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    高中数学新教材选择性必修第二册讲义 第4章 4.3.1 第3课时 等比数列的性质
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    高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列优秀第3课时导学案

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    这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列优秀第3课时导学案,文件包含高中数学新教材选择性必修第二册第4章431第3课时等比数列的性质教师版docx、高中数学新教材选择性必修第二册第4章431第3课时等比数列的性质学生版docx等2份学案配套教学资源,其中学案共18页, 欢迎下载使用。

    第一,必修课程,由国家根据学生全面发展需要设置,所有学生必须全部修习、全部考试。
    第二,选择性必修课程,由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。
    第三,选修课程,由学校根据实际情况统筹规划开设,学生自主选择修习。
    2、课程类别变化,必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下,对原必修课程学分进行重构,由必修课程学分、选择性必修课程学分组成,适当增加选修课程学分。
    3、学时和学分变化,高中生全年假期缩减到11周。
    4、授课方式变化,选课制度将全面推开。
    5、考试方式变化,高考统考科目由教育部命题,学业水平合格性、等级性考试由各省命题。
    第3课时 等比数列的性质
    学习目标 1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质,并能运用这些性质简化运算.
    2.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形.
    导语
    在我们学习等比数列的过程中,发现它与等差数列有相似之处,这其实就是我们在这两类数列之间无形之中产生了类比思想,类比的前提大多为结论提供线索,它往往能把人的认知从一个领域引伸到另一个共性的领域,由此推出另一个对象也具有同样的其他特定属性的结论,有人曾说“类比使人聪颖,数学使人严谨,数学使人智慧”,今天我们就用类比的思想来研究等比数列具有哪些性质.
    一、由等比数列构造新等比数列
    问题1 结合我们所学,你能类比等差数列、等比数列的通项公式的结构特点及运算关系吗?
    知识梳理
    1.在等比数列{an}中,每隔k项(k∈N*)取出一项,按原来的顺序排列,所得的新数列仍为等比数列.
    2.若{an}是等比数列,公比为q,则数列{λan}(λ≠0),eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an))),{aeq \\al(2,n)}都是等比数列,且公比分别是q,eq \f(1,q),q2.
    3.若{an},{bn}是项数相同的等比数列,公比分别是p和q,那么{anbn}与eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,bn)))也都是等比数列,公比分别为pq和eq \f(p,q).
    注意点:在构造新的等比数列时,要注意新数列中有的项是否为0,比如公比q=-1时,连续相邻偶数项的和都是0,故不能构成等比数列.
    例1 如果数列{an}是等比数列,那么下列数列中不一定是等比数列的是( )
    A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\r(3,an)))
    C.{an·an+1} D.{an+an+1}
    跟踪训练1 设{an}是各项为正数的无穷数列,Ai是边长为ai,ai+1的矩形面积(i=1,2,…),则{An}为等比数列的充要条件为( )
    A.{an}是等比数列
    B.a1,a3,…,a2n-1,…或a2,a4,…,a2n,…是等比数列
    C.a1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比数列
    D.a1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比数列,且公比相同
    二、等比数列中任意两项之间的关系
    问题2 结合上面的类比,你能把等差数列里面的an=am+(n-m)d类比出等比数列中相似的性质吗?
    知识梳理
    等比数列通项公式的推广和变形an=amqn-m.
    例2 在等比数列{an}中:
    (1)已知a3+a6=36,a4+a7=18,an=eq \f(1,2),求n;
    (2)已知a5=8,a7=2,an>0,求an.
    跟踪训练2 (1)在等比数列{an}中,如果a1+a4=18,a2+a3=12,那么这个数列的公比为( )
    A.2 B.eq \f(1,2) C.2或eq \f(1,2) D.-2或eq \f(1,2)
    (2)已知等比数列{an}中,a3=2,a4a6=16,则eq \f(a9-a10,a5-a6)等于( )
    A.16 B.8 C.4 D.2
    三、等比数列中多项之间的关系
    问题3 结合上面的类比,你能把等差数列里面的am+an=ak+al,类比出等比数列中相似的性质吗?
    知识梳理
    设数列{an}为等比数列,则:
    (1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak·al=am·an.
    (2)若m,p,n成等差数列,则am,ap,an成等比数列.
    注意点:(1)性质的推广:若m+n+p=x+y+z,有amanap=axayaz;(2)该性质要求下标的和相等,且左右两侧项数相同;(3)在有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项之积都相等,即a1·an=a2·an-1=….
