山西省阳泉市2022-2023学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

这是一份山西省阳泉市2022-2023学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回，考试时间60等内容，欢迎下载使用。
阳泉市2022~2023学年度
高一年级第二学期期末教学质量监测试题
数学（必修第二册）
注意事项：
1．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置．
3，全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．
4．考试结束后，将答题卡交回．
5．考试时间60．分钟，满分100分．
第Ⅰ卷（40分）
一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 若复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A. 0 B. 2 C. 3 D. 0或2
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的概念列方程求解即可得实数的值.
【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得.
故选：B.
2. 柜子里有三双不同的鞋，从中任取两只，取出的鞋都是一只脚的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设三双不同的鞋分别为，，，横坐标代表左脚鞋，纵坐标代表右脚鞋，利用列举法可得从中任取两只的情况和取出的鞋都是一只脚的情况，再根据古典概型概率公式计算可得答案.
【详解】设三双不同的鞋分别为，，，横坐标代表左脚鞋，纵坐标代表右脚鞋，
从中任取两只有，，，，，，，，，，，，，，共15种，
其中取出的鞋都是一只脚的有，，，，，共6种，
所以取出的鞋都是一只脚的概率是.
故选：C.
3. 对于两个不共线的向量和，下列命题中正确的是（ ）
A.
B.
C. 若和同向，且，则
D. 若，则向量平分和的夹角
【答案】D
【解析】
【分析】A选项，根据向量数量积运算法则得到；B选项，可举出反例；C选项，根据向量概念得到C错误；D选项，根据平面向量的加法法则得到答案.
【详解】A选项，和是不共线的两个向量，故和均不是零向量，且和，
又，所以，故A错误；
B选项，不妨设是互相垂直的两个单位向量，则，B错误；
C选项，两个向量不能比较大小，C错误；
D选项，由向量加法法则可知是以为邻边的平行四边形的对角线，如图，

若，则平行四边形变为菱形，故向量平分和的夹角，D正确.
故选：D
4. 菱形中，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据菱形的几何性质结合向量的线性运算求解.
【详解】因为菱形中，，若，

所以为等边三角形，且，
因为，
所以.
故选：B.
5. 关于事件的相互独立性，下列命题不正确的是（ ）
A. 若三个事件两两相互独立，则
B. 若事件和相互独立，则和也相互独立
C. 一个必然事件和任意一个事件都相互独立
D. 若，则事件相互独立与互斥不能同时成立
【答案】A
【解析】
【分析】利用事件的独立性质和互斥，即可逐个选项判断.
【详解】若三个事件两两相互独立，
则，，
，
推不出，A错误；
若事件和相互独立，则，
又，
则
，B正确；
一个必然事件发生的概率为，
设任意一个事件发生的概率为，
则，C正确；
若，事件相互独立，
则，
若互斥，则，故D正确.
故选：A
6. 已知复数，且，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数相等可得和三角函数的平方关系可得，再根据正弦函数的取值范围与二次函数的性质可得的取值范围.
详解】复数，且，
所以，则
因为，所以，当时，，当时，
所以的取值范围是.
故选：B.
二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分．
7. 下列命题不正确的是（ ）
A. 长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体
B. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
C. 所有面都是三角形的几何体一定是三棱锥
D. 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行
【答案】ACD
【解析】
【分析】举出反例可判断AC，根据四棱锥的定义可判断B；根据线面的位置关系可得D.
【详解】对于A，长方体是四棱柱，但当直四棱柱的底面为菱形时，直四棱柱不是长方体，故A错误；
对于B，有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥，故B正确；
对于C，如图所示的几何体，所有面都是三角形，但该几何体不是三棱锥，故C错误；

对于D，如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条可能与这个平面平行，也可能在这个平面内，故D错误.
故选：ACD.
8. 如图，在正方体中，下列命题正确的是（ ）

A. 平面 B. 平面平面
C. 平面 D. 与平面所成的角是
【答案】BCD
【解析】
【分析】由与不垂直可判断A；可证平面可判断B；证，可判断C；作出与平面所成的角，计算可判断D.
【详解】在正方体中，与不垂直，平面，
所以不可能与平面垂直，故A错误；
因为在正方体中，，，
平面，，所以平面，
又平面，所以平面平面，故B正确；
因为在正方体中，，，
平面，，所以平面，
又平面，所以，
同理可证平面，平面，所以，
平面，，所以平面，故C正确；
设，连接，由B选项可知平面，
所以即为与平面所成的角，
因为平面，所以，
设正方体的棱长为1，
则在中，，
所以，又为锐角，所以，
即与平面所成的角是，故D正确.

