高中人教A版 (2019)4.1 数列的概念优秀第1课时导学案

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第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。
第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。
第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。
2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。
3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。
4、授课方式变化，选课制度将全面推开。
5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。
§4.1 数列的概念
第1课时 数列的概念及通项公式
学习目标 1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.2.掌握数列的分类，了解数列的单调性.3.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项.4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.5.了解数列是一种特殊函数．
导语
同学们，生活中我们经常有这样的经历，比如，你在某地摊上相中了一件商品，你问老板：怎么卖的？老板说：100元一个，你说：20卖不卖？只见老板气的脸都绿了，但也忍着说：不卖，最低90；你说：老板，你看我一个学生，也没多少钱，30吧；老板说：赔钱反正不能卖，你如果想要，最低80，不能再少了；你说：薄利多销啊老板，40怎么样，不卖走了；…同学们，在你们的讨价还价中，按照你们所说的数字的先后顺序产生了一组非常有意思的数：100,20,90,30,80,40…这就是我们今天要研究的数列．
一、数列的概念与分类
问题1 观察以下几列数：
①古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7,49,343,2 401,16 807；
②战国时期庄周引用过一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭．这句话中隐藏着一列数：1，eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，eq \f(1,8)，eq \f(1,16)，…；
③从学号1开始，记下本班的每一个同学参加高考的时间：2 023,2 023，…，2 023；
④小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：7,0,2,5,7,0,2,5，…；
⑤－eq \f(1,2)的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数：－eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，－eq \f(1,8)，eq \f(1,16)，…；
你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？
知识梳理
1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项．
2. 数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．
3.
注意点：(1)如果组成两个数列的数相同，但顺序不同，它们是不同的数列；(2)同一个数可以在数列中重复出现；(3){an}表示一个数列，an表示数列中的第n项．
例1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是摆动数列？
(1)1,0.84,0.842,0.843，…；
(2)2,4,6,8,10，…；
(3)7,7,7,7，…；
(4)eq \f(1,3)，eq \f(1,9)，eq \f(1,27)，eq \f(1,81)，…；
(5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1；
(6)0，－1,2，－3,4，－5，….
跟踪训练1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是周期数列？
(1)2 017,2 018,2 019,2 020,2 021；
(2)0，eq \f(1,2)，eq \f(2,3)，…，eq \f(n－1,n)，…；
(3)1，eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，…，eq \f(1,2n－1)，…；
(4)－eq \f(1,1×2)，eq \f(1,2×3)，－eq \f(1,3×4)，eq \f(1,4×5)，…；
(5)1,0，－1，…，sin eq \f(nπ,2)，…；
(6)9,9,9,9,9,9.
二、数列的通项公式
问题2 我们发现问题1中的①②③⑤，项与项数之间存在某种联系，你能发现它们的联系吗？
知识梳理
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
注意点：(1)并不是所有的数列都有通项公式；(2)有些数列的通项公式，表达形式不唯一．
例2 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)－1，eq \f(1,2)，－eq \f(1,3)，eq \f(1,4)；
(2)eq \f(1,2)，2，eq \f(9,2)，8；
(3)0,1,0,1；
(4)9,99,999,9 999.
延伸探究
1．试写出前4项为1,11,111,1111，…的一个通项公式．
2．试写出前4项为7,77,777,7777，…的一个通项公式．
跟踪训练2 写出下列各数列的一个通项公式，它们的前几项分别是：
(1)1,3,7,15,31，…；
(2)eq \f(1,2)，eq \f(4,5)，eq \f(9,10)，eq \f(16,17)，eq \f(25,26)，…；
(3)－eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，－eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，－eq \f(1,2)，…；
(4)2×3,3×4,4×5,5×6，….
