陕西省西安市雁塔区陕西师范大学附属中学2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷（含答案）

这是一份陕西省西安市雁塔区陕西师范大学附属中学2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷（含答案），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年陕西师大附中七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共10题，合计30分）
1．（3分）下列图形不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是0.00000000034m，这个数用科学记数法表示正确的是（　　）
A．3.4×10﹣9 B．0.34×10﹣9 C．3.4×10﹣10 D．3.4×10﹣11
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．3x2⋅2x2y＝6x5 B．（2x）3⋅（﹣5x2y）＝﹣10x5y
C．（x﹣y）3＝﹣（y﹣x）3 D．（m+n）2＝m2+n2
4．（3分）一个袋中有3个红球，5个白球，2个黑球，这些球除颜色外均相同，小强任意摸出一个是红球的概率为（　　）
A．.1 B． C． D．
5．（3分）如图，AE∥BD，∠1＝120°，∠2＝40°，则∠C的度数是（　　）

A．10° B．20° C．30° D．40°
6．（3分）在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定
7．（3分）如图，在△ABC中，过顶点A的直线l与边BC相交于点D，当顶点A沿直线AD向点D运动，且越过点D后逐渐远离D，在这一运动过程中，△ABC的面积的变化情况是（　　）

A．由大变小
B．由小变大
C．先由大变小，后由小变大
D．先由小变大，后由大变小
8．（3分）如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（　　）

A． B． C． D．
9．（3分）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（　　）
​

A．线段AD是△ABC的BC边上的高线
B．线段AD是△ABC的AC边上的高线
C．线段CD是△ABC的AC边上的高线
D．线段CD是△ABC的AB边上的高线
10．（3分）如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E．若AB＝6，AD＝8，那么点E到BD的距离为（　　）
​

A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共6题，合计18分）
11．（3分）若2x＝3，2y＝5，则2x+y＝　 　．
12．（3分）△ABC的三边a，b，c满足（3﹣a）2+|7﹣b|＝0且c为偶数，则△ABC的周长为 　 　．
13．（3分）长方形的周长为24cm，其中一边长为x（cm），面积为y（cm2），则y与x的关系可表示为 　 　．
14．（3分）如图，点D是△ABC边BC上任意一点，点E，F分别是线段AD，CE的中点，若△ABC的面积是12，则△BEF的面积是 　 　．
​

15．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，则PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是　 　．

16．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，点D是BC边上一点，连接AD，M，N是线段AD上两点，AM＝8，AN＝15，点P，Q分别是AB，AC边上的动点，连接PM，PQ，NQ，则PM+PQ+NQ的最小值为 　 　．
​

三、解答题（共7题，合计52分）
17．（12分）（1）（﹣1）2023+（）﹣2﹣（3.14﹣π）0；
（2）（﹣2a3）2•a3+（﹣3a）3•a6﹣（4a3）3；
（3）（m+2n+1）（m﹣2n﹣1）．
18．（5分）先化简，再求值：[（x+2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）﹣5y2]+2x，其中x＝﹣2，y＝．
19．（6分）如图，已知△ABC，CA＝CB，点D在BC的延长线上．请用尺规作图法，求作直线CP，使CP∥AB．（保留作图痕迹，不写作法）
​

20．（6分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°，AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝50°．求证：AE∥DC．
​

21．（6分）电影《长空之王》上映，好评不断，小明和小颖都想去观看这部电影，但只有一张电影票，于是他们决定通过摸牌游戏决定胜负，获胜者去看电影，游戏规则如下：现有一副去掉大、小王的扑克牌，小明从中任意抽取一张牌（不放回），小颖从剩余的牌中任意抽取一张，谁摸到的牌面大谁就获胜（规定牌面从小到大的顺序为：2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K，A，且牌面的大小与花色无关）．如果小明已经摸到的牌面为5，然后小颖摸牌，那么小明获胜的概率是多少？小颖获胜的概率是多少？
22．（7分）“美好”书店出租图书的收费标准如下：3本及以下每月收费8元，超过3本的部分每本每月收1.6元．
（1）写出每月租书费用y（元）与出租图书的数量x（本）之间的关系式（其中x＞3）．
（2）小苏这个月租了5本书，应付多少钱？
（3）如果小灯这个月租书花费16元，那么他租了多少本书？
23．（10分）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）性质探究：如图1，试探索垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间的数量关系并说明理由．
（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形ABD，使得∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接CD，BE，DE，已知BC＝3，AC＝4，求DE2的值．
​

