山西省三重教育2023届高三数学下学期2月联考试题（Word版附解析）

这是一份山西省三重教育2023届高三数学下学期2月联考试题（Word版附解析），共23页。

绝密★启用前（新高考卷）
数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解，得，即可求解.
【详解】令，则解得，
所以，所以．
故选：A
2. 已知复数，满足，，则（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数模长的运算性质，可得答案.
【详解】由，则，，
故选：C.
3. 已知一个足球场地呈南北走向．在一次进攻时，某运动员从A点处开始带球沿正北方向行进16米到达B处，再转向北偏东60°方向行进了24米到达C处，然后起脚射门，则A，C两点的距离为（ ）
A 米 B. 米 C. 32米 D. 米
【答案】D
【解析】
【分析】作出示意图，利用余弦定理计算即可.
【详解】
如图，根据题意可知.
根据余弦定理可得：，
解得(米)
故选：D
4. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过作的垂线，垂足为，若（为原点），则到的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由抛物线的定义结合可求得的值，由此可得出到的距离.
【详解】易知抛物线的焦点为，由抛物线的定义可得，
所以，，解得，因此，到的距离为.
故选：C.
5. 有一个棱柱形状的石料，底面是边长为的等边三角形，该石料侧棱垂直于底面，若可以将该石料打磨成四个半径为的石球，则至少需要打磨掉的石料废料的体积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出柱形石料的高，利用柱体体积减去四个球体体积可得结果.
【详解】底面是边长为的等边三角形的内切圆的半径为，
由等面积法可得，解得，
若可以将该石料打磨成四个半径为的石球，则该柱形石料的高至少为，
因此，至少需要打磨掉的石料废料的体积为.
故选：B.
6. 已知向量,,其中．若,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将向量用坐标表示,分析是否为零后,将等式两边同时平方,再用代换为齐次式,再将等式两边同时除以,得到关于的等式,解出即可.
【详解】解:因为,且,,
所以,
当时,,不成立,故,
对等式两边同时平方有:
化简可得:,
两边同时除以有:,
即,即,
解得.
故选:B
7. 现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为，方差为，乙组数据的平均数为，方差为．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平均数和方差公式可求得新数据的方差.
【详解】设甲组数据分别为、、、，乙组数据分别为、、、，
甲组数据的平均数为，可得，方差为，可得，
乙组数据平均数为，可得，方差为，可得，
混合后，新数据的平均数为，
方差为

.
故选：D.
8. 已知椭圆M：的上顶点为A，过点A且不与y轴重合的直线l与M的另一个交点为（其中），过B作l的垂线，交y轴于点C．若，则l的斜率（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得出直线方程，将直线方程与椭圆方程联立求出点的坐标，再根据题意求出所在直线方程，求出点的坐标，利用两点间距离公式即可求解.
【详解】由题意可得直线的方程为，
将直线方程代入椭圆方程可得：，所以，
则，因为过B作l的垂线，交y轴于点C，
所以所在直线方程为：，
令，则，所以点，又因为，
所以，整理化简可得：，
解得：，因为，所以，
故选：.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知等比数则的公比为，前项积为，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用数列的基本性质可得出，，求出的取值范围，可判断AB选项；利用等比数列的性质可判断CD选项.
【详解】因为数列等比数则的公比为且，则，
所以，，，
又因为，则，所以，，从而，
故对任意的，，由可得，A对B错；
，，即，C对D错.
故选：AC.
10. 已知函数的图象关于点对称，且存在，使在上单调递增，则下列选项正确的是（ ）
A. 的最小正周期
B. 在上单调递增
C. 函数的图象不可能关于点对称
D. 函数在内不存在极值点
【答案】AC
【解析】
【分析】A选项，依据周期的定义，计算的范围可判断；B选项，的单调增区间在距对称中心前后内，令，求出的范围可判断结果；C选项，的每个对称中心间隔为，计算对称中心的范围判断是否在此范围内即可； D选项，的极值点为，依据周期的范围计算极值点的范围，判断是否在内可得结果.
【详解】解：A 选项：，，故A正确；
B选项：若存在，使在上单调递增，则，即，所以在上不一定单调，故B错误；
C选项：因为是的对称中心，所以也是的对称中心，，，，所以不是的对称中心，故C正确；
D选项：函数的极值为的最值，是的对称中心，所以的最值点为，有，所以函数在内存在极值点，故D错误.
故选：AC
11. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，直线与椭圆C交于A，B两点（其中A在B的左侧），记面积为S，则（ ）
A. B. 时，
C. S的最大值为 D. 当时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题知，，，设，则，进而结合向量运算，椭圆定义等讨论各选项即可得答案.
【详解】由题知，，，设，则，
对于A选项，根据椭圆的定义，，故正确；
对于B选项，，故，
因为，即，所以，解得，故错误；
对于C选项，因为，当且仅当，即时等号成立，即
所以，面积为，即的最大值为，故正确；
对于D选项，，所以，
因为，
所以，
因为，，
所以，整理得，即，解得，
所以，所以面积为，故正确；
故选：ACD
12. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若在R上单调递增，则
B. 若，设的解集为，则
C. 若若两个极值点，，且，则
D. 若，则过仅能做曲线的一条切线
【答案】ACD
【解析】
【分析】对函数求导，利用导数研究函数的最值判断；化简不等式，利用符号法解不等式，从而求解区间长度范围判断；结合图象和函数的零点判断；利用导数的几何意义建立方程，判断方程根的个数即可判断D.
【详解】对于A，对求导得：，因为函数在R上单调递增，
所以恒成立，即恒成立，
记，则，
因为，当时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
因此，函数在处取得最大值，所以，即，故选项正确；
对于B，由得，等价于，即，
当时，，，又，故
所以，当时，，无解，
故的解集为，此时，当
时，，，故B不正确；
对于C，因为函数有两个极值点，，所以有两个零点点，，
即方程有两个解为，，记，
因为，当时，，
当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，
因此，函数在处取得最大值，
令，则，解得，
此时，即，
方程有两个解为，等价于与交于两点，
所以，
所以，