三、数列与函数的关系
问题3 在数列的通项公式中，给定任意的序号n，就会有唯一确定的an与其对应，这种情形与以往学的哪方面的知识有联系？
知识梳理
通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．
注意点：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数表达式．(2)数列还可以用列表法、图象法表示．
例3 已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))n，n∈N*.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由．
跟踪训练3 已知数列an＝n2－6n＋5，则该数列中最小项的序号是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
1．知识清单：
(1)数列的概念与分类．
(2)数列的通项公式．
(3)数列与函数的关系．
2．方法归纳：观察法、归纳法、猜想法．
3．常见误区：归纳法求数列的通项公式时归纳不全面；不注意用(－1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系．
1．下列说法正确的是( )
A．数列中不能重复出现同一个数
B．1,2,3,4与4,3,2,1是同一数列
C．1,1,1,1不是数列
D．若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同
2．已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(1＋－1n＋1,2)，n∈N*，则该数列的前4项依次为( )
A．1,0,1,0 B．0,1,0,1
C.eq \f(1,2)，0，eq \f(1,2)，0 D．2,0,2,0
3．在数列{an}中，an＝eq \f(n＋2,n＋1)，则{an}( )
A．是常数列 B．不是单调数列
C．是递增数列 D．是递减数列
4．数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式是____________．
课时对点练
1．(多选)下列说法正确的是( )
A．数列可以用图象来表示
B．数列的通项公式不唯一
C．数列中的项不能相等
D．数列可以用一群孤立的点表示
2．已知数列an＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n，则数列是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．摆动数列 D．常数列
3．数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是( )
A．an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*
B．an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*
C．an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N*
D．an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N*
4．数列eq \f(2,3)，eq \f(4,5)，eq \f(6,7)，eq \f(8,9)，…的第10项是( )
A.eq \f(16,17) B.eq \f(18,19) C.eq \f(20,21) D.eq \f(22,23)
5．数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的通项公式为( )
A．an＝eq \f(1,9)(10n－1)，n∈N*
B．an＝eq \f(2,9)(10n－1)，n∈N*
C．an＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,10n)))，n∈N*
D．an＝eq \f(3,10)(10n－1)，n∈N*
6．(多选)下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )
A．1，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，…，eq \f(1,n)，…
B．sin eq \f(π,7)，sin eq \f(2π,7)，sin eq \f(3π,7)，…，sin eq \f(nπ,7)，…
C．－1，－eq \f(1,2)，－eq \f(1,4)，－eq \f(1,8)，…，－eq \f(1,2n－1)，…
D．1，eq \r(2)，eq \r(3)，…，eq \r(n)，…
7．已知数列{an}的通项公式为an＝2 021－3n，则使an>0成立的正整数n的最大值为________．
8．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋50，则数列中的最小项的值是________．
9．写出下列各数列的一个通项公式：
(1)4,6,8,10，…；
(2)eq \f(1,2)，eq \f(3,4)，eq \f(7,8)，eq \f(15,16)，eq \f(31,32)，…；
(3)－1，eq \f(8,5)，－eq \f(15,7)，eq \f(24,9)，….
10．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于n的一次函数．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a2 021.
11．设an＝eq \f(1,n)＋eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋eq \f(1,n＋3)＋…＋eq \f(1,n2)(n∈N*)，则a2等于( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,4) D.eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,5)
12．若数列{an}的通项公式为an＝eq \f(n,n2＋196)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n∈N*))，则这个数列中的最大项是( )
A．第12项 B．第13项
C．第14项 D．第15项
13．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－ax－3，x≤7，,ax－6，x>7，))数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)，3)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)，3))
C．(1,3) D．(2,3)
14．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(6)＝________.
15．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为( )
A．an＝n，n∈N* B．an＝eq \r(n＋1)，n∈N*
C．an＝eq \r(n)，n∈N* D．an＝n2，n∈N*
16．在数列{an}中，an＝eq \f(n2,n2＋1).
(1)求证：此数列的各项都在区间(0,1)内；
(2)区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))内有没有数列中的项？若有，有几项？
分类标准
名称
含义
按项的
个数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
按项的
变化
趋势
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项都相等的数列
周期数列
项呈现周期性变化
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项