2022-2023学年陕西师大附中七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共10题，合计30分）
1．（3分）下列图形不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是0.00000000034m，这个数用科学记数法表示正确的是（　　）
A．3.4×10﹣9 B．0.34×10﹣9 C．3.4×10﹣10 D．3.4×10﹣11
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000000034＝3.4×10﹣10，
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．3x2⋅2x2y＝6x5 B．（2x）3⋅（﹣5x2y）＝﹣10x5y
C．（x﹣y）3＝﹣（y﹣x）3 D．（m+n）2＝m2+n2
【分析】分别根据完全平方公式，幂的乘方与积的乘方法则及单项式乘以单项式的法则对各选项进行判断即可．
【解答】解：A、3x2•2x2y＝6x4y，原计算错误，不符合题意；
B、（2x）3•（﹣5x2y）＝﹣40x5y，原计算错误，不符合题意；
C、（x﹣y）3＝﹣（y﹣x）3，正确，符合题意；
D、（m+n）2＝m2+n2+2mn，原计算错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是完全平方公式，幂的乘方与积的乘方法则及单项式乘以单项式，熟知以上知识是解题的关键．
4．（3分）一个袋中有3个红球，5个白球，2个黑球，这些球除颜色外均相同，小强任意摸出一个是红球的概率为（　　）
A．.1 B． C． D．
【分析】用红球的个数除以球的总个数即可求得摸到红球的概率．
【解答】解：∵口袋中装有3个红球，5个白球，2个黑球，它们除颜色外都相同，
∴从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为：．
故选：B．
【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
5．（3分）如图，AE∥BD，∠1＝120°，∠2＝40°，则∠C的度数是（　　）

A．10° B．20° C．30° D．40°
【分析】由AE∥BD，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠CBD的度数，又由对顶角相等，即可得∠CDB的度数，由三角形内角和定理即可求得∠C的度数．
【解答】解：∵AE∥BD，
∴∠CBD＝∠1＝120°，
∵∠BDC＝∠2＝40°，∠C+∠CBD+∠CDB＝180°，
∴∠C＝20°．
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的性质与三角形内角和定理．注意两直线平行，同位角相等．
6．（3分）在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定
【分析】根据三角形的内角和是180°得出．
【解答】解：设∠A＝x°，则∠B＝3x°，∠C＝5x°．
由∠A+∠B+∠C＝180°，得：
x+3x+5x＝180，
所以x＝20，故∠C＝20°×5＝100°，
∴△ABC是钝角三角形．
故选：B．
【点评】①几何计算题中，如果依据题设和相关的几何图形的性质列出方程（或方程组）求解的方法叫做方程的思想；
②求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．
7．（3分）如图，在△ABC中，过顶点A的直线l与边BC相交于点D，当顶点A沿直线AD向点D运动，且越过点D后逐渐远离D，在这一运动过程中，△ABC的面积的变化情况是（　　）

A．由大变小
B．由小变大
C．先由大变小，后由小变大
D．先由小变大，后由大变小
【分析】设点A到BC的距离为h，从而可得△ABC的面积＝BC•h，然后根据题意可得：在A点的运动过程中，BC的长度不变，点A到BC的距离h先变小，然后变大，即可解答．
【解答】解：设点A到BC的距离为h，
∴△ABC的面积＝BC•h，
由题意得：
在A点的运动过程中，BC的长度不变，点A到BC的距离h先变小，然后变大，
∴△ABC的面积的变化情况是先由大变小，后由小变大，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的面积，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．
8．（3分）如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据图形和三角形的面积公式求出△ABC的面积，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：如图所示：
S△ABC＝×BC×AE＝×BD×AC，
∵AE＝4，AC＝＝5，BC＝4
即×4×4＝×5×BD，
解得：BD＝．
故选：C．

【点评】本题主要考查了勾股定理的知识，解题的关键是利用勾股定理求出AC的长，此题难度一般．
9．（3分）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（　　）
​

A．线段AD是△ABC的BC边上的高线
B．线段AD是△ABC的AC边上的高线
C．线段CD是△ABC的AC边上的高线
D．线段CD是△ABC的AB边上的高线
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：线段AD不是△ABC的边上的高线，故选项A、B说法错误，不符合题意；
线段CD是△ABC的AB边上的高线，故选项C说法错误，不符合题意，选项D说法正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
10．（3分）如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E．若AB＝6，AD＝8，那么点E到BD的距离为（　　）
​