C选项正确；
对于D，时，，，设图象上一点，
则，故过点的切线方程为，
将代入上式得，
整理得，
构造函数，则，
构造函数，则，
令得，令得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，所以函数单调递增，
又，即方程在区间有一解，
所以存在唯一一条过的切线，D选项正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. A，B两篮球运动员在球衣号分别为6，8，9，18的四件球衣中各随机选一件，则A选的是偶数号球衣的不同选法共有__________种．
【答案】9
【解析】
【分析】根据分步乘法法则直接得出答案.
【详解】A选的是偶数号球衣的选法有3种，
B从A选完后剩余的3件球衣中选1件的选法有3种，
则A选的是偶数号球衣的不同选法共有种，
故答案为：9.
14. 已知直线过定点,则最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】将定点代入直线中得到,再用“1”的代换即可求得结果.
【详解】解:因为直线过定点,
所以,即,
所以
,
当且仅当即时取等,
所以的最小值为.
故答案为:
15. 若在圆C：上存在一点P，使得过点P作圆M：的切线长为，则r的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】设点，根据题意可得：，然后再利用即可求解.
【详解】设点，过点作圆M：的切线，切点为，
由题意可知：，因为点，
所以，化简整理可得：，
所以，因为，，
所以，解得：，
所以的取值范围为，
故答案为：.
16. 若曲线与曲线存在公切线，则a的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】曲线与曲线存在公切线等价于导函数相等有解，求导后列出方程求解即可.
【详解】由，则，设切点为，切线斜率为，
所以，切线为，即，
由，则，设切点为，切线斜率为，
所以，切线为，即，
根据题设，若它们切线为公切线，则有，即，
又，即且，即，
由上关系式并消去并整理得在上有解，
令，则，
当，则，即，此时递增；
当，则或，即或，此时递减；
又，，
所以，即.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：设切点并写出两曲线对应的切线方程，根据公切线列方程组，注意切点横坐标及参数a范围，进而转化为方程在某区内有解问题.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 求△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且△ABC的周长为6．
（1）证明：；
（2）求△ABC面积的最大值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】(1)利用余弦定理和三角形周长即可求解；
(2)结合（1）的结论和基本不等式得出，然后利用三角形面积公式即可求解.
【小问1详解】
在△ABC中，由余弦定理可得：，
即，又因为，
所以，整理可得：，
所以得证.
【小问2详解】
由（1）可知：，
所以，当且仅当时取等号，
所以或，因为，所以，
则，所以，
故△ABC面积的最大值为.
18. 已知数列各项均为正数，，，且．
（1）若，求的前n项和；
（2）若为等比数列，且不为等比数列，求的值．
【答案】（1）.
（2）.
【解析】
【分析】（1）由题意可得，确定为等差数列，即可求得答案;
（2）根据题意列出等式，解关于的方程，可得答案.
【小问1详解】
由题意若，则，
故为等差数列，，，则公差为，
所以，
故的前n项和.
【小问2详解】
由已知可得，，
由于为等比数列，则，
即，
整理可得，，
则，符合不为等比数列，且，故.
19. 一对夫妻计划进行为期60天的自驾游．已知两人均能驾驶车辆,且约定:①在任意一天的旅途中,全天只由其中一人驾车,另一人休息;②若前一天由丈夫驾车,则下一天继续由丈夫驾车的概率为,由妻子驾车的概率为;③妻子不能连续两天驾车．已知第一天夫妻双方驾车的概率均为．
（1）在刚开始的三天中,妻子驾车天数的概率分布列和数学期望;
（2）设在第n天时,由丈夫驾车的概率为,求数列的通项公式．
【答案】（1）分布列见解析;
（2）,
【解析】
【分析】(1)设妻子驾车天数为,写出的可能取值,根据题意求出相对应的概率,列出分布列,根据期望公式求出结果即可;
(2)由于丈夫驾车的概率与前一天驾车的对象有关系,不妨假设第天,丈夫驾车的概率为,则妻子驾车的概率为,得到关于的递推关系式,构造等比数列,求出等比数列通项公式即可求得通项公式.
【小问1详解】
解:设妻子驾车天数为,则的可能取值为:,
由题意可知:,
,
,
所以的分布列如下表所示:

