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人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.2 等差数列优秀第3课时学案设计
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.2 等差数列优秀第3课时学案设计,文件包含高中数学新教材选择性必修第二册第4章421第3课时等差数列的性质教师版docx、高中数学新教材选择性必修第二册第4章421第3课时等差数列的性质学生版docx等2份学案配套教学资源,其中学案共17页, 欢迎下载使用。
第一,必修课程,由国家根据学生全面发展需要设置,所有学生必须全部修习、全部考试。
第二,选择性必修课程,由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。
第三,选修课程,由学校根据实际情况统筹规划开设,学生自主选择修习。
2、课程类别变化,必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下,对原必修课程学分进行重构,由必修课程学分、选择性必修课程学分组成,适当增加选修课程学分。
3、学时和学分变化,高中生全年假期缩减到11周。
4、授课方式变化,选课制度将全面推开。
5、考试方式变化,高考统考科目由教育部命题,学业水平合格性、等级性考试由各省命题。
第3课时 等差数列的性质
学习目标 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质简化计算.
导语
同学们,前面我们学习了等差数列的概念,明白了等差数列是一种特殊的函数,在学习过程中,我们发现了一个非常有意思的事情,比如说an=n,这是一个正整数列,如果我们把其中的偶数拿出来,即2,4,6,8,10…容易发现这也是一个等差数列,同样,如果我们把所有的奇数拿出来,也能构成一个新的数列,今天我们就具体研究等差数列中有哪些性质.
一、由等差数列构造新等差数列
问题1 若数列{an}是等差数列,首项为a1,公差为d,在{an}中每相邻两项之间都插入4个数,若要使之构成一个新的等差数列,你能求出它的公差吗?
知识梳理
若{an},{bn}分别是公差为d,d′的等差数列,则有
例1 有两个等差数列2,6,10,…,190和2,8,14,…,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,则这个新数列的项数为( )
A.15 B.16 C.17 D.18
跟踪训练1 已知两个等差数列{an}:5,8,11,…,与{bn}:3,7,11,…,它们的公共项组成数列{cn},则数列{cn}的通项公式cn=________;若数列{an}和{bn}的项数均为100,则{cn}的项数是________.
二、等差数列中任意两项之间的关系
问题2 如果{an}是等差数列,a3=5,d=2,如果不求首项,你能求数列的通项公式吗?
知识梳理
设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则
(1)an=dn+(a1-d)(n∈N*);
(2)an=am+(n-m)d(m,n∈N*);
(3)d=eq \f(an-am,n-m)(m,n∈N*,且m≠n).
注意点:若an=m,am=n(n≠m),则an+m=0.(证明:eq \f(an-am,n-m)=eq \f(an+m-an,n+m-n),eq \f(m-n,n-m)=eq \f(an+m-m,n+m-n),eq \f(an+m-m,m)=-1,故an+m=0).
例2 已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
跟踪训练2 已知{bn}为等差数列,若b3=-2,b10=12,则b8=________.
三、等差数列中多项之间的关系
问题3 若数列{an}是等差数列,公差为d,m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am,an,ap,aq这四项之间有什么样的关系?
知识梳理
1.下标性质:在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq.
2.特别地,若m+n=2p(m,n,p∈N*),则有am+an=2ap.
注意点:(1)推广:若m+n+p=x+y+z,则am+an+ap=ax+ay+az;(2)该性质要求下标的和相等,且左右两侧项数相同;(3)在有穷等差数列中,与首末两项等距离的两项之和都相等,即a1+an=a2+an-1=….
例3 已知数列{an}是等差数列,若a1-a9+a17=7,则a3+a15等于( )
A.7 B.14 C.21 D.7(n-1)
延伸探究 在等差数列{an}中,a3+a7+2a15=40,求a10.
跟踪训练3 数列{an}满足3+an=an+1且a2+a4+a6=9,则lg6(a5+a7+a9)的值是( )
A.-2 B.-eq \f(1,2) C.2 D.eq \f(1,2)
1.知识清单:
(1)由等差数列构造新的等差数列.
(2)等差数列中任意两项之间的关系.
(3)等差数列中多项之间的关系.
2.方法归纳:公式法、构造法、解方程组法.
3.常见误区:不注意运用性质而出错或解法烦琐.
1.在等差数列{an}中,已知a3=10,a8=-20,则公差d等于( )
A.3 B.-6 C.4 D.-3
2.在等差数列{an}中,a4+a5=15,a7=12,则a2等于( )
A.3 B.-3 C.eq \f(3,2) D.-eq \f(3,2)
3.在等差数列{an}中,a3+a7=4,则必有( )
A.a5=4 B.a6=4
C.a5=2 D.a6=2
4.在等差数列{an}(n∈N*)中,若a1=a2+a4,a8=-3,则a20的值是________.
课时对点练
1.已知数列{an},{bn}为等差数列,且公差分别为d1=2,d2=1,则数列{2an-3bn}的公差为( )
A.7 B.5
C.3 D.1
2.在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则a7等于( )
A.5 B.8
C.10 D.14
3.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m的值为( )
A.12 B.8
C.6 D.4
4.在等差数列{an}中,a1+a5+a7+a9+a13=100,a6-a2=12,则a1等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.若等差数列{an}的首项a1=5,am=3,则am+2等于( )
A.13 B.3-eq \f(4,m-1)
C.3-eq \f(2,m-1) D.5-eq \f(2,m-1)
6.(多选)若{an}是等差数列,则下列数列中仍为等差数列的是( )
A.{|an|} B.{an+1-an}
C.{pan+q}(p,q为常数) D.{2an+n}
7.在等差数列{an}中,若aeq \\al(2,2)+2a2a8+a6a10=16,则a4a6=________.
8.设数列{an},{bn}都是等差数列,若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=________.
9.在等差数列{an}中.
(1)已知a2+a3+a23+a24=48,求a13;
(2)已知a2+a3+a4+a5=34,a2·a5=52,求公差d.
10.在等差数列{an}中,若a3+a8+a13=12,a3a8a13=28.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求a23的值.
11.在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则a9-eq \f(1,3)a11的值为( )
A.14 B.15 C.16 D.17
12.等差数列an中,若a2,a2 020为方程x2-10x+16=0的两根,则a1+a1 011+a2 021等于( )
A.10 B.15 C.20 D.40
13.已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则有( )
A.a1+a101>0 B.a1+a101
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