 已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且，，则不等式的解集是________．
【答案】
【解析】
【分析】利用构造法，构造函数，由其导数可得新函数的单调性，根据函数的对称性，可得新函数的函数值，进而可得答案.
【详解】设，∴，∴在R上单调递减．
∵，∴的图象关于直线对称，∴，
∴．∵，∴，即，∴2，
故不等式的解集是．
故答案为：.
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，．
（1）求角B的大小；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合辅助角公式即可得解；
（2）利用余弦定理求得，再根据三角形的面积公式即可得解.
【小问1详解】
因为，所以，
因为，所以，
所以，得，即，
因为，所以，
所以，所以；
【小问2详解】
由余弦定理得，
即，解得，
所以．
18. 已知数列满足，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据递推关系的特征采用累加法求解即可（2）根据数列通项公式的特征采用错位相减法求和
【小问1详解】
因为，
所以，
，
…
，
所以．
又，所以，所以．
又，也符合上式，
所以．
【小问2详解】
结合（1）得，所以
，①
，②
①②，得
，
所以．
19. 如图，菱与四边形相交于，平面，为的中点，.

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面成角的正弦值.
【答案】（1）见解析；
（2）.
【解析】
【分析】(1)取的中点，连接，要证平面，只需证平面平面，由，可得；
(2)以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，过点与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，用空间向量求解即可.
【小问1详解】
取的中点，连接,
因为为菱形对角线的交点，所以为中点.
又为中点，所以.
又因为分别为的中点，所以.
又因为，所以，
又，平面,,平面，
所以平面平面.
又平面，所以平面；
【小问2详解】
连接，设菱形的边长，则由，得，
又因为，所以，
则在直角三角形中，，所以，且由平面，，得平面.

以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，过点与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则,,
则，
设为平面的一个法向量，则即
令，得，所以.
又，
所以，
设直线与平面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】方法点睛：
利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
20. 某工厂的污水处理程序如下：原始污水必先经过系统处理,处理后的污水（级水）达到环保标准（简称达标）的概率为.经化验检测,若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行系统处理后直接排放.
某厂现有个标准水量的级水池,分别取样、检测. 多个污水样本检测时,既可以逐个化验,也可以将若干个样本混合在一起化验.混合样本中只要有样本不达标,则混合样本的化验结果必不达标.若混合样本不达标,则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标,则原水池的污水直接排放.
现有以下四种方案,
方案一：逐个化验；
方案二：平均分成两组化验；
方案三：三个样本混在一起化验,剩下的一个单独化验；
方案四：混在一起化验.
化验次数的期望值越小,则方案的越“优”.
（1）若,求个级水样本混合化验结果不达标的概率；
（2）若,现有个级水样本需要化验，请问：方案一，二，四中哪个最“优”？
（3）若“方案三”比“方案四”更“优”,求的取值范围.
【答案】（1）
（2）方案四最“优” （3）
【解析】
【分析】（1）根据所给相互独立事件重复发生的概率为两相互独立事件概率乘积，及相互独立事件的概率和为，可得结果；
（2）分别求出三种方案对应分布列，进一步求出各自的期望值，比较期望值大小得最优方案；
（3）分别求出期望值，利用期望大小关系建立关于的不等式，解得的取值范围．
【小问1详解】
该个级水样本混合化验结果达标的概率是,
所以根据对立事件原理，则不达标的概率为;
【小问2详解】
方案一：逐个检测，检测次数为．
方案二：由（1）知，每组两个样本的检测时，若达标则检测次数为，概率为；若不达标则检测次数为，概率为．
故方案二的检测次数，可能取，，．概率分布列如下，








可求得方案二的期望为，
方案四：混在一起检测，记检测次数，可取，．概率分布列如下，






可求得方案四的期望为．
比较可得，
故选择方案四最“优”．
【小问3详解】
方案三：设化验次数，可取，．






；
方案四：设化验次数，可取，．






；
由题意得 ．
故当时，方案三比方案四更“优”．
【点睛】方法点睛：求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列，组合与概率知识求出取各个值时的概率．对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．
21. 已知椭圆的左右焦点分别为、，上顶点为，若直线的斜率为，且与椭圆的另一个交点为，的周长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线（直线的斜率不为）与椭圆交于、两点，点在点的上方，若，求直线的斜率．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由椭圆的定义得出的周长为可求出的值，又由直线的斜率得出，可求出、的值，从而得出椭圆的标准方程；
（2）将直线的方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由题意分析得出，代入韦达定理可求出实数的值，即可得出直线的斜率.
【详解】（1）根据题意，因为的周长为，所以，即，
由直线的斜率，得，
因为，所以，所以椭圆的标准方程为；
（2）由题意可得直线方程，联立得，得，
解得，所以，因为，
即，所以，
当直线的斜率为时，不符合题意；
故设直线的方程为，设点、，
由点在点的上方，且，则有，
联立，所以，
由韦达定理得，，
消去得，所以，得，，
又由画图可知不符合题意，所以，故直线的斜率为．
【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中的三角形面积比的计算，解题时要结合已知条件将三角形的面积比转化为共线向量来处理，并结合韦达定理进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.
22. 已知函数．
（1）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若，求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，证明导数为单调增函数，然后分和两种情况判断导数的正负，从而判断函数的单调性，结合不等式恒成立，求得参数范围；
（2）利用（1）的结论将要证明的不等式转化为证明，从而构造函数，利用导数判断函数单调性，结合函数值范围，进而证明原不等式成立.
【小问1详解】
由题意知，，
令，则，则在上恒成立， 仅在时取等号，
所以在上单调递增，即在上单调递增．
当时，在上恒成立，
所以在上单调递增，所以，符合题意；
当时，．
令，则，所以在上单调递减，
在上单调递增，所以．
所以，又在上单调递增，
所以，使得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，不符合题意．
综上所述，实数a的取值范围是．
【小问2详解】
证明：由（1）得，当，时，，即，
要证不等式，只需证明，
只需证明，即只需证，
设，则，
当时，恒成立，故在上单调递增，
又，所以恒成立，所以原不等式成立．
【点睛】难点点睛：第二问证明不等式成立时，要结合第一问的结论，得到，即，这是要结合所要证明的不等式的变形进行的合理变式，因此难点就在于要利用分析的方法，将原不等式转化为证明，即需证明，也就是证，然后可以构造函数，利用导数判断函数单调性解决问题.