故选：BCD
第Ⅱ卷（60分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
9. 已知向量，与共线，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用向量共线的坐标运算求解即可.
【详解】由题知，，
因为与共线，
所以，
解得.
故答案为：
10. 一家水果店的店长为了解本店水果的日销售情况，记录了过去30天苹果的日销售量（单位：），结果如下：
83，96，107，91，70，75，94，80，80，100，75，99，117，89，74，
94，84，85，101，87，93，85，107，99，55，97，86，84，85，104．
一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求．店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需求（在100天中，大约有80天可以满足顾客的需求），则每天应该进___________千克的苹果．
【答案】99.5
【解析】
【分析】利用百分位数的定义进行求解.
【详解】过去30天苹果的日销售量按从低到高排列：
55，70，74，75，75，80，80，83，84，84，85，85，85，86，87，89，91，93，94，94，96，97，99，99，100，101，104，107，107，117
，
故第80百分位数：
故答案为：99.5
11. 如图，圆锥的底面直径和高均是1，过的中点做平行与底面的截面，再挖掉一个以该截面为底面的圆柱，则剩下几何体的表面积是___________．

【答案】
【解析】
【分析】根据圆锥与圆柱的表面积即可确定该几何体的表面积.
【详解】由题可知，，，，圆锥的底面半径，圆柱的底面半径
圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积，
圆柱的侧面积，
所以剩下几何体的表面积是.
故答案为：.
12. 如图，直线与的边分别相交于点，设，是方向的单位向量．请你利用所学向量知识，补充完整以下与的边和角之间的关系式：___________．

【答案】
【解析】
【分析】由得，根据数量积的定义代入运算整理即可得答案.
【详解】因为，所以，
即，
又因，
，
，
所以，
即
故答案为：
四、解答题：本题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤．
13. 近年来，我国居民体重“超标”成规模增长趋势，对人群的心血管安全构成威胁．国际上常用身体质量指数来衡量人体胖瘦程度是否健康．某社区医院为了解居民体重现状，随机抽取了100个居民的体检数据，得到相应的频率分布直方图．

（1）根据频率分布直方图，求a的值，并估计该社区居民身体质量指数BMI的中位数；
（2）现利用分层抽样的方法，从样本两组中抽取6个人，再从这6个人中随机抽取两人，求抽取到两人的值不在同一组的概率．
【答案】（1），23
（2）
【解析】
【分析】（1）依据频率分布直方图意义求出，可得满足频率恰为0.5的位置；
（2）求出按照分层抽样在、抽取的人数，利用列举法和古典概型概率计算公式可得答案．
【小问1详解】
依据频率分布直方图意义，得，
即，∴,
∵的频率之和为0.2，而的频率为0.4，
∴满足频率恰为0.5的位置为；
【小问2详解】
由频率直方图知的频数为16，的频数为32，按照分层抽样抽取6人，
则在抽取2人，编号为1，2．在抽取4人，编号为3，4，5，6．
从6人随机抽取2人，样本空间为：
，
设事件“从6人抽取2人的数值不在同一组”，
则
故，∴两人的值不在同一组的概率为．
14. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求角C的大小；
（2）已知，的面积为6，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角恒等变形，求角的值；
（2）首先根据面积公式求，再根据余弦定理和正弦定理，即可求解的值.
【小问1详解】

即，则,
且，则；，
【小问2详解】
，所以，
根据余弦定理可知，,
即，
根据正弦定理，，即，解得：.
15. 如图，平面与平面交于平面，EF∥平面，四边形为正方形，且．

（1）求证：∥平面；
（2）求证：平面．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）如图，设与交于点，则为正方形的中心，连接，不妨令，则，再由线面平行的性质可证得∥，则可得四边形为平行四边形，得∥，再由线面平行的判定可证得结论；
（2）连接，可得四边形为菱形，则，而四边形为正方形，所以，再由已知线面垂直可得，所以由线面垂直的判定可得平面，则，再由线面垂直的判定可得结论.
【小问1详解】
如图，设与交于点，则为正方形的中心，
连接，不妨令，则．
∵四边形正方形，∴．
∵∥平面，平面平面面，
∴∥，
∴∥，即四边形为平行四边形，
∴∥，
又平面平面，
∴∥平面．
小问2详解】
连接，
∵∥，，
∴四边形为菱形．
∴．
又四边形为正方形，
∴．
∵平面平面，
∴．
而，且平面平面，
∴平面，
∵平面，
∴．
又平面，
∴平面．