0
1
2




所以;
【小问2详解】
假设第天,丈夫驾车的概率为,则妻子驾车的概率为,
此时第n天时,由丈夫驾车的概率为,
即,则有,
所以,因为,
所以是以为首项,为公比的等比数列,
即,故.
20. 如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB平面ABC，，，．

（1）证明：ABPC；
（2）求二面角A-PC-B的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）作, 垂足为O,可得OBOC，又POBO，可得OB平面POC，根据线面垂直的性质即可证明；
（2）以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz,求出两个平面的法向量即可求二面角的余弦值.
【小问1详解】
如图, 作，垂足为O，连接CO，

因为POBO,且，

所以是等腰直角三角形，又, 所以OB=OP=2.

又, ,由余弦定理可知CO=2，

所以,即OBOC.

又,OP,OC平面POC，

所以平面POC，又PC平面POC，
所以OBPC，即，
【小问2详解】
因为平面PAB平面ABC,且平面PAB平面ABC=AB,POAB,PO平面PAB，

所以PO平面ABC，又OC平面ABC，
所以POOC.
以O为原点建立如图所示空间直角坐标系O-xyz,


则A(1,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2)，则，
设平面APC的法向量为,则，取,则,所以.
设平面BPC的法向量为,则，取,则,所以.
设二面角B-PC-A为,由图可知为锐角，所以.
21. 已知双曲线：的焦距为8．过左焦点的直线与的左半支交于，两点，过，作直线：的垂线，垂足分别为，，且当垂直于轴时，．
（1）的标准方程；
（2）设点，判断是否存在，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）根据焦距得，利用及通经长度即可求得的值，从而得的标准方程；
（2）讨论直线斜率不存在与存在两种情况，存在时，直线方程为，，联立直线与双曲线，得交点坐标关系，利用直线方程与双曲线方程转化，通过系数成比例解方程确定定值是否存在即可.
【小问1详解】
由题可知，焦距，所以，当AB垂直于x轴时，，
又，联立，解得或（舍），所以
则的标准方程为；
【小问2详解】
如图，

①当直线斜率不存在时，此时，则，所以，要使得为定值，则；
②当直线斜率存在时，设直线方程为，，则，由于均在左半支，所以，且，
所以，消去得，则
所以，同理，
则
，
要使得为定值，则满足，解得，
此时，经检验，此结果也符合斜率不存在的情况
综上，存在使得为定值.
22. 设函数，其中，．
（1）若，且在区间单调递减，在区间单调递增，求t的最小值；
（2）证明：对任意正数a，b，仅存在唯一零点．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数，求导，结合已知是函数的唯一的极值点，且为极小值点，所以，有唯一的根，令确定其单调性，对进行讨论，即可求得t的最小值；
（2）因为，设，将的零点个数转化为零点的个数，对求导研究即可.
【小问1详解】
若，，，则，
因为在区间单调递减，在区间单调递增，所以是函数的唯一的极值点，且为极小值点，
且，即，
令，则，
令得，令得或
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又；
当时，存，，，
使得，即，
且当时，，时，，时，，
时，
所以在和上单调递减，在和上单调递增，即不符题意，
当时，在上恒成立，则存在，使得，
当时，，时，
所以在单调递减，在单调递增，即符合题意，
又，则，
综上，t的最小值为．
【小问2详解】
证明：易知，
设，
则，所以，
①当，即时，，则单调递增，
又时，，时，，
所以存在，使得，时，，时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又时，，时，，
所以存在唯一的，使得，即，
②当，即，
存在，，
使得，且，
易知在和上单调递增，在上单调递减，
又当时，，
且时，，
所以存在，使得，
易知在上单调递减，在上单调递增，
又时，，时，，
所以存在唯一的，
使得，即；
综上，对任意a，b＞0，仅存在唯一零点．
【点睛】本题考查了函数极值点、零点与导数的综合，属于难题.解决本题含参极值点的关键是得含参方程，构造新函数确定其单调性与取值，从而得的范围，使得可求得满足方程的t的最小值；而要证明函数的零点唯一性，采用等价转化为的零点个数即可.