A． B． C． D．
【分析】解法一：由勾股定理可求得BD＝10，由折叠可知∠CBD＝∠C′BD，由平行线的性质可得∠EDB＝∠CBD，进而得到∠EDB＝∠EBD，BE＝DE，设AE＝x，则BE＝DE＝8﹣x，在Rt△ABE中，利用勾股定理建立方程求得x＝，则AE＝，DE＝，过点E作EF⊥BD于点F，由等腰三角形三线合一性质得DF＝＝5，在Rt△DEF中，利用勾股定理求出EF的长即可；
解法二：过点E作EF⊥BD于点F，由勾股定理可求得BD＝10，由折叠可知∠CBD＝∠C′BD，由平行线的性质可得∠EDB＝∠CBD，进而得到∠EDB＝∠EBD，BE＝DE，由等腰三角形三线合一性质得DF＝＝5，易得△DEF∽△DBA，利用相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：解法一：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，
在Rt△ABD中，＝＝10，
∵将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，
∴∠CBD＝∠C′BD，
∵AD∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠EDB＝∠C′BD，即∠EDB＝∠EBD，
∴BE＝DE，
设AE＝x，则BE＝DE＝AD﹣AE＝8﹣x，
在Rt△ABE中，AE2+AB2＝BE2，
∴x2+62＝（8﹣x）2，
解得：x＝，
∴AE＝，DE＝，
如图，过点E作EF⊥BD于点F，

∵BE＝DE，
∴DF＝＝，
在Rt△DEF中，＝＝，
∴点E到BD的距离为．
解法二：如图，过点E作EF⊥BD于点F，

∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，
在Rt△ABD中，＝＝10，
∵将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，
∴∠CBD＝∠C′BD，
∵AD∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠EDB＝∠C′BD，即∠EDB＝∠EBD，
∴BE＝DE，
∵EF⊥BD，
∴DF＝BD＝5，
∵∠FDE＝∠ADB，∠EFD＝∠BAD，
∴△DEF∽△DBA，
∴，即，
∴EF＝，
∴点E到BD的距离为．
故选：A．
【点评】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
二、填空题（每小题3分，共6题，合计18分）
11．（3分）若2x＝3，2y＝5，则2x+y＝　15　．
【分析】由2x＝3，2y＝5，根据同底数幂的乘法可得2x+y＝2x•2y，继而可求得答案．
【解答】解：∵2x＝3，2y＝5，
∴2x+y＝2x•2y＝3×5＝15．
故答案为：15．
【点评】此题考查了同底数幂的乘法．此题比较简单，注意掌握公式的逆运算．
12．（3分）△ABC的三边a，b，c满足（3﹣a）2+|7﹣b|＝0且c为偶数，则△ABC的周长为 　16或18　．
【分析】运用非负数和三角形三边关系确定出a，b，c的值，再代入计算．
【解答】解：由题意得，
，
解得，
∴a+b＝10，b﹣a＝4，
∴4＜c＜10，
∵c为偶数，
∴c＝6或c＝8，
当c＝6时，
a+b+c
＝3+7+6
＝16；
当c＝8时，
a+b+c
＝3+7+8
＝18，
故答案为：16或18．
【点评】此题考查了非负数和三角形三边关系的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行求解．
13．（3分）长方形的周长为24cm，其中一边长为x（cm），面积为y（cm2），则y与x的关系可表示为 　y＝﹣x2+12x　．
【分析】直接利用长方形面积求法得出答案．
【解答】解：∵长方形的周长为24cm，其中一边长为xcm，
∴另一边长为：（12﹣x）cm，
故y＝（12﹣x）x＝﹣x2+12x．
故答案为：y＝﹣x2+12x．
【点评】此题主要考查了函数关系式，正确表示出长方形的另一边长是解题关键．
14．（3分）如图，点D是△ABC边BC上任意一点，点E，F分别是线段AD，CE的中点，若△ABC的面积是12，则△BEF的面积是 　3　．
​

【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
【解答】解：∵点E是AD的中点，
∴S△ABE＝S△ABD，S△ACE＝S△ADC，
∴S△ABE+S△ACE＝S△ABC＝×12＝6，
∴S△BCE＝S△ABC＝×12＝6，
∵点F是CE的中点，
∴S△BEF＝S△BCE＝×6＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，则PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是　PB2+AP2＝2CP2　．

