高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列优质第1课时学案

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第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。
第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。
第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。
2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。
3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。
4、授课方式变化，选课制度将全面推开。
5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。
§4.2 等差数列
4．2.1 等差数列的概念
第1课时 等差数列的概念及通项公式
学习目标 1.理解等差数列、等差中项的概念.2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题．
导语
同学们，上节课我们学习了数列的概念，并根据数列的递推关系求数列的通项公式，实际上，生活中有一种特别的数列，比如，和生肖有关的问题，大家属狗的居多一些，同样是属狗的，要么和你同岁，要么和你相差12的整数倍，今天我们就研究此类数列．
一、等差数列的概念
问题1 观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题．
①在过去的300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的时间：1682,1758,1834,1910,1986.
②我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为：275,270,265,260,255,250，…
③为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10,10,10,10,10.
以上数列有什么共同特征？你能预测一下哈雷彗星下一次出现的时间吗？
知识梳理
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
注意点：(1)概念的符号表示：an－an－1＝d(n≥2)；(2)定义中强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项；(3)差必须是同一个常数；(4)公差可以是正数、负数、零；(5)当d>0时，是递增数列，当d＝0时，是常数列，当d<0时，是递减数列．
例1 判断下列各组数列是不是等差数列．如果是，写出首项a1和公差d.
①1,3,5,7,9，…；
②9,6,3,0，－3，…；
③1,3,4,5,6，…；
④7,7,7,7,7，…；
⑤1，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，eq \f(1,5)，….
跟踪训练1 (多选)下列数列是等差数列的是( )
A．1,1,1,1,1 B．4,7,10,13,16
C.eq \f(1,3)，eq \f(2,3)，1，eq \f(4,3)，eq \f(5,3) D．－3，－2，－1,1,2
二、等差中项
问题2 由等差数列的定义可知，如果1，x,3这三个数是等差数列，你能求出x的值吗？
提示 由定义可知x－1＝3－x，即2x＝1＋3，x＝2.
知识梳理
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项，且2A＝a＋b.
注意点：(1)任意两个实数都有等差中项，且唯一；(2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数，即A＝eq \f(a＋b,2)；(3)a3是a1和a5的等差中项．
例2 (1)若a＝eq \f(1,\r(3)＋\r(2))，b＝eq \f(1,\r(3)－\r(2))，则a，b的等差中项为( )
A.eq \r(3) B.eq \r(2)
C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(2),2)
(2)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列．
跟踪训练2 若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．
三、等差数列的通项公式
问题3 你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
知识梳理
首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
注意点：(1)已知首项a1和公差d，便可写出通项公式；(2)等差数列的通项公式是an，a1，d，n四个变量之间的关系，知三求一．
例3 在等差数列{an}中，
(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；
(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求an.
跟踪训练3 在等差数列{an}中，求解下列各题：
(1)已知公差d＝－eq \f(1,3)，a7＝8，则a1＝________.
(2)已知a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d＝________.
(3)已知{an}的前3项依次为2,6,10，则a15＝________.
1．知识清单：
(1)等差数列的有关概念．
(2)等差数列的通项公式．
2．方法归纳：列方程组法、迭代法、构造法．
3．常见误区：在具体应用问题中项数不清．
1．(多选)下列数列中，是等差数列的是( )
A．1,4,7,10 B．lg 2，lg 4，lg 8，lg 16
C．25,24,23,22 D．10,8,6,4,2
2．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n(n∈N*)，则它的公差d为( )
A．2 B．3 C．－2 D．－3
3．若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z的值为( )
A．26 B．29 C．39 D．52
4．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝________.
课时对点练
1．数列{an}中，a1＝5，an＋1＝an＋3，那么这个数列的通项公式是( )
A．3n－1 B．3n＋2
C．3n－2 D．3n＋1
2．一个等差数列的前4项是a，x，b,2x(b≠0，x≠0)，则eq \f(a,b)等于( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
3．已知在等差数列{an}中，a1＝1，d＝3，则当an＝298时，n等于( )
A．90 B．96 C．98 D．100
4．(多选)已知在等差数列{an}中，a1＝2，且a4＋a8＝aeq \\al(2,3)，则公差d等于( )
A．0 B.eq \f(1,2) C．1 D．2
5．在数列{an}中，若eq \r(an＋1)＝eq \r(an)＋eq \r(2)，a1＝8，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝2(n＋1)2 B．an＝4(n＋1)
C．an＝8n2 D．an＝4n(n＋1)
6．在数列{an}中，an＋1＝eq \f(an,1＋3an)，a1＝2，则a20等于( )
A.eq \f(115,2) B.eq \f(8,115) C.eq \f(16,115) D.eq \f(2,115)
7．在－3和6之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则公差为________．
8．设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是________．
9．在等差数列{an}中，
(1)已知a1＝2，d＝3，n＝10，求an；
(2)已知a1＝3，an＝21，d＝2，求n.
10．在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7.
(1)求数列的第10项；
(2)问112是数列{an}的第几项？
(3)在80到110之间有多少项？
11．“lg x，lg y，lg z成等差数列”是“y2＝xz”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
12．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)，3)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(8,3)，3))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(8,3)，3)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)，3))
13．正数a，b的等差中项是eq \f(1,2)，且α＝a＋eq \f(1,a)，β＝b＋eq \f(1,b)，则α＋β的最小值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
14．已知数列{an}满足aeq \\al(2,n＋1)＝aeq \\al(2,n)＋4，且a1＝1，an>0，则an＝________.
15．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2 021共2 021个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则该数列共有( )
A．132项 B．133项 C．134项 D．135项
16．若数列{bn}对于n∈N*，都有bn＋2－bn＝d(d为常数)，则称数列{bn}是公差为d的准等差数列．例如cn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4n－1，n为奇数，,4n＋9，n为偶数，))则数列{cn}是公差为8的准等差数列．设数列{an}满足：a1＝a，对于n∈N*，都有an＋an＋1＝2n.
(1)求证：数列{an}为准等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．