    例3 已知{an}为等比数列.
    (1)若{an}满足a2a4=eq \f(1,2),求a1aeq \\al(2,3)a5;
    (2)若an>0,a5a7+2a6a8+a6a10=49,求a6+a8;
    (3)若an>0,a5a6=9,求lg3a1+lg3a2+…+lg3a10的值.
    跟踪训练3 (1)公比为eq \r(3,2)的等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11=16,则lg2a16等于( )
    A.4 B.5 C.6 D.7
    (2)已知在各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=________.
    1.知识清单:
    (1)由等比数列构造新的等比数列.
    (2)等比数列中任意两项之间的关系.
    (3)等比数列中多项之间的关系.
    2.方法归纳:公式法、类比思想.
    3.常见误区:构造新的等比数列易忽视有等于0的项.
    1.在等比数列{an}中,若a2=4,a5=-32,则公比q应为( )
    A.±eq \f(1,2) B.±2 C.eq \f(1,2) D.-2
    2.已知{an},{bn}都是等比数列,那么( )
    A.{an+bn},{anbn}都一定是等比数列
    B.{an+bn}一定是等比数列,但{anbn}不一定是等比数列
    C.{an+bn}不一定是等比数列,但{anbn}一定是等比数列
    D.{an+bn},{anbn}都不一定是等比数列
    3.已知等比数列{an}共有10项,其中奇数项之积为2,偶数项之积为64,则其公比是( )
    A.eq \f(3,2) B.eq \r(2) C.2 D.2eq \r(2)
    4.若正项等比数列{an}满足a1a5=4,当eq \f(1,a2)+eq \f(4,a4)取最小值时,数列{an}的公比是________.
    课时对点练
    1.已知数列{an}满足a1=5,anan+1=2n,则eq \f(a7,a3)等于( )
    A.4 B.2 C.5 D.eq \f(5,2)
    2.在等比数列{an}中,a2,a18是方程x2+6x+4=0的两根,则a4a16+a10等于( )
    A.6 B.2 C.2或6 D.-2
    3.在等比数列{an}中,若a1<0,a2=18,a4=8,则公比q等于( )
    A.eq \f(3,2) B.eq \f(2,3) C.-eq \f(2,3) D.eq \f(2,3)或-eq \f(2,3)
    4.在等比数列{an}中,若a2a3a6a9a10=32,则eq \f(a\\al(2,9),a12)的值为( )
    A.4 B.2 C.-2 D.-4
    5.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等比数列,上面3节的容积之积为3,下面3节的容积之积为9,则第5节的容积为( )
    A.2 B.eq \f(67,66) C.3 D.eq \r(3)
    6.(多选)设{an}是等比数列,有下列四个命题,其中正确的是( )
    A.{aeq \\al(2,n)}是等比数列
    B.{anan+1}是等比数列
    C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是等比数列
    D.{lg|an|}是等比数列
    7.在正项等比数列{an}中,若3a1,eq \f(1,2)a3,2a2成等差数列,则eq \f(a2 021-a2 020,a2 023-a2 022)=________.
    8.已知数列{an}为等比数列,且a3+a5=π,则a4(a2+2a4+a6)=________.
    9.已知数列{an}是等比数列,a3+a7=20,a1a9=64,求a11的值.
    10.已知数列{an}为等比数列.
    (1)若an>0,且a2a4+2a3a5+a4a6=36,求a3+a5的值;
    (2)若数列{an}的前三项和为168,a2-a5=42,求a5,a7的等比中项.
    11.设各项均为正数的等比数列{an}满足a4a8=3a7,则lg3(a1a2·…·a9)等于( )
    A.38 B.39 C.9 D.7
    12.已知等比数列{an}满足a1=eq \f(1,4),a3a5=4(a4-1),则a2等于( )
    A.2 B.1 C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,8)
    13.等比数列{an}是递减数列,前n项的积为Tn,若T13=4T9,则a8a15等于( )
    A.±2 B.±4 C.2 D.4
    14.在等比数列{an}中,若a7=-2,则此数列的前13项之积等于________.
    15.在等比数列{an}中,若a7a11=6,a4+a14=5,则eq \f(a20,a10)=________.
    16.已知{an}是等差数列,满足a1=2,a4=14,数列{bn}满足b1=1,b4=6,且{an-bn}是等比数列.
    (1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
    (2)若任意n∈N*,都有bn≤bk成立,求正整数k的值.
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