【分析】连接BQ，由“SAS”可证△ACP≌△BCQ，可得∠CAP＝∠CBQ＝45°，AP＝BQ，可得∠ABQ＝90°，由勾股定理可得PB2+BQ2＝PQ2，即可求解．
【解答】解：如图，连接BQ，

∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵△PCQ是等腰直角三角形，
∴PC＝CQ，∠PCQ＝90°＝∠ACB，PQ2＝2CP2，
∴∠ACP＝∠BCQ，
又∵AC＝BC，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴∠CAP＝∠CBQ＝45°，AP＝BQ，
∴∠ABQ＝90°，
∴PB2+BQ2＝PQ2，
∴PB2+AP2＝2CP2，
故答案为：PB2+AP2＝2CP2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明∠ABQ＝90°是本题的关键．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，点D是BC边上一点，连接AD，M，N是线段AD上两点，AM＝8，AN＝15，点P，Q分别是AB，AC边上的动点，连接PM，PQ，NQ，则PM+PQ+NQ的最小值为 　17　．
​

【分析】分别作点M关于直线AB的对称点M′，作点N关于直线AC的对称点N′，连接M′N′，可用发现PM+PQ+NQ的最小值为M′N′的长，再根据已知条件，利用勾股定理求出M′N′的长即可．
【解答】解：作点M关于直线AB的对称点M′，作点N关于直线AC的对称点N′，作射线AM′，AN′，

则∠BAM′＝∠BAD，∠CAN′＝∠CAD，PM′＝PM，QN′＝QN，AM′＝AM＝8，AN′＝AN＝15，
∴PM+PQ+NQ＝PM′+PQ+QN′，
要使PM+PQ+NQ最小，只要M′，P，Q，N′在一条直线上即可，
连接M′N′交AB，AC于点P′，Q′，PM+PQ+NQ最小时P，Q位于P′，Q′处，PM+PQ+NQ最小值为M′N′的长，
∵∠BAC＝45°，
∴∠M′AN′＝90°，
∴M′N′＝，
故答案为：17．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路径问题，解答时还涉及勾股定理，利用轴对称找出最短路径的线段是解题的关键．
三、解答题（共7题，合计52分）
17．（12分）（1）（﹣1）2023+（）﹣2﹣（3.14﹣π）0；
（2）（﹣2a3）2•a3+（﹣3a）3•a6﹣（4a3）3；
（3）（m+2n+1）（m﹣2n﹣1）．
【分析】（1）利用有理数的乘方法则，负整数指数幂，零指数幂进行计算即可；
（2）利用积的乘方，同底数幂乘法法则进行计算即可；
（3）利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣1+4﹣1
＝3﹣1
＝2；
（2）原式＝4a6•a3﹣27a3•a6﹣64a9
＝4a9﹣27a9﹣64a9
＝﹣87a9；
（3）原式＝[m+（2n+1）][m﹣（2n+1）]
＝m2﹣（2n+1）2
＝m2﹣（4n2+4n+1）
＝m2﹣4n2﹣4n﹣1．
【点评】本题考查实数及整式的与运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．（5分）先化简，再求值：[（x+2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）﹣5y2]+2x，其中x＝﹣2，y＝．
【分析】先根据完全平方公式和多项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
【解答】解：[（x+2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）﹣5y2]+2x
＝x2+4xy+4y2﹣3x2+xy﹣3xy+y2﹣5y2+2x
＝﹣2x2+2xy+2x，
当x＝﹣2，y＝时，原式＝﹣2×（﹣2）2+2×（﹣2）×+2×（﹣2）＝﹣8﹣2﹣4＝﹣14．
【点评】本题考查了整式的化简与求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
19．（6分）如图，已知△ABC，CA＝CB，点D在BC的延长线上．请用尺规作图法，求作直线CP，使CP∥AB．（保留作图痕迹，不写作法）
​

【分析】根据“同位角相等，两直线平行”进行作图．
【解答】解：如下图：CP即为所求．


【点评】本题考查了复杂作图，掌握平行线的判定定理是解题的关键．
20．（6分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°，AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝50°．求证：AE∥DC．
​

【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BAD，根据角平分线的定义求出∠DAE，根据平行线的性质求出∠AEB，得到∠AEB＝∠BCD，根据平行线的判定定理证明结论．
【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∵∠B＝80°，
∴∠BAD＝100°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝50°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE＝50°，
∵∠BCD＝50°，
∴∠AEB＝∠BCD，
∴AE∥DC．
【点评】本题考查的是平行线的判定和性质、角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．
21．（6分）电影《长空之王》上映，好评不断，小明和小颖都想去观看这部电影，但只有一张电影票，于是他们决定通过摸牌游戏决定胜负，获胜者去看电影，游戏规则如下：现有一副去掉大、小王的扑克牌，小明从中任意抽取一张牌（不放回），小颖从剩余的牌中任意抽取一张，谁摸到的牌面大谁就获胜（规定牌面从小到大的顺序为：2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K，A，且牌面的大小与花色无关）．如果小明已经摸到的牌面为5，然后小颖摸牌，那么小明获胜的概率是多少？小颖获胜的概率是多少？
【分析】小明已经摸到的牌面为5，而小于5的结果为4×3，大于5的结果数为4×9，然后根据概率公式求解．
【解答】解：由题意知，小明获胜的概率为＝，
小颖获胜的概率为＝．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是根据题意找到所有等可能结果及符合条件的结果数．
22．（7分）“美好”书店出租图书的收费标准如下：3本及以下每月收费8元，超过3本的部分每本每月收1.6元．
（1）写出每月租书费用y（元）与出租图书的数量x（本）之间的关系式（其中x＞3）．
（2）小苏这个月租了5本书，应付多少钱？
（3）如果小灯这个月租书花费16元，那么他租了多少本书？
【分析】（1）根据3km本内（含3本）收费8元；超过3本的部分每本每月收1.6元，即可得出y＝8+（x﹣3）×1.6，整理即可；
（2）根据小苏这个月租了5本书，即x＝5，求y即可；
（3）根据小灯这个月租书花费16元，即y＝16，求出x即可．
【解答】解：（1）根据题意可得：
y＝8+（x﹣3）×1.6，
∴y＝1.6x+3.2（x≥3）；
（2）x＝5时，y＝1.6x+3.2＝1.6×5+3.2＝11.2；
答：小苏这个月租了5本书，应付11.2元；
（3）y＝16时，16＝1.6x+3.2，
解得x＝8，
答：他租了8本书．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，正确写出函数关系式是解题关键．
23．（10分）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）性质探究：如图1，试探索垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间的数量关系并说明理由．
（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形ABD，使得∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接CD，BE，DE，已知BC＝3，AC＝4，求DE2的值．
​
【分析】（1）根据垂直平分线的判定即可解决问题；
（2）根据垂直的定义和勾股定理即可求解；
（3）设CD与BE交于点F，AC与BE交于点G，由等角加同角相等可得∠BAE＝∠DAC，则可通过SAS证明△ABE≌△ADC，得到∠AEB＝∠ACD，由等角加等角相等可得∠AEG+∠AGE＝90°，∠FCG+∠CGF＝90°，于是可得∠CFG＝90°，则四边形BCED为垂美四边形，利用勾股定理和等腰三角形的性质求得AB＝5，CE＝，BD＝，利用（2）中的结论可得DE2＝CE2+BD2﹣BC2，代入计算即可求解．
【解答】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形，理由如下：
如图，连接AC，连接BD交AC于点O，

∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD是垂美四边形；
（2）AB2+CD2＝AD2+BC2，理由如下：
∵AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠AOD＝90°，
由勾股定理得：
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）如图，设CD与BE交于点F，AC与BE交于点G，

∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠CAE+BAC＝∠BAD+∠BAC，即∠BAE＝∠DAC，
在△ABE和△ADC，
，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴∠AEB＝∠ACD，
∵∠CAE＝90°，
∴∠AEG+∠AGE＝90°，
∴∠FCG+∠CGF＝90°，
∴∠CFG＝90°，即CD⊥BE，
∴四边形BCED为垂美四边形，
∵BC＝3，AC＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝5，
∵△ACE和△ABD均为等腰直角三角形，
∴CE＝AC＝，BD＝AB＝，
由（2）可得，BC2+DE2＝CE2+BD2，
∴DE2＝CE2+BD2﹣BC2＝＝73．
【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，正确垂美四边形的定义，灵活运用勾股定理